第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁中考數學總復習《探索規律題》專項檢測卷(附答案)學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．【發現】①；②；③；④；……根據上述等式反映的規律，請再寫出一個等式：___________．【歸納】等式①，②，③，④所反映的規律，可歸納為一個真命題：對于任意兩個有理數，，若_____，則；反之也成立．【應用】根據上述所歸納的真命題，解決下列問題：若與的值互為相反數，求的值．2．綜合與實踐問題情境：活動課上，同學們以等腰三角形為背景展開有關圖形旋轉的探究活動．如圖1，在中，，．將繞點逆時針旋轉，得到（點，分別是點，的對應點），旋轉角為．設與相交于點，分別交，于點，．【特殊位置】（1）如圖1，當旋轉到時，同學們發現等于旋轉角，都為________度．【探究規律】（2）如圖2，在繞點逆時針旋轉過程中，同學發現始終與旋轉角相等，請證明這一結論．【拓展延伸】（3）①在繞點逆時針旋轉過程中，當為等腰三角形時，旋轉角等于________度；②如圖3，延長，相交于點，請判斷與的關系，并說明理由．3．我國南宋時期杰出的數學家楊輝是錢塘人，如圖所示的圖表是他在《詳解九章算術》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了（n為非負整數）的展開式的項數及各項系數的有關規律，由此規律可解決如下問題：(1)圖中括號內的數為；(2)展開式共有項；(3)根據上面的規律，寫出的展開式為；(4)利用上面的規律計算：．4．【觀察思考】如圖某公園圍欄是由圓形構成的圖案，每個圓形的邊上都有“”或“第個圖案中“”有個，“”有個；第個圖案中“”有個，“”有個；第個圖案中“”有個，“”有個；第個圖案中“”有個，“”有個．【規律發現】（1）請求出第個圖案中“”有______個，“”有______個；（用含的式子表示）【規律應用】（2）現有個“”，按此規律制作圍欄，要求“”剩余最少，需要購買多少個“”？5．觀察下面的變形規律：，，，…解答下面的問題：(1)計算：________；(2)若n為正整數，請你猜想________；(3)計算：6．【綜合與實踐】南京文化紀念品的包裝優化南京作為歷史文化名城，有眾多特色文化紀念品．某紀念品生產廠家在20周年廠慶前，為其經典的“南京云錦”主題紀念品設計了長方體包裝盒．但在實際生產與使用中發現，裝入紀念品后包裝盒邊角空余空間較多，造成了包裝材料的浪費，于是決定開展節省材料的探究活動．任務1：平面圖形的探究南京的傳統建筑中常常能看到矩形的窗戶等元素．對于面積固定的矩形，我們來探究其周長的變化規律．已知秦淮河畔某古建筑修復時用到的一種矩形裝飾磚面積為36平方分米，通過列舉不同長和寬的情況，得到以下表格：長（分米）36181296寬（分米）12345周長（分米）7440302624根據表格，可猜測：矩形的面積一定時，________時周長最小．為了證明上述猜測，小寧同學假設矩形面積為，設兩鄰邊長分別為和（s，t均為非負數），則，經化簡可得．請表示出周長并補全后續的證明過程．任務2：立體圖形的包裝改進廠家之前設計的長方體包裝盒尺寸為：長10厘米、寬8厘米、高6厘米，該包裝盒用于包裝以南京明城墻為原型的小型紀念品．現打算在保持底面積不變的前提下，將包裝盒形狀改為底面半徑為4厘米的圓柱體，高保持不變，從節省材料（即表面積最小）的角度來看，你覺得這樣的改進合理嗎？請判斷并說明理由．（取，結果精確到平方厘米）7．刻漏（如圖）是我國古代的一種計時工具，其工作原理是水從水箱中流入漏斗，再從漏斗底部的小孔中流出，主要是利用水的自然流動和容器內水的位差來計時．某綜合與實踐小組依據刻漏的原理制作了一個簡單的刻漏計時工具，并記錄水位高度h（單位：）與水持續滴入時間t（單位：）之間的關系，如下表所示．水持續滴入時間t（單位：）0369…水位高度h（單位：）23.24.45.6…(1)請你描述水位高度h（單位：）隨水持續滴入時間t（單位：）的變化規律，并用函數解析式表示h與t的關系；(2)綜合與實踐小組想從零刻線開始，每隔在刻漏上標記對應的時刻線，便于使用，求每個相鄰時刻線之間的距離．8．觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：…(1)求的倒數；(2)請你用含（為正整數）的關系式表示上述各式子的變形規律（不必證明）；(3)利用上面的結論，求下列式子的值：9．你會求的值嗎？這個問題看上去很復雜，我們可以先考慮簡單的情況，通過計算，探索規律：(1)由上面的規律我們可以大膽猜想，得到________(2)利用上面的結論，求的值；(3)計算：．10．[觀察思考]圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層．[規律總結]將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數為（1）如果圖1中的圓圈共有10層，我們從上往下，在每個圓圈中都按圖3的方式填上一串連續的正整數1，2，3，4，…，則最底層最左邊這個圓圈中的數是；[問題解決]（2）如果圖1中的圓圈共有12層，我們從上往下，在每個圓圈中都按圖4的方式填上一串連續的整數，，，…，求圖4中所有圓圈中各數的絕對值之和．11．綜合與實踐：小星學習了解直角三角形的知識后，結合光的折射規律進行了如下綜合性學習．【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內壁的夾角為；第二步：向水槽注水，水面上升到的中點E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線）．【測量數據】如圖，點A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面內，測得，，折射角．【問題解決】根據以上實驗操作和測量的數據，求B，D之間的距離．（結果精確到）（參考數據：，，）12．【觀察思考】如圖，這是由正方形組成的一系列圖案，其中第1個圖案有5個正方形；第2個圖案有9個正方形；第3個圖案有13個正方形；……按此規律排列下去．【規律發現】（1）第4個圖案有個正方形；第n（n是正整數）個圖案有（用含n的式子表示）個正方形．【規律應用】（2）第100個圖案需要多少個正方形？13．【問題提出】因式分解：【問題探究】為了便于發現規律，從簡單的情形入手，逐步分解：①②由①知，繼續添加下一項得：（1）仿照②，把代數式進行因式分解．【發現規律】（2）推廣到一般形式：______；【問題解決】（3）化簡：______．14．下圖是按一定規律排列的方程組集合和它的解的集合的對應關系圖．將方程組中的方程組自左至右依次記作方程組1、方程組2、方程組3、…方程組n．(1)方程組1的解是________；(2)請依據方程組和它的解變化規律，直接寫出方程組n______和它的解是______．(3)若方程組的解是，求m的值，并判斷該方程組是否符合（2）中的規律？參考答案1．發現：（答案不唯一）歸納：；應用：【分析】本題考查的是立方根和算術平方根的概念，根據題意正確找出規律是解題的關鍵．發現：根據題目給出的規律解答；歸納：根據已知的等式規律即可求解；應用：根據題意列出方程，解方程求出x，根據算術平方根的概念解答即可．【詳解】解：發現：根據題意；如（答案不唯一）；故答案為：（答案不唯一）歸納：根據等式①，②，③，④所反映的規律，可歸納為一個真命題：對于任意兩個有理數，，若，則；反之也成立；故答案為：；應用：與的值互為相反數；，

解得，

則．2．（1）40；（2）見解析；（3）①或；②，理由見解析【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，多邊形內角和，全等三角形的判定與性質和旋轉的性質，熟練運用相減知識是解答本題的關鍵．（1）根據等腰三角形的性質和旋轉的性質即可得到結論；（2）由旋轉可知，求得得到，于是得到結論；（3）①根據旋轉的性質得到，求得，由（1）知，當時，當時，當時，根據等腰三角形的性質即可得到結論；②根據旋轉的性質得到，，，根據全等三角形的性質得到，根據四邊形的內角和定理即可得到結論．【詳解】解：（1）∵，，∴，由旋轉得，，在四邊形中，，∴，∴，故答案為：40；（2）證明：由旋轉可知，∴，∴，∴∵∴∵為旋轉角∴始終與旋轉角相等;（3）①.將繞點A逆時針旋轉，得到，∴，∵，∴，由（1）知，，當時，，∴（不合題意，舍去），當時，，∴；當時，，∴；綜上，當為等腰三角形時，旋轉角等于或，故答案為：或；②，理由如下：∵將繞點A逆時針旋轉，得到,∴，，,∴，∴，∵，∴，∵四邊形的內角和為，∴．3．(1)6(2)21(3)(4)32【分析】本題考查了多項式的乘法運算，規律問題探索等知識，尋找規律是解題的關鍵；（1）根據圖中每個數的規律：中間的每個數是其肩上兩個數的和，即可求解；（2）根據規律：展開式的項數比指數多1，即可求解；（3）根據規律，的展開式中系數依次是1，5，10，10，5，1，字母a的指數按降冪排列，字母b的指數按升冪排列，且各項次數均為5次，由此即可寫出展開中余下的項；（4）根據（3），令，即可求解．【詳解】（1）解：由圖知，所求的數為其肩上兩個數3與3的和，即6；故答案為：6；（2）解：的展開式中共有21項；故答案為：21；（3）解：；故答案為：；（4）解：由（3）知，，上式中令，則，∴．4．（1），，（2）需要購買個“”【分析】此題考查了圖形個數規律題，發現正確的規律是解題的關鍵．（1）根據題中的規律進行解答即可；（2）利用（1）中的規律即可得到答案．【詳解】（1）由所給圖形可知，第個圖案中“”的個數為：，“”的個數為：；第個圖案中“”的個數為：，“”的個數為：；第個圖案中“”的個數為：，“”的個數為：；，所以第個圖案中“”的個數為個，“”的個數為個．故答案為：，．（2）由得，，所以制作成第個圖案“”剩余最少，此時需要購買的“”的個數為：個，故需要購買個“”．5．(1)(2)(3)2024【分析】本題考查平方差公式，分母有理化，二次根式的混合運算，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．（1）根據平方差公式、二次根式混合運算法則計算即可求解；（2）根據平方差公式、二次根式混合運算法則計算即可求解；（3）根據平方差公式、二次根式混合運算法則計算即可求解．【詳解】（1）解：；故答案為：；（2）解：；故答案為：；（3）解：．6．任務1：長和寬相等；，證明見解析；任務2：這樣的改進合理，理由見解析【分析】本題主要考查了多項式乘法在幾何圖形中的應用，圓柱和長方體的表面積計算，正確理解題意是解題的關鍵．任務1：根據矩形周長計算公式可得矩形的周長為，則當時，矩形的周長有最小值，即矩形的面積一定時，矩形的長和寬相等時周長最小；任務2：分別計算長方體和圓柱的表面積，比較即可得到結論．【詳解】解：任務1：∵矩形兩鄰邊長分別為和，∴矩形的周長為，∵，∴矩形的周長為，∵n為定值，∴當有最小值時，矩形的周長有最小值，∴當時，矩形的周長有最小值，∴矩形的面積一定時，矩形的長和寬相等時周長最小；（2）合理，理由如下：長方體的表面積為平方厘米，圓柱的表面積為平方厘米，∵，∴這樣的改進合理．7．(1)水持續滴入時間每增加，水位高度會增加，(2)【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用；（1）設出函數解析式，再根據表格中的數據利用待定系數法求解即可；（2）根據（1）所求解析式求出當時，的值即可得到答案．【詳解】（1）解：水持續滴入時間每增加，水位高度會增加，設h關于t的函數解析式為，由可得，將代入中，得，解得，∴h與t的解析式為；（2）解：將代入中，解得，∵，∴每個相鄰時刻線之間的距離為．8．(1)(2)(3)2024【分析】本題考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合運算，解題的關鍵是∶（1）根據題目中的例子進行分母有理化求解即可；（2）按照所給等式的變化規律寫出第n個等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式計算即可．【詳解】（1）解∶，的倒數是；（2）解：觀察已知式子可得，；（3）解∶原式．9．(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了多項式乘法中的規律探索，正確理解題意找到規律是解題的關鍵．（1）根據題意可得，據此可得答案；（2）根據（1）所求，令，則，據此可得答案；（3）先把原式變形為，再由（1）的結論可變形為，據此可得答案．【詳解】（1）解：，，，……，以此類推可得，，∴；（2）解：∵，∴當時，，∴；（3）解：．10．（1）46；（2）【分析】本題主要考查了圖形變化類規律與數字類規律探究，要求學生通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題．注意連續整數相加的時候的這種簡便計算方法．（1）根據題意找到每一層最后一個數的規律，進而求出第9層最后一個數，即可得到第10層最左邊的數；（2）首先求出12層共有78個數，其中23個負數，1個0，54個正數，然后求絕對值之和即可．【詳解】解：（1）∵第1層最后一個數是1；第2層最后一個數是；第3層最后一個數是；第4層最后一個數是；∴第9層最后一個數是；∴第10層最左邊的數是；（2）12層共有（個）數，其中23個負數，1個0，54個正數，按題圖4方式填數后所有圓圈中各數的絕對值之和．11．B，D之間的距離．【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質等知識，根據等腰直角三角形的性質得到，由題意可得：，根據解直角三角形求出的長，即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：在中，，∴，∴，