2025年九年級中考數學復習

圓周角定理綜合題典型題型

1.如圖1,是VABC的外接圓，A3為。。的直徑，過點C作。//AB,交。。于點，

點E在的延長線上，ZC￡A=ZG4D.

⑴求證：CE是0。的切線；

(2)如圖2,若NCE4=2ND43,04=4,求弧即的長.

2.如圖，VABC內接于0。，相是0。的直徑，CE是0。的切線，。是0。上的一點，CELAD,

垂足為點E,A8與CD相交于點尸.

C

⑴求證：CO平分4CD；

⑵若A￡=4,AB=9,求AC的長.

3.如圖，A3是。。的直徑，點C為0。上一點，連結AC,BC,作/CAB的角平分線AD

交。。于點。，交BC于點E,連結交BC于點八

(1)求證：AC//OD-

⑵若DR=2,sinB=-,求跖的長.

4.如圖，AB是0。的直徑，點C是0。上一點，C尸為0。的切線，弦仞〃CP,。。的延

長線交CP于點尸，連接AC,BC.

(1)求證：ZABD=2NBDC；

(2)若切＞=3P3=6,求A￡)的長.

5.如圖，VA2C內接于O。A3是。。的直徑，連接"，點E是BC延長線上一點，CD是

。。的切線，連接網＞并延長交A8于點尸，且CD=DE.

(1)求證：EF±AB；

(2)若tanB=GBE=6,BF=3AF,求AC的長.

6.如圖，點c在以A3為直徑的°。上，過點。作的垂線交AC于點交。。于點E,

交過點C的切線于點尸.

試卷第2頁，共6頁

A

⑴求證：DF=CF；

(2)若。。半徑為5,AC=3A/10,求的長和tanF的值.

7.如圖，以VA2C的邊為直徑的0。交AC邊于點D.交BC邊于點E,連接如，AE相

交于點，連接C￡

(1)求證：^BAE+ZCBD=ZCAB；

(2)若3CE=-1BE,CF=5,求°。的半徑.

8.如圖，VABC中，AB=4&。為AB中點，ZBAC=ZBCD,cosZADC=?O>^ACD

(1)求即和2C的長；

⑵利用尺規作圖，過點A作線段。垂線，交。于點E,保留作圖痕跡；

⑶求。。的半徑.

9.定義：三角形一個內角的平分線與另一個內角的鄰補角的平分線相交所成的銳

角稱為該三角形第三個內角的“張望角”.

⑴如圖1,點。在BC的延長線上，4是VABC中NA的“張望角”，求證：Z/=|zA；

(2)如圖2,VA5c內接于。。，點。在2C的延長線上，點E在AC上，連接EA,EC,EA=EC,

連接班，點尸在AC上，AF=BF,連接質,連接CP并延長交3E的延長線于點/,求證:

4是NABC中ZBAC的“張望角”;

⑶如圖3,在(2)的條件下，若AC是0。的直徑，過點/作AC的垂線，點G為垂

足，IG交AF于點H,若切=5,BC=1,求卻的長.

10.小溢同學在復習圓中的垂徑定理時，進行變式、探究與思考：如圖1,0。的直

徑CD垂直弦于點E,且CE=8,DE=2.

(1)復習回顧：求A3的長.

⑵探究拓展：如圖2,連接AC,點G是BC上一動點，連接AG,延長CG交A5的延長

線于點尸.

①當點G是8c的中點時，求證：ZG4F=ZF；

②如圖3,連接OF,BG,當VCW為等腰三角形時，請直接寫出3G的長.

11.如圖，是O。的直徑，點。E均在O。上，皿。=2/亞加，點C在AB的延長線上，

ZC=ZABD,連接BE.

試卷第4頁，共6頁

D

(1)求證：CE是。。的切線；

⑵若所=2,EF=4U,求。。半徑的長.

12.如圖，四邊形ABCD內接于0。，AB為。。的直徑，點。為8。的中點，過。作。。

的切線，分別交神，釘的延長線于點E,F.

(1)求證：EFLAF；

(2)若點G為。。上一點且位于A8下方，cosZBGD=-,AD=4,求8E的長.

⑴求證：DE是。。的切線；

⑵若NC=30。，CD=12,求。。的直徑.

14.已知如圖，AB為。。的直徑；C為。。上一點，4OC=120。，點D為BC的中點，連

接AD,交OC于點G,延長交。。于點E,連接BE,OD.

(1)求證：ZADO=ZCBE.

(2)若AB=4,求AG的長.

15.如圖，A8與0。相切于點5,A0交0。于點0,A。的延長線交0。于點。，E是BCD

上不與5,。重合的點，ZA=30°.

⑴求即的大小；

(2)若點尸在A8的延長線上，且AF=2AB,求證：時與。。相切.

試卷第6頁，共6頁

《2025年九年級中考數學復習-圓周角定理綜合題典型題型》參考答

案

1.(1)證明見解析

⑵兀

【分析】(1)連接”，如圖所示，設=由平行線性質、圓周

角定理及直徑所對的圓周角是直角得到相關角度關系，再等量代換即

可得到“CE=9O。，進而得證；

(2)連接。。、即，如圖所示，設〃鉆=人由題意，結合等腰三角形

性質、圓周角定理及平行線性質求出相關角度，再由直徑所對的角是

直角，得到+=M=解得分=22.5。，進而由圓周角定理求

出NBOD=2NBAD=2/3=45。,最后由弧長公式代值求解即可得到答案.

【詳解】(1)證明：連接”，如圖所示：

ZCDA=ZDAB=a,

AC=AC,

■-ZABC=ZCDA=a,ZCOA=2ZCDA=2a,

???A5為0。的直徑，

ZACB=90°,貝lj在Rt^ABC中，ZCAB+ZB=ZCAD+2a=90°,

VZCEA=ZCAD,

答案第1頁，共30頁

ZCEA+2a=90°,貝lj在ACOE中，ZCEO+ZCOE=90°,gpZOCE=90°,

:.OCLCE,

???oc是。。的半徑，

是0。的切線；

(2)解：連接加、BD,如圖所示:

設NZM3=/7,貝UNCEA=2NZ)AB=2分,

:.ZCAD=ZCEA=2/3,

\'OA=OD,

,AADO=ADAB=/3

BD=BD,

:.ZDCB=ZDAB=/3,

??,CD//AB,

：.ZCBA=ZDCB=J3,

???DC=DC,

:.ADBC=ACAD=2/3,

:.4OBD=4OBC+/DBC=(3+2(3=3(3,

AB為。。的直徑，

ZADB=9Q°,貝ljZDAB+ZABD=邛=90°,

解得夕=22.5。，

/./BOD=2ZBAD=20=45°,

答案第2頁，共30頁

v0A=4,

:.l.=—x27tx4=7t

BD360

【點睛】本題考查圓綜合，涉及切線的判定、平行線性質、圓周角定

理、等腰三角形的性質、弧長公式等知識，熟記圓的相關性質是解決

問題的關鍵.

2.(1)見解析

(2)AC=6

【分析】本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，角平分線以及相

似三角形的判定和性質，掌握切線的判定和性質，圓周角定理，角平

分線以及相似三角形的判定和性質是正確解答的關鍵.

(1)利用切線性質和圓的半徑相等所帶來的等腰三角形性質，通過

角度等量代換證明角平分線.進行解答即可；

(2)通過證明AACESAABC,利用相似三角形對應邊成比例來計算AC的

長度.

【詳解】(1)證明：???CELAD,

.-.ZE=90°,

???CE是0。的切線，

:.ZOCE=90°,

:.ZOCE+ZE=180°,

:.OC//DE,

:.ZD=ZOCD,

\OB=OC,

答案第3頁，共30頁

:"B=NOCB=/D,

.\ZOCB=ZOCD,

.??CO平分4CQ；

(2)解：???峰是。。的直徑,

:.ZACB=90°.

???ZOCE=ZACO+ZACE=90°,ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

.\ZACE=ZOCB,

?,-ZB=ZOCB,

:.ZACE=ZB

又丁ZACB=ZAEC=90°,

:.AACE^AABC,

.AEAC

'~AC~~AB'

AC2=AE-AB=4x9=36.

：.AC=6.

3.(1)證明見解析

(2)1

【分析】(1)先利用角平分線的定義得到NG4D=4S，根據等邊對等

角得出/胡。=〃，推得〃=/GW,根據平行線的判定方法得至I」結論；

(2)先根據圓周角定理得到ZAC3=90。，再根據平行線的性質得

ZACB=ZOFB=90°,根據垂徑定理得到CF=防，結合銳角三角函數的定

義可求出8=5,求得O尸=3,AB=10,根據勾股定理求出防=4,即可

得出BC=8,根據銳角三角函數的定義可求出AC=6,根據相似三角形

答案第4頁，共30頁

的判定和性質即可求出所的長.

【詳解】（1）證明：???A。平分/BAC,

/.ZCAD=ZBAD,

;OA=OD,

/.ZBAD=ZD,

：.ZD=ZCAD,

：.AC//OD；

(2)解：???AB是。。的直徑,

/.NAC6=90。，

*/AC//OD,

/.ZACB=ZOFB=90°,

：.CF=BF,

,.OF3

中,sinB==—,

OB5

又,:OB=OD,OF=OD-DF=OD-2,

.OD-23

OD~'5"

OD=5,

/.OF=3,AB=2OD=10,

在RtAOFB中，BF=y]OB2-OF2=^52-32=4，

：.BC=89

在RtA4BC中，sinB=——=—,

AB5

/.AC=6,

*/AC//OD,

答案第5頁，共30頁

??△ACE°°^J)FE,

?DFEF

**~AC~~CE9

EF=1,

【點睛】本題考查了角平分線的定義，相似三角形的判定和性質，等

邊對等角，平行線的判定和性質，圓周角定理，垂徑定理，解直角三

角形，勾股定理等.熟練掌握圓的相關定理和相似三角形的判定與性

質是解題的關鍵.

4.(1)見解析

(2)8

【分析】本題考查了圓周角定理，切線的性質，相似三角形的判定和

性質，平行線的性質，熟練利用上述性質是解題的關鍵.

(1)連接"，利用切線的性質可得NOCP=90。，再證明

ZP=180°-ZADB=90%可得0c〃小，利用圓周角定理即可解答；

(2)證明/BCS'C，利用相似三角形的性質求角度即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接”，

?「CP為。。的切線,

/.ZOCP=90°,

答案第6頁，共30頁

?A5是O。的直徑,

/.ZADB=9Q°.

*/AD//CP,

ZP=1800-ZADB=90°,

/.ZP+ZOCP=180°,

/.OC//DP,

ZABD=ZBOC.

*：ZBOC=2ZBDC,

/.ZABD=2ZBDC；

(2)解：VBD=3PB=6,

/.PD=S,PB=2,

NOCP=90。,

/.ZOCB+ZBCP=90°.

丁AB是。。的直徑，

，ZACS=90。，

ZOBC+ABAC=90°.

*/OB=OC,

/.ZOBC=ZOCB,

/.ZBAC=Z.BCP=ZBDC,

?.?ZP=ZP,

/.APBCS^PCD,

?PCPB

?*PD-PC?

答案第7頁，共30頁

PC=YPB-PD=4,

BC=y]PC2+PB2=2非,

ZACB=NP=90°,ABAC=ZBCP,

APBCS.CBA,

.PBBC

??BC-ABJ

AD=\lAB2-BD2=8.

5.(1)證明見解析

(2)273

［分析】本題考查了切線的性質，解直角三角形，等腰三角形的性質，

圓周角定理的應用，角的和差等知識，掌握相關知識是解題的關鍵.

(1)由CD是。。的切線，得到NOCD=90。，進一步得到々+4=90。，即

可得出結論；

(2)由tanB=VL得到ZB=60。，進一步得到NE=ZA=30。，再通過解直

角三角形即可求解.

【詳解】(1)證明：是。。的切線，

ZOCD=9Q°,

ZOCB+ZDCE=90°.

VOB=OC,CD=DE,

ZB=ZOCB,NE=ZDCE,

ZB+ZE=90°,

：.ZBFE=90°,BPEF±AB.

答案第8頁，共30頁

(2)解:tanB=73,

ZB=60°,

EFLAB,

ZBFE=90°,

丁AB是。。的直徑，

/.404=90°,

/.ZE=ZA=3Q°,

BE=6,

BF=-BE=3

2

BF=3AF,

AF=1,AB=AF+BF=4,

AC=ABsinB=2y/3.

6.(1)見解析

53

⑵tanF=-

【分析】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.也

考查了勾股定理、垂徑定理和圓周角定理.

(1)連結OC,先根據切線的性質得到NOb=90。，再利用ZAOF=90。和

ZA=ZOC4得到NDCF=ZADO,然后根據對頂角相等得到NCDF=NDCF,

從而有結論；

(2)先根據圓周角定理得到48=90。，則利用勾股定理可計算出

2C=M,再證明AAODSAACB,利用相似比可求出。。=；,在口△無尸中，

設CF=x,則利用勾股定理得到52+/=聯+；解方程得到CP

答案第9頁，共30頁

的長，然后根據正切的定義求解.

【詳解】（1）證明：連結OC,如圖

W為O。的切線，

/.OC1CF,

/.ZOCF=90°,

BPZOCA+ZDCF=90°,

OF±AB,

/.ZAOF=90°,

/.ZA+ZADO=90°9

*：OA=OC,

ZA=ZOCA,

ZDCF=ZADO,

*.*ZADO=ACDF,

/./CDF=/DCF,

DF=CF；

(2)解：?.?AB是O。的直徑

:.ZACB=90°=ZAOD

???。。半徑為5

AB=10

答案第10頁，共30頁

22

???在RtZWC中，BC=AB-AC=^102-（3A/10）2=M

ZA=ZA

在△AQD和AACB中ZAOD=ZACB

.△AOD^AACB

.OPAO

.0D_5

??回—3M，

CF-DF=x,貝UOb=OD+O77=g+x,

在RtAOCF中,0C2+CF2=OF2,

:.52+x2+,

解得x=g,

ACF=y,

OC53

.?.在RtZ\OCF中，tan=CF=20=4

T

7.⑴見解析

(2)5+|遙

【分析】(1)根據同弧或等弧所對的圓周角相等可知可推出

ZCAE=ZCBD,然后根據N54E+N。場=NG4B即可證明結論；

(2)由直徑所對的圓周角為直角，ZADB=ZAEB=90。,設加=x,則

CD=|oF=|%,在段段￡)尸中利用勾股定理，即可求得X,不妨設CE=a,

BE=2a,接著禾lj用sinNC4E=sinNCBr>,得到隼=*=蕓，得到AC=/,

BF=ayl25-a2,接著利用防2+m2=臺廣，求得。，最后在RtAADB中利用

勾股定理求得”，最后得到半徑.

答案第11頁，共30頁

【詳解】（1）解：???NC4E和NC5。為劣弧QE所對的圓周角,

:"CAE=/CBD,

???ZBAE+ZCAE=ZCAB,

/.NBAE+NCBD=ZCAB.

（2）解：???的是。。的直徑,

..ZADB=ZAEB=90。，

.\ZCDF=90°,

設叱=x,則。/=]孫

在RtZ\CDF中，CF=5,

222

CD+DF=CF,艮|][1力+無2=52,

解得x=4,（負值已舍去），

33

.\DF=4,CD=-DF=-x4=39

?.,NCAE=/CBD,

sinZCAE=sinZCBD,

.CECDEF

CE=^BE,不妨設CE=a,BE=2a,

ZAEB=ZADB=90°,

EF=ylCF2-CE2=525一/，

a3yj25-a2

"AC"3a"BF-'

：.AC=a2,BF^asJ25-a2,

?:EF?+BE?=BF2,

（，25-a?/+（2?）2=（ad25—a2丫,

答案第12頁，共30頁

25-4+4Q2-Q?(25-4)，

不妨設/=x，

/.25-x+4x=x(25-x),

x=11±4^6,

a2=11±4A/6,

vAC>CD,AC=a2,

：,AC=a1=11+476(舍去11-4布)，

a=2\/2+\[?>,

AD=AC-CD=11+4A/6-3=8+4>/6,

BF=a125-a2=(272+旬)也5-11-4#=(2近+圾(26-6=3瓜+2,

BD=BF+Z)F=3A/6+2+4=3A/6+6,

AD2+BD2=AB2,

(8+4炳2+(376+6)2=AB2,

AB=10+5y/6,

，半徑為：5+g卡.

【點睛】本題考查了同弧或等弧所對的圓周角相等，勾股定理，解直

角三角形，算術平方根，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.

8.(1)BD=2貶,BC=4

(2)見解析

⑶。。的半徑為"

【分析】本題主要考查圓周角定理，相似三角形的判定與性質，解直

角三角形等知識，正確作出輔助線是解答本題的關鍵.

答案第13頁，共30頁

（1）證明△BACSABCD,即可得出答案；

（2）根據過直線外一點作已知直線的垂線傻即可；

（3）連接C。并延長交0。于點尸，連接轉,在RtAA匹中，求出AE,

設CD=x,則=CE=x-\,運用勾股定理求出8=2,AC=242,

解直角三角形求出第=然即可得解.

【詳解】（1）解：VZBAC=ZBCD,ZB=ZB,

小BACsABCD,

.BC_BA

??茄―茄，

,:AB=4E,。為48中點，

BD=AD=2版,

.BC4近

??運=正’

ABC=4（負值舍去）；

（2）解：如圖，AE即為所作:

（3）解：連接CO并延長交。。于點尸，連接AF,

在RtAAED中，cosZCDA=—=—

AD4

答案第14頁，共30頁

?/AD=2^2,

/.DE=1,

AE=^AEr-DEr=41,

,/ABACS/CD,

生=絲=0.

CDBC'

設CZ)=x,貝(jAC=&x,CE=x-\,

在RUACE中，AC2-CE-=AE2,

解得，占=2,x2=-4(舍去),

/.CD=2,AC=20,

公FC和ZADC都是AC所對的圓周角，

/.ZAFC^ZADC,

,/cr為。。的直徑，

/.ZC4F=90°,

sinZAFC=—=sinZCDA=—=—,

CFAD4

:.CF2

7

o。的半徑為印

9.(1)見解析

(2)見解析

⑶*華

【分析】(1)根據題中“張望角”的定義和角平分線的定義得到

〃BC=^ZABC,ZICD=^ZACD,結合三角形的外角性質可得結論；

答案第15頁，共30頁

(2)先根據圓周角定理和角平分線定義可得即平分/4BC,再根據圓

周角定理，結合圓內接四邊形的性質可證明C/平分ZACD,進而根據

“張望角”的定義可得結論；

(3)連接A/,EF,先證明當ffiF(AAS)得到ZF=AF,進而證明

△ACF四△由F(ASA)得至==5,過尸作而，如于在MD上截取

on

MN=CM,連接M,FN,證明AMWFSA麗g,求得班=0/=3,BF=y,

CI=3,過/作/KLa)于K,IK=BK=y,在Rt4CK中，由勾股定理求

得片進而可求解.

【詳解】(1)證明：?.一是VABC中々的“張望角”，

BI,Q分別是-4BC,ZACD的平分線

ZIBC=-ZABC,ZICD=-ZACD

22

VZACD=ZA+ZABC,ZICD=//+ZIBC

ZZ=ZICD-ZIBC=-ZACD--ZABC=~(ZACD-ZABC}=-ZA

222''2

.-.ZZ=-ZA.

2，

(2)證明：?：EA=EC,

EA=EC,

:.ZABE=ZEBC9

即皿平分-4BC,

???AF=BF，

:.ZBAF=ZACF,

丁四邊形ABC廠內接于。。,

.\ZBAF+ZBCF=1SO0,

答案第16頁，共30頁

???/FCD+/BCF=180。，

:.ZBAF=ZFCD,

.\ZACF=ZFCD,

即C7平分ZACD,

.?)是NABC中NBAC的“張望角”；

(3)解：連接山，EF,

?.?N/是NABC中NBAC的“張望角”,

ZBAC=2ZBIC,

,/ZBEC=ZBAC,

/.ZBEC=2/BIC,又NBEC=NBIC+NECF,

/.ZBIC=ZECF=ZEAF,艮|]/ETF=/FAF,

?.?EA=EC,

??EA=EC，

/.ZCAE=ZEFA,

四邊形ACFE內接于00,

ZEFI=Z.CAE=Z.EFA,又EF=EF,

：.AAEFmMEF(AAS),

IF=AF,

丁AC是。。的直徑，IG±AC,

ZABC=ZAFC=ZHFI=ZAGH=90°,又ZAHG=ZIHF,

I.NGAH=ZHIF,即ZCAF=ZHIF,

“CF絲△田F(ASA),

答案第17頁，共30頁

/.CF=FH=5,

過尸作于在MD上截取肱V=CM,連接所，FN,則五M垂直

平分CN,

CF=FN=5,

/.ZFCM=ZFNM,

設ZECF=ABIC=a,貝|ZBFC=2a,

「以平分ZABC,ZABC=90°,

ZIBC=45°9

AFNM=Z.FCM=ZIBC+ZBIC=45°+cr,

/.ZCFM=ZNFM=45°-a9

：.ZBFN=2cr+2(45°-a)=90°,

ZFMN=ZBFN=9Q09又/FNM=ZBNF,

/.ANMFS處JFB,

.FN_MN_MF

??而一俞一赤’

7

設MN=CM=x,又Be、,

5_x

?*-Z+2x5,解得了=3(負值已舍去),

3

，MN=CM=3,

?*.FM=YIFN2-MN2=A/52-32=4,

由冷篝得則“年

?AF=BF,

/.BF=AF=IF="

3

答案第18頁，共30頁

2035

CI=CF+IF=5+—=—

33

過/作于K,則Rt/BK是等腰直角三角形,

/.IK=BK,

7

設IK=BK=y,則CK=A^_5C=y_1

在RtZJCK中，由/片+CK2=CL得/一J

解得y=?（負值已舍去），即BK=/K=?,

.，.BI=y/2BK=.

3

圖3

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了角平分線的定義，圓周角定理,

圓內接四邊形的性質，弧與弦的關系，相似三角形的判定與性質，全

等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形的外角性質，等腰三角形

的判定與性質，解一元二次方程等知識,涉及知識點較多，綜合性強，

熟練掌握相關知識的聯系與運用是解題的關鍵.

10.(1)8

(2)①見解析；②BG的長為半或4括-20

【分析】(1)先求得。。的直徑為10,再利用垂徑定理求得=

在RCOAE中，利用勾股定理即可求解;

(2)①連接DG,由點G是8C的中點，推出NGA尸=/。，根據等角的

答案第19頁，共30頁

余角相等即可證明結論成立；

②分兩種情況討論，當CF=CD=10和止=CD=1。時，證明AFGBs△網g

利用相似三角形的性質求解即可.

【詳解】（1）解：連接以，如圖1,

;的直徑。垂直弦于點E,且CE=8,DE=2,

:.CD=CE+DE=10,AE=BE,

OA=OD=-CD=5,OE=OD-DE=3,

2

在RtZkOAE1中，AE=y/oA2-OE2=752-32=4,

AB=2AE=8；

(2)解：①證明：連接DG,如圖，

圖2

丁點G是BC的中點，

?*.BG=*G,

...ZGAF=ZD,

:0。的直徑CD垂直弦AB于點E,

NCGD=NCEF=90°,

答案第20頁，共30頁

/.ZF=90°-NDCG=ND,

ZGAF=ZF；

②當CF=CD=10時，

RtACEF中,EF=^CF2-CE1=V1O2-82=6,

BF=EF—BE=2,

AE=4,CE=8,

AC=A/42+82=475,

ZFGB=180°-NBGC=ZFAC,

：.AFGBSAFAC,

.BGBFBG_2

??就=而，R即n礪=正

當Db=C￡>=10時,

圖3

在RtADEF中，EF=RDF。-DE?=V102-22=4底,

在RtACEF中，CF=^CE'+EF2=,+(4廚=4y/10,

BF=EF-BE=446-4,

同理△FG5SAR4C,

：.BA-里,即與=",

ACCF4A/54A/10

I.BG=4百-20.

答案第21頁，共30頁

綜上，BG的長為W或4g-2五.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定

和性質，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要

的條件.

11.⑴見解析

(2)y

【分析】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質、切線的

判定定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解

此題的關鍵.

(1)連接。E,則/8OE=2/班巴結合題意得出=證明

△ABDSQCE,結合圓周角定理可得NOEC=403=90。，即可得證；

⑵連接皿證明△碎—得出黑嚏，器嚕，結合。3

得出=代入數據計算即可得解.

【詳解】(1)證明：如圖：連接OE,則4。石=2/及圮，

NDAO=2NBDE,

ZDAO=ZBOE,

ZC=ZABD,

/.AABD^/JJCE,

/.ZADB=ZOEC,

答案第22頁，共30頁

:A3是。。的直徑，

/.ZOEC=ZADB=90°,

TOE是0。的半徑，

.??CE是0。的切線；

(2)解：如圖，連接班,

貝ljZA=ZBED,

;ZA=ZBOE,

：.ZBED=/BOE,

ZBEF=ZBOE,/EBF=/OBE,

/.^OBE^^EBF,

?EBOBOBEB

''BF~BE，0E~EF9

"：OB=OE,

EB=EF,

,:BF=2,EF=JTi,

.A/TT_OB

,,丁忑V

；.0B=,即°。半徑的長為*

12.⑴見解析;

⑵成=1.

答案第23頁，共30頁

【分析】(1)連接。CAC,可得"AC=NG4E,然后根據等邊對等角證

明OC〃Ab,再由切線的性質得到OCLEP，再由平行線的性質即可求證;

(2)先由圓周角定理得到ZBGD=/BM),連接8D,則ZAT?=90。，解

RtA4D3中，AB=|AZ)=10,貝|OC=OB=；A2=5,證明/C0E=/&4D,解

S25

RSCOE中，求得OE=]OC=M，再由3E=OE-O3即可求解.

【詳解】(1)證明：連接",AC,

BC=CD，

.\ZFAC=ZCAE

?,-OA=OC,

.\ZCAE=ZACO,

:.ZFAC=ZACO,

:.OC//AF

???￡/切OO于C,

/.OC.LEF9

ZOCE=90°

:.ZF=ZOCE=90°,

:.EF±AF；

(2)解：???“GD、/歷⑦都是所對的圓周角,

:"BGD=/BAD

連接加，

答案第24頁，共30頁

?.,池是。。直徑,

:,ZADB=90°,

AD_2

,AB"5

AD=4,

/.AB=-AD=10,

2

?.OC=OB=-AB=5

2

??,點。是8。的中點,

:,ZCOE=ZBAD

or2

在R3COE中，cosZCOE=—=-,

OE=-OC=—

22

2515

:.BE=OE-OB=——5

2~2

【點睛】本題考查了圓的切線的性質，解直角三角形，圓周角定理,

等腰三角形的性質等知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵.

13.(1)見解析

(2)43=8/

【分析】本題考查了切線的判定，三角形中位線定理,解直角三角形.

(1)由三角形中位線定理求得8〃AC,推出N￡DO=90。，據此可證明

DE是。。的切線；

答案第25頁，共30頁

(2)先求得AD的長，再證明△OAD是等邊三角形，據此求解即可.

【詳解】(1)證明：連接

C

丁是直徑，

.?。是的中點.

???。是BC的中點,

：.OD//AC.

.?./AED+/EDO=180。.

*.*DEJ.AC,

ZAED=90°.

.?./EDO=90。,

石是。。的切線；

(2)解：連接AO,

???A5是。。的直徑,

:.ZADB=90°,

是直角三角形,

答案第26頁，共30頁

；ZC=30°fCD=12,

AD=CDtan30°.

...==

3

丁OD//AC,

.\ZC=ZODB=30°.

*/OB=OD,

.\ZB=ZODB=30°.

:.AAOD=60°.

*/OA=OD,

??△AO。是等邊三角形,

：.OA=OD=AD=46.

AB=8\/3?

14.（1）見解析

（2）當

【分析】（1）先根據等腰三角形的性質得4CL3C,再結合圓周角定

量得AC〃OD,再根據兩直線平行內錯角相等得NC4D=WO,再由圓

周角