專題05軸對稱圖形（七大題型）

型大泰合

＞題型一軸對稱圖形的識別（高頻）＞題型五角平分線性質應用（重點）

＞題型二折疊問題＞題型六作圖-垂直平分線與角平分線

＞題型三垂直平分線的性質（高頻）＞題型七最短路徑問題（重點）

＞題型四垂直平分線的判定

理大通關

.一.一.一.一.一—

【題型1］軸對稱圖形的識別

1.（24-25七年級下?江蘇蘇州?期中）2024年中國體育代表團在巴黎奧運會上奪得40金27銀24銅，創造

了我國境外奧運參賽的最佳成績，下列四個運動圖標中，軸對稱圖形是（）

偉X

【答案】C

【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成

軸）對稱，據此即可判斷求解，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

故選：C.

2.（24-25七年級下?黑龍江綏化?期中）下列圖標中是軸對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】本題考查軸對稱圖形的識別，解題的關鍵是掌握：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形.據此解答即可.

【詳解】解：A.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

B.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C.該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

D.該圖形是軸對稱圖形，故此選項符合題意.

故選：D.

3.（2025?青海海西?二模）下列圖形中是軸對稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】本題考查的是軸對稱圖形的概念，根據軸對稱圖形的概念求解即可.熟知如果一個圖形沿著

一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關鍵.

【詳解】解：A、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；

B、圖形是軸對稱圖形，符合題意；

C、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意；

D、圖形不是軸對稱圖形，不符合題意.

故選：B.

【題型2］折疊問題

4.（24-25七年級下?四川南充?階段練習）如圖a是長方形紙帶，ZDEF=24°,將紙帶沿砂折疊成圖6,再

沿冊折疊成圖c,則圖c中的NCTE的度數是（）

A.97°B.105°C.108°D.111°

【答案】C

【分析】本題主要考查了翻折變換，掌握長方形紙條的性質和翻折不變性成為解題的關鍵.

根據長方形紙條的特征對邊平行，利用平行線的性質和翻折不變性求出N2=ZE尸G,繼而求出/GFC的

度數，再減掉NGFE即可得NCPE的度數.

【詳解】解：如圖：延長AE到H,由于紙條是長方形,

D

國EH〃GF,

S1Z1=ZEFG,

根據翻折不變性得4=N2,

0Z2=Z￡FG,

又回ZDEF=24°,

0Z2=ZEFG=24°,ZFGD=Z2+ZEFG=240+24°=48°.

在梯形FCDG中，ZGFC=180°-48°=132°,

根據翻折不變性，Z.CFE=ZGFC-ZGFE=132°-24°=108°.

故選C.

5.（2025?山西臨汾?二模）利用如圖所示的方法，可以折出"過已知直線外一點和已知直線平行"的直線，下

列說理中錯誤的是（）

⑴⑵⑶（4）

A.同位角相等，兩直線平行B.內錯角相等，兩直線平行

C.平行于同一條直線的兩直線平行D.同旁內角互補，兩直線平行

【答案】C

【分析】本題考查了折疊問題，平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平

行；同旁內角互補，兩直線平行；如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.

先根據折疊的性質得到折痕都垂直于過點P的直線,根據平行線的判定方法求解.

【詳解】解：如圖,

由題圖（2）的操作可知尸E_LAB,

所以NP￡A=90。，

由題圖（3）的操作可知

所以ZMPE=Z2VPE=9O。,

所以ZMPE=ZNPE=ZAEP=ZBEP=90°,

所以可依據同位角相等，兩直線平行或內錯角相等，兩直線平行，或同旁內角互補，兩直線平行判定

AB//MN,

故選：C.

6.（24-25七年級下?天津?期中）如圖，VABC的周長為30cm,把VABC的邊AC對折，使頂點C和點A

重合，折痕交于。，交AC于E,連接AD,若AE=4cm,則△ABD的周長是（）

A.26cmB.16cm

【答案】D

【分析】本題主要考查了折疊的性質，熟練掌握折疊的性質是解題關鍵.先根據折疊的性質可得

CE=AE=4cm,AD=CD,再根據三角形的周長公式可得AB+8C+AC=30cm,貝1J可得

AB+BC=22cm,然后根據三角形的周長公式計算即可得.

【詳解】解：由折疊的性質得：CE=A￡=4cm,AD=CD,

回AC—AE+CE=8cm,

回VA3C的周長為30cm,

團AB+BC+AC=30cm,

團AB+BC=22cm,

回△ABD的周長是AB+A￡>+=AB+（CD+應>）=AB+BC=22cm,

故選：D.

7.（24-25七年級下?黑龍江綏化?期中）如圖，將一張長方形的紙條ABCD沿跖折疊，若折疊后

/AGC'=48。，AD交EC于點G,則/CEB的度數是.

【答案】66°

【分析】本題考查平行線的性質、翻折變換（折疊問題）、由平行線的性質得出

/BEG=/AGC'=48。，由折疊的性質得出/CEF=/C'班，即可得出答案；正確觀察圖形，熟練掌

握折疊的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：團將一張長方形的紙條A2CD沿所折疊，NAGC'=48。，

0AD/7BC,NCEF=/C'EF,

0ZBEG=ZAGC,=48°,

0ZCEF=ZC'EF=1（180°-NBEG）=1x（180°-48°）=66°,

團,C砂的度數是66。.

故答案為：66°.

8.（24-25七年級下?江蘇宿遷?期中）將一張長方形紙片折疊成如圖所示圖形，重疊部分是一個三角形，

BC為折痕，若4=44。，則/DCB的度數為一.

A'

【答案】68°

【分析】本題考查了折疊的性質，平行線的性質，平角定義，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

由折疊性質可知，ZABC^ZXBC,又AE〃OG,則？DCB?CBE,設ZDCB=/CBE=x,然后根

據平角定義求出無的值即可.

【詳解】解：由折疊性質可知，/ABC=NABC,

^\AE//DG,

0?r>CB?CBE,

設ZDCB=NCBE=x,

0ZABC=ZA,BC=44°+x,

0ZABC+ZCBE=180°,

H44°+%+X=180°,解得：x=68°,

0ZDCB=68°,

故答案為:68°.

9.（24-25七年級下?上海?期中）如圖，長方形ABCD的四個內角都是90。，點E在AD上，將CDE沿CE

翻折得到二CDZ,點。與點力對應，如果NECB比NDCB大18。，那么4=.

【答案】72。/72度

【分析】本題考查了折疊的性質、平行線的性質，設“'CB=x。，則/ECB=（x+18）。，

/ECD=（2x+18）。，由折疊的性質可得NECD=NEa>'=（2x+18）。，ZDEC=ZD'EC,求出

NECB=36。,由平行線的性質可得NOEC=NECB=36。，Z1=ZDED,計算即可得解.

【詳解】解：設NO'CB=x。，則NECB=（x+18）。，

I?|ZECD,=（2x+18）°,

由折疊的性質可得：ZECD=ZECD=（2x+18）。,ZDEC=ZD'EC,

BlZECD+ZECB=90°,

回2x+18+%+18=90j

解得：x=18,

回/ECB=36°,

回四邊形ABCD為長方形，

^\AD//BC,

0/DEC=NECB=36。,Z1=NDED,

^ZDEC=ZD'EC=36°,

0Z1=NDED=NDEC+ZD'EC=72°,

故答案為：72°.

10.（24-25七年級下?江蘇泰州?期中）如圖，在.ABO中，ZAOB=22°,ABO沿80翻折到△A3O的位

置，然后將△A3O沿OA翻折到△OA?的位置，且A3〃CM,則ZA=。

【答案】44°

【分析】本題考查圖形的翻折變換以及平行線的性質，解題的關鍵是利用翻折的性質得到角之間的等

量關系，再結合平行線的性質建立關于/A的等式.

先根據翻折性質得出ZAOB=ZAOB=ZAOB'=22°,ZA=NBA'O=ZB'AO再AB'//OA得到角的等

量關系，求解/A.

【詳解】ABO沿BO翻折到△A2O的位置，

ZAOB=ZAOB=22°,ZA=ZBAO.

:將△A'BO沿OA翻折到的位置，

ZAOB=ZAOB'=22°,ZBAO=ZB'AO

，ZA,tM=2x22°=44°.

AB'//OA,

ZAOA=ZB'AO=ZA=44°.

故答案為：44°.

11.（24-25七年級下?四川成都?期中）如圖，將三角形紙片ABC的一角沿A3的垂直平分線翻折，折痕為

OE,點3與點A重合，已知二ACD的周長是20,AE=6,則VABC的周長是.

【答案】32

【分析】本題考查了垂直平分線性質，根據垂直平分線性質得到跖=M=6,8Q=A。，再結合

cABC=AB+BC+AC=AE+BE+AD+DC+AC^^,即可解題.

【詳解】解：為的垂直平分線，AE=6,

:.BE=AE=6,BD=AD,

C^ACD=20=AD+AC+DC,

則。ABC=A5+BC+AC

=AE+BE+BD+DC+AC

=AE+BE+AD+DC+AC

=6+6+20

二32；

故答案為：32.

【題型3】垂直平分線的性質

12.（24-25七年級下?黑龍江綏化?期中）如圖，在VABC中，邊A8的垂直平分線1交43于點E,交

BC于點D,若BC=10,AC=6,貝l]ACD的周長是（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】本題考查線段垂直平分線的性質.根據線段垂直平分線的性質，可得AD=BD,繼而可得

ACD的周長為AC+BC,則可求得答案.解題的關鍵是掌握線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線

上的點到線段兩端點的距離相等.

【詳解】解：回DE是的垂直平分線，

團AD=BD,

0BC=1O,AC=6,

回AC+CD+AD=AC+CD+BQ=AC+5C=6+10=16,

團ACD的周長為16.

故選：B.

13.（24-25八年級下?山西運城?階段練習）如圖，某居民小區在三棟住宅樓A,B,C之間修建了供居民散

步的三條綠道，并在綠道內部修建了一個涼亭尸.若點尸到點A,B,C的距離相等，則點P是VABC

的（）

A.三條角平分線的交點B.三條高的交點

C.三邊垂直平分線的交點D.三條中線的交點

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分

線的性質是解答本題的關鍵.要使點尸到點4B,C的距離相等，利用線段垂直平分線上的點到線段

兩端的距離相等即可得出答案.

【詳解】解：利用線段垂直平分線的性質得：點尸是VA3C的三邊垂直平分線的交點.

故選：C.

14.（2025七年級下?全國?專題練習）如圖，在RtABC中，ZC=90°,BD平分NCBA,交AC于點

DE_LAB于點E,若CD=3,AB=12,貝ABD的面積為（）

A.9B.12C.18D.36

【答案】C

【分析】本題考查的是角平分線的性質，關鍵掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.先根據

角平分線的性質求出OE的長，再由三角形的面積公式即可得出結論.

【詳解】解：BD平分NCBA,NC=90。，DEYAB,

DE=CD=3,

ABD的面積=gxABxDE=gx12x3=18,

故選：C.

15.（24-25九年級下?山東泰安?期中）如圖，VABC中，NB=32。，分別以點3、C為圓心，大于;的

長為半徑畫弧，兩弧在BC兩側相交于點M、N,作直線"N分別與A3、BC交于點。，E,連接

CD,則NBCZ）=.

【答案】32°

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規作圖和性質，等腰三角形的性質，熟練掌握線段垂直

平分線的相關知識點是解題關鍵.

根據作圖描述得"N垂直平分BC,可得比＞=CD,利用等腰三角形的性質即可求解.

【詳解】解：根據作圖可得，垂直平分BC,

/.BD=CD,

ZB=ZBCD=32°.

故答案為：32°

16.（24-25九年級下?四川成者K?期中）如圖，在VABC中，以點A為圓心，AC的長為半徑作圓弧交于

點。,再分別以點3和點。為圓心，大于;M的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點M和點N,連接

MN交.AB干點、E.若VADE的周長為21,AC=9,則48的長為.

【答案】12

【分析】本題主要考查了基本的尺規作圖，線段垂直平分線的性質等知識點，解題的關鍵是熟練掌握

線段垂直平分線的性質.

根據尺規作圖可知AD=AC=9,MN垂直平分線段即，利用線段垂直平分線的性質和三角形的周長

公式進行求解即可

【詳解】解：根據尺規作圖可知AD=AC=9,MN垂直平分線段89

:.EB=ED

回VADE的周長為21,

\AE+ED=21-AD=12

\AB=AE+EB=AE+ED=12

故答案為：12.

【題型4】垂直平分線的判定

17.（2025七年級下?全國?專題練習）如圖，在ASC中，所垂直平分AC,交AC于點尸，交BC于點

E,ADLBC,垂足為D,且BD=DE,連接AE.

BD

Q）求證：AB^EC；

（2）若。C+AF=16,求ABC的周長.

【答案】（1）見解析

（2）32

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質與判定，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的關鍵.

（1）根據AD_L3C,且BD=DE,可得垂直平分BE,則=根據砂垂直平分AC,可

得E4=EC,據此可證明AB=EC；

（2）根據線段垂直平分線的定義得到AC=2AF,根據加=。￡,得到3C=2r）E+EC,再根據三角

形周長計算公式和線段之間的關系可得二MC的周長=AS+BC+AC=2（OC+AF）=32.

【詳解】（1）證明：?.?AOJ_3C,垂足為。，且BD=DE,

???AD垂直平分BE,

??.AB=AE，

???EP垂直平分AC,交AC于點居交BC于點、E,

EA=EC,

:.AB=EC；

（2）解：???石尸垂直平分AC,交AC于點尸，交BC于點E,

??.AC=2AF.

BD=DE，

:.BC=2DE+EC.

由⑴得AB=EC,

ABC的周長=AB+BC+AC=EC+2￡）E+EC+2AF=2（OC+AF）=32.

18.（24-25八年級上?貴州遵義期中）如圖，在VABC中，AB的垂直平分線4交A2于點M,交BC于點

D,AC的垂直平分線4交AC于點N,交BC于點E,乙與4相交于點O,VAZJE的周長為10.

⑴求的長；

⑵試判斷點。是否在邊BC的垂直平分線上，并說明理由.

【答案】⑴8c=10

⑵點。在邊8c的垂直平分線上，理由見解析

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質.此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用.

（1）根據線段垂直平分線的性質得到/如=%，同理胡=EC,于是得到結論；

（2）連接AO,BO,C。，根據線段垂直平分線的性質與判定即可得到結論.

【詳解】（1）乙垂直平分A3,

/.DB=DA,

同理E4=EC,

:.BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=\G^

（2）點。在邊的垂直平分線上，

理由：連接AO,BO,CO,

4與，2是AB,AC的垂直平分線,

AO^BO,CO^AO,

OB=OC,

???點0在邊BC的垂直平分線上.

19.（24-25八年級上?福建廈門?期中）如圖，在四邊形A3CD中，AB=AD,AN垂直平分8C,交8C于

點N,點M是C。中點.

D

⑴證明：AAf是線段C。的垂直平分線；

(2)若/M4N=70。，求的度數.

【答案】(1)證明過程見詳解

(2)140°

【分析】本題主要考查垂直平分線的判定和性質，二線合一等知識，掌握以上知識是關鍵.

(1)根據垂直平分線的性質，結合題意得到AC=AD,即ACD是等腰三角形，由"三線合一"得到

AMCD,由此即可求解；

(2)根據垂直平分線的性質得到ZBAN=NC4V,ND4M=NC4M,貝I]

ZCAN+ZCAM=ZMAN=70°,所以有NB4N+/ZMM=NC4N+/C4Af=70。，由此即可求解.

【詳解】(1)證明：134V垂直平分BC,

回ZANB=ZANC=90°,BN=CN,AB=AC,

0AC=AD,即ACD是等腰三角形，

國點M是CD中點，

AMLCD,

回AM是線段CD的垂直平分線；

(2)解：回AV垂直平分BC,AM是線段8的垂直平分線，AB^AC^AD

[3ZBAN=ZCAN,ADAM=ZCAM,

0ZGW+ZC4M=Z/WW=7O°,

^\ZBAN+ZDAM^ZCAN+ZCAM^1Q0,

回/BAD=140°.

20.(2025八年級下?全國?專題練習)如圖，AD是VABC的角平分線，DE,。尸分別是△岫)和的

高，連接所、AD交于點O.

pl

B

D-

⑴證明：AED^AFD；

(2)證明：AD垂直平分EF.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，線段垂直平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握

三角形全等的判定方法.

(1)用AAS證明“AE**AFD即可；

(2)根據全等三角形的性質，得出DE=DF,說明點A、。在線段砂的垂直平分線上，

即可證明結論.

【詳解】(1)證明：AD是VABC的角平分線，

:.ZDAF=ZDAE,

DE,。尸分別是△ABD和ACD的高，

ZAFD=ZAED=90°,

在△AED和△AFZ)中，

ZDAF=NDAE

<NAFD=NAED,

AD=AD

：.AAED^ZkAF￡)(AAS)；

(2)證明：AED^AFD,

：.DE=DF,AE=AF,

二點A、。在線段E尸的垂直平分線上，

二.AD垂直平分砂.

21.(24-25八年級上?河南安陽?期末)"風箏飛滿天，笑語樂無邊”，由喜聞樂見的風箏可以抽象得到一種

特殊的四邊形一箏形.如圖，在四邊形ABCD中，AB^AD,CB=CD,我們把這種兩組鄰邊分別相

等的四邊形叫做箏形.

⑴初步認識箏形后，數學活動小組的同學通過觀察、測量、折紙等方法猜想箏形有什么性質，請你試

著寫出圖中箏形的兩條性質(定義除外)：①」②「

(2)選擇(1)題中你寫的其中一條箏形的性質進行證明；

(3)如圖，若AC=10,BD=6,求箏形ABC少的面積.

【答案】(1)AC垂直平分8。，△AB0AADC

⑵見解析

(3)30

【分析】本題考查中垂線的性質，全等三角形的判定和性質：

(1)根據題意易得AC垂直平分BZ),AABC^AAPC；

(2)根據中垂涎的判定方法，全等三角形的判定方法進行判斷即可；

(3)分割法求出箏形的面積即可.

【詳解】(1)解：觀察可知：AC垂直平分皮)，△AB8AADC；

故答案為：AC垂直平分BD,△AB0AADC；

(2)性質1：SAB=AD,CB=CD,

回點A,C均在線段的中垂線上，

回AC垂直平分3D；

性質2：回AB=A"BC=CO,AC=AC,

IBAABC^AADC；

(3)EMC垂直平分80,

=S,??+S=-BD-AO+-BDCO=-BD(AO+CO)=-BD-AC=-xl0x6=30.

Adz?ADUDi^ij222、,22

22.(23-24八年級上?湖南長沙?期末)如圖，AD是VA2C的角平分線，DELAB,DFLAC,垂足分別

是E,F,連接EF,EF與AD相交于點G.

、G

(1)求證：A￡＞是E/的垂直平分線;

(2)若VABC的面積為8,A5=3,DF=2,求AC的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)5

【分析】(1)由角平分線的性質得到DE=。產，再證Rt^AE。絲RtAFD(HL),

得/a=AF,然后由等腰三角形的性質即可得出結論;

(2)由SABD+sACD=§ABC列式計算即可.

本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、等腰三角形的性質以及三角形面積等知識,

熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

【詳解】(1)證明：回AD是VABC的角平分線，DE1AB,DF1AC,

EDE=DF,ZAED=ZAFD=90°,

在RtZkAED和RtAAFD中,

DE=DF

AD=AD

AFD(HL),

^AE^AF,

又聞A￡＞是VABC的角平分線,

團AD是的垂直平分線；

(2)回SABD+SACD=S,MC，

^ABDE+-ACDF=8,

22

回AB=3,DE=DF=2

回一x3x2H—xACx2=8,

22

解得：AC=5,

即AC的長為5.

【題型5】角平分線性質應用

23.（2025七年級下?全國?專題練習）如圖，在ABC中，。是.ABC三個內角平分線的交點，若.ASC面

積為36,且。到邊AC的距離為4,則，ABC的周長為（）

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了三角形的

面積.

先根據角平分線的性質得到。到邊AB、3c的距離都為4,再利用三角形面積公式得到

SVABC=：A8X4+：ACX4+：BCX4=36,然后整理求出AB+AC+3C的值即可?

【詳解】解：回。是，ABC三個內角平分線的交點，

國點。到AB、BC、AC的距離相等，

00到邊AC的距離為4,

回。到邊AB、3C的距離都為4,

回S7ABe=5x4+—ACx4+—BCx4=36,

SAB+AC+BC=18,

即，ABC的周長為18.

故選：C.

24.（24-25八年級上?湖北恩施?階段練習）如圖，在VABC中，ZB,NC的平分線交于點O,ODL3c于

D,如果AB=18cm,BC=20cm,AC=22cm,且三角形的面積義配="Ocn?,那么的長為

()

C

A\D

O

AB

A.4cmB.5cmC.6cmD.無法確定

【答案】B

【分析】本題主要考查了角平分線的性質，三角形面積計算，作OELAC交于點E,作O尸，AB交于

點F,連接Q4,證明OD=OE=O。再利用5人^^=5揖"+5挪。8+50"=150。1112即可求出。0的長

度.

【詳解】解：作OE_LAC交于點及作。尸，AB交于點尸，連接04,

EIOC平分，ACS,02平分/ABC,OD1BC

^\OD=OE=OF,

即/?0/>20+了0尸」8+了0522=15()0112,

0OD=5cm.

故選：B.

25.（24-25八年級下?貴州畢節?期中）如圖，在VA3C中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于點，

DEJ.AB,垂足為E,若BC=10,DE=4,則8￡>的長為—.

【答案】6

【分析】本題考查角平分線的性質，根據角平分線的性質，得到CD=DE=4,再根據線段的和差關

系求出80的長即可.

【詳解】解：回陋平分/B4C,ZC=90°,DELAB,

^\CD=DE=4,

0BC=CD+BD=10,

0BD—6；

故答案為：6.

26.（2025七年級下?全國?專題練習）如圖，在VABC中，CD是43邊上的高，8E平分ZABC,交CD于

點E,已知，3c=8,DE=2,貝l],3CE的面積等于.

【答案】8

【分析】本題考查了角平分線的性質定理，熟練掌握角平分線的性質定理是解題關鍵.過點E作

EF人BC于點F,先根據角平分線的性質定理可得跖=DE=2,再根據三角形的面積公式計算即可

得.

【詳解】解：如圖，過點E作EF13C于點尸，

團在VABC中，CD是AB邊上的高，

SCDA.BA,

又回BE平分/ABC,EFJ.BC,DE=2,

0EF=DE=2,

0BC=8,

0,BCE的面積等于]BC-EF=-x8x2=8,

故答案為：8.

27（2025七年級下?全國?專題練習）如圖，在銳角三角形ABC中，Zfl4C=60°,BE,CD分別為VA2C的

角平分線.BE,CO相交于點F，FG平分NBFC,已知3。=3,CE=2,VA3C的面積=2.5,求

△BCD的面積=.

A

【答案】4

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質，過點/作FN，3c于點N,

于點根據角平分線性質定理求出口以=兩，結合三角形內角和定理、鄰補角定義、角

平分線定義求出加工＞=60。=4尸6,利用ASA證明△BDfN-Gb,CEF'CGF,則比＞=3G,

13

CE=CG,BC=BG+CG=BD+CE=5,根據三角形面積公式求出印=1=Wil,5^=—BDFM=—

22

再根據△BC。的面積求解即可，熟練運用全等三角形的判定與性質、三角形面積公式是

解題的關鍵.

【詳解】解:如圖，過點/作引V_L3C于點N,FM_LAB于點M,

Q/3AC=60。，BE、CD為三角形ABC的角平分線,

/.ZEBC+ZDCB=-ZABC+-ZACB=-x(180°-ZBAC)=60°,FM=FN,

222

:.ZBFC=lSO°-(ZEBC+ZDCB)=nO°,

：.ZBFD=60°,

FG斗的NBFC,

ZBFG=-ZBFC=60°=/DFB,

2

在VBL不和BGF中,

NBFD=NBFG

<BF=BF

/DBF=ZGBF

BDF^BGF(ASA),

:.BD=BG,

同理可得.C砂均CGRASA）,

:.CE=CG,

:.BC=BG+CG=BD+CE,

BD=BG=3,CE=CG=2,

BC=5,

QVBFC的面積=2.5,

-BC-FN=2.5,

2

:.FN=1,

113

:.SRDF=—BD-FM=—x3xl=—,

BDF222

.△BCD的面積=S^DF+S.FC=4,

故答案為：4.

【題型6】作圖-垂直平分線與角平分線

28.（2025?廣西南寧?一模）如圖，已知VABC.

(1)尺規作圖：作-45C的平分線BP,在3尸上截取3D=AC,連接CO；(要求：保留作圖痕跡，不

寫作法，標明字母)

(2)若=求證：AABCdDCB.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了尺規作圖、全等三角形的判定，熟練掌握是解題的關鍵.

(1)根據尺規作圖作角平分線即可；

(2)由題意得，ZACB=；ZABC=/DBC,BD=AC,BC=CB,根據全等三角形判定邊角邊即可

得證.

【詳解】(1)解：如圖所示，BP,BD,CD即為所求;

A

(2)解：證明：QBD為，ABC平分線,

ZDBC=-ZABC.

2

又1ZACB^-ZABC,

2

:.ZACB=ZCBD.

BC=CB

在VABC和ADCB中，/AC3=ZDBC,

AC=DB

:.AAB8ADCB(SAS).

29.(24-25八年級上?山東德州?期中)如圖，在VABC中，ZC=90°,ZB=30°.

⑴用尺規作圖法，在上求作一點P,使點尸到AC,A3的距離相等；

（2）若AC=6,BC=8,AB=10,求點P至!JA3的距離.

【答案】⑴見解析

⑵3

【分析】本題主要考查了角平分線的性質，角平分線的定義，角平分線的尺規作圖，含30度角的直

角三角形的性質，等角對等邊等等，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵；

（1）根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可得點P在//MC的角平分線上，據此作出/&IC

的角平分線與交于點尸即可；

（2）過點尸作垂足為。，根據角平分線的性質得到尸D=PC,然后利用等面積法求解即

可.

【詳解】（1）解：如圖所示，點P即為所求;

（2）解：過點尸作PD_LAB,垂足為￡）.

由（1）得AP平分NC4B,

XZC=90°,PDYAB

:.PD=PC

S^—

/\Ar\BC./S\^.ArCP+zS\/A^DrABP=。—AC.PCC—AB-PD

=-x6PD+-xlOPD=8PD=24

22

:.PD=3,即P到AB的距離為3.

30.（24-25九年級下?廣東珠海?期中）如圖，ABC是等腰直角三角形，4=90。.

⑴尺規作圖：作NAC8的角平分線，交4B于點。（保留作圖痕跡，不寫作法）；

⑵在（1）所作的圖形中，延長C4至點E,使他=">,連接3E.求證：CD=BE.

【答案】⑴作圖見詳解

⑵證明過程見詳解

【分析】本題主要考查尺規作角平分線，等腰三角形的定義，全等三角形的判定和性質，掌握等腰三

角形的性質，尺規作角平分線的方法是關鍵.

(1)根據尺規作角平分線的方法作圖即可；

(2)根據題意，證明，ACZ)絲ABE即可求解.

【詳解】(1)解：根據尺規作角平分線的方法作圖如下,

國點。即為所求點的位置;

(2)解:如圖所示,

0ABC是等腰直角三角形,ZA=90°,

^\ZCAD=ZBAE=9Q°,AC=AB,

又AD=AE,

回一ACD今

?CD=BE.

31.(24-25八年級上?廣東珠海?期中)如圖,在VABC中，ZABC^90°.

⑴尺規作圖：在VABC內部求作一點P,使PB=PC,且/PBC=45。；

(2)連接尸C,若NACB=55。，求NACP的大小.

【答案】⑴畫圖見解析

(2)10°

【分析】（1）分別以點3和點C為圓心，大于BC的一半為半徑畫弧交于兩點，連接兩點，作出的

垂直平分線，再作/ABC的角平分線，交垂直平分線于P,故點尸即為所求作的點.

（2）先由尸3=PC,NPBC=45。,證明/尸BC=NPCB=45。，再利用角的和差關系可得答案.

【詳解】（1）解：如圖，點P即為所求;

（2）解：如圖，連接PC,

0PB=PC,NPBC=45°,

BlZPBC=ZPCB=45°,

EZACB=55°,

0ZACP=55°-45°=10°.

【點睛】本題主要考查了尺規作圖、作線段的垂直平分線、作角平分線，垂直平分線的性質、等邊對

等角，熟練掌握尺規作線段的垂直平分線，角平分線是解題的關鍵.

【題型7］最短路徑問題

32.（24-25八年級上?湖北武漢?期中）如圖，在VA2C中，AB=AC,BC=6,SAABC=27,直線跖垂直

平分線段AB,若點。為邊8C的中點，點G為直線EF上一動點，則3DG周長的最小值為（）

BDC

A.12B.13C.10D.14

【答案】A

【分析】連接AG,AD,推出,BDG周長的最小值為AD+3,證明AD13C,再利用三角形的面積

公式列方程求出AD即可解決問題.

【詳解】解：連接AG,AD,

直線跖垂直平分線段

AG=BG,

.點。為邊BC的中點，BC=6,

:.BD=-BC=3,

2

BDG^=BG+DG+BD=AG+DG+3>AD+3,

■■BOG周長的最小值為AD+3,

AB=AC,點。為邊3C的中點,

:.ADrBC,

BC=6,S^c=27,

：.ix6AD=27,

2

解得AD=9,

???BDG周長的最小值為9+3=12,

故選：A.

【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，兩點之間線

段最短，三角形面積公式，能夠推出3DG周長的最小值為AO+3是解題的關鍵.

34.（24-25八年級下?江西九江?階段練習）如圖，在VABC中，已知AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平

分線交A8于點N,交AC于點M,尸為直線上一點，連結PB,PC,