2025北京高一（上）期末數學匯編

三角函數的圖像與性質

一、單選題

1.（2025北京順義高一上期末）下列函數中，是偶函數且在（0,+8）上單調遞增的是（）

A.y=co&xB.y=x3

D.y=ln|x|

2.（2025北京順義高一上期末）給出下列四個結論，其中正確的是（）

A.若a,分為第一象限角，且尸，則tana<tan/

函數y=tan0x+￡］的定義域為E兀7z

B.x\xw----1—,kGZ

26

函數y=tan（2x+：J在0,兀5上的最大值為

C.

12

函數y=tanl2x+^j的最小正周期為

D.71

3.（2025北京順義高一上期末）已知a,/?均為第二象限角，則"cosa>cos￡”是"sina>sin夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2025北京大興高一上期末）設。，尸均為銳角,貝！是“sinavsin（尸-a）”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

sinx,sinx>cosx

5.（2025北京大興高一上期末）已知函數〃元）=cosxsmx：則下列結論正確的是（）

717T

A./(--)=/(-)B./(1)>/(y)

C.f(-x)=f(Tl+X)D.f(x-n)=f(x+n)

6.（2025北京朝陽高一上期末）在平面直角坐標系xOy中，角a與角月均以3為始邊，它們的終邊關于

IT

尤軸對稱.若§，乃，貝"osa的最大值為（）

A.0B.gC.BD.1

22

7.（2025北京二中高一上期末）已知函數〉=4$/（0匹+。）（A>0,a）>Q,1。1〈萬）的部分圖象如圖所

示，若將函數1=須抽（6+夕）的圖象向右平移c（a>0）個單位后，得到一個偶函數的圖象，則。的取值可能

為（）

71111n17兀

C.-----D.——

67612

8.(2025北京清華附中高一上期末)若函數/(x)=cos(3%+°)是奇函數，使得1/(%)I取到最大值時的一個

尤值為()

二、填空題

9.(2025北京清華附中高一上期末)已知函數/(x)的定義域為R,下列命題中

①若VxeRJ(x+l)>/⑺，則函數在R上單調遞增；

②若依€氏|〃&)+/(%2)歸卜imq+sinxj,則函數/(%)是奇函數；

③若V占,馬€艮|〃與)-/(*2)閆si叫-$皿|,則函數是周期函數；

④若且百^J/(xi)-/(^2)|<|sinxi-siwc21，則函數/(x)+sinx在’!■，!■］上單調遞增，

函數/(x)-sinx在［-今,3上單調遞減.

所有正確命題的序號是.

TTTT

10.(2025北京豐臺高一上期末)已知命題P：若a為第一象限角，且則tana>tan；.能說明。為

44

假命題的一個a的值為.

11.(2025北京密云高一上期末)函數f(x)=tanx的定義域是；最小正周期是.

12.(2025北京二中高一上期末)若函數〃x)=tan(ox+/o>0)的最小正周期為不則了(［的值

是.

13.(2025北京大興高一上期末)已知函數〃x)=cos(ox-*)(。>0),對于Vxe［0,與都有了。廳/⑷成

44

立，且滿足/S)=O的萬有且只有3個，其中a,be［0,與，給出下列4個結論:

4

①f⑼=當;

②可能存在2個a值滿足題意；

7T

③函數/(X)的最小正周期有可能是1;

④若/(X)在區間(0J)上單調遞增，則0<fW三.

其中所有正確結論的序號是.

14.（2025北京朝陽高一上期末）已知函數〃x）=2tanx,則〃x）的最小正周期是.

15.（2025北京東城高一上期末）已知tze[0,2ji）,若點（sin<z-cosa,tana-sina）在第一象限，則a的取

值范圍是.

三、解答題

16.（2025北京順義高一上期末）在平面直角坐標系xQy中，角，和角￡1匹\,兀力的頂點

均與坐標原點。重合，始邊均為x軸的非負半軸，終邊分別與單位圓交于P,。兩點，且P,。兩點關于>軸

,5sin——a-sinf-6z）

⑴若點P的縱坐標為事求12J’1的值;

sina+cos（7i+a）

（2）若,求cos[/?-的最小值.

17.（2025北京順義高一上期末）己知函數外）=加"空+1（心0）的圖象過點停，0

⑴求A及〃x）的最小正周期;

⑵求〃x）的單調遞增區間.

18.（2025北京清華附中高一上期末）己知函數"x）=2sin（s+e）（0>O,|d<3,且在區間建

上單調.請在下面三個條件中再選兩個，回答下面兩個問題：

①②〃尤）關于點go）對稱；③“X）關于x=魯對稱.

⑴求函數〃尤）的解析式；

（2）若（1）中所求“X）在[0,向上有唯一零點，求實數機的取值范圍.

19.（2025北京海淀高一上期末）已知函數/（%）=Asin（0x+°）（其中A>0,。>0,|同<兀）的部分圖

象如圖所示.

(1)直接寫出A、。、夕的取值；

⑵求/(%)的對稱中心和單調增區間；

(3)當xe時，求/(x)的最值，并指出取最值時x的取值.

20.(2025北京密云高一上期末)已知函數/(x)=sin12x-，

(1)求/(x)的單調遞增區間；

⑵求/(x)在區間卜京號上的最大值和最小值.

21.(2025北京大興高一上期末)已知函數/。)=2$山(2天+2)0?[0,￡]),g(x)=-2sin2x+asin%(xeR).

62

⑴求函數f(x)的值域；

⑵若g(x)Wl對任意的xe(0,兀)恒成立，求。的最大值；

JT

(3)若任取%€0,-，總存在%,使/(%)=g(X2)成立，求。的取值范圍.

22.(2025北京東城高一上期末)己知函數/(x)=sin(2x+。.

(1)求的最小正周期及單調遞增區間；

TTTT

(2)當xe時，求/(x)的最大值和最小值.

62

參考答案

1.D

【分析】根據偶函數的定義及結合指數函數，對數函數，余弦函數的單調性分別判斷各個選項即可.

【詳解】對于A：函數y=cosx在(0,兀)上單調遞減，A選項錯誤；

對于B：函數網力=三定義域為R關于原點對稱，且〃(-*)=(-*)3=—丁=-/2(%),

所以〃(力=三是奇函數不是偶函數，B選項錯誤；

對于C：函數y=在(。,+“)單調遞減，C選項錯誤；

對于D：函數/(x)=lnW定義域為(F,0)((),+<?)關于原點對稱，

且f(-x)=In|-A]=ln|x|=/(x),所以/(x)=In為偶函數，

xe(0,+oo)時，/(x)=lnx單調遞增，D選項正確；

故選：D.

2.B

【分析】AC,可通過特殊值驗證判斷，B通過整體代換可判斷，D由周期公式可判斷；

【詳解】對于A,e=W<〃=，無，滿足第一象限角，而tana=^>ta叨=g,錯；

363

對于B,由2尤+上也+力可得.”+g故定義域為+J入z],對；

6226[|2oJ

對于C：當》=三時，函數值為：tan(烏+工]=石>烏錯；

12166)3

對于D：由周期公式可知最小正周期為錯；

故選：B

3.C

【分析】根據已知角所在象限，分析余弦值大小關系與正弦值大小關系之間的邏輯聯系

【詳解】在第二象限，余弦函數值是負數且單調遞減，正弦函數值是正數且單調遞減.

已知a,尸均為第二象限角，當cosa>cos?時，根據余弦函數在第二象限的單調性可知a</?.

因為正弦函數在第二象限單調遞減，當時，可得sina>sin￡.

這說明由cosa>cos6可以推出sina>sin/7.

當sina>sin6時，根據正弦函數在第二象限單調遞減可知，<￡,再根據余弦函數在第二象限單調遞減,

可得cosfz>cos/7.

說明由sina>sin>9也可以推出cosa>cos?.

所以“cosa>cos(3”是“sina>sin/?”的充分必要條件.

故選：C

4.C

【分析】利用三角函數的性質以及成分必要條件可得結果.

7T

【詳解】因為久夕均為銳角且“2。<尸"，得到a<￡-a<],故sina<sin（尸-a）；

TT

5m[<$畝（尸-"）得至!]￡<￡-々<5，故2a</,故是充分必要條件.

故選：C

5.D

【分析】根據分段函數的解析式，以及正弦函數、余弦函數的性質，將自變量x的取值代入解析式，即可

判斷A、B；利用反例可排除C,解不等式sinxNcosx,即可化簡函數解析式，根據定義域分類討論，結

合誘導公式即可證明D.

【詳解】對于A,sin[-]]=-sin]=-*,cos[-^J=cosq=g,則=

又sin'f,吟=；,則》所以小小佃，故A錯誤；

對于B,當龍時，sinx<cosx,所以sin1<cos],則/]/cos',

當xe時,sinx>cosx,

因為余弦函數y=cosx在（o㈤上單調遞減，所以吟<cos木，即/崗</目，故B錯誤;

對于C,取x=0,因為sinOvcosO,所以"0）=cos0=l,

又sin7t>cos7i,所以/（7i）=sin;i=。，此時〃一%）=〃兀+%）不成立，故C錯誤;

即0sin71

對于D,由sin12cos元，得sinx-cosx20,X~~>0,

7171571

由2AJTWx--<兀+2左兀，kGZ,角星—F2ATI?%W-----b2kit,kGZ,

444

jr57r

所以當—+2fai,—+2^71,左￡Z時，/（%）=sinx.

I3兀7TI

當一■—+2k7t,—+2k7tI,kwZ時，/（x）=cosx；

因止匕，當w+K%—兀W+2左兀，々EZ時，f（x-7i）=sin（x—兀）=-sinx,

止匕時；+（2左+1）兀<兀+兀工與+（2左+1）兀,keZ,貝！J/（%+兀）=sin（x+7t）=—sinx,

此時滿足/（九一元）=/（尤+完）;

當---F1k7l<^X—71<—卜2kII,時,f[^x—7l）=COS（X—兀）=—cosX,

止匕日寸F（2k+1）71<X+71V—+（2左+l）7l,kGZ,貝|J/*（1+71）—COS（1+兀）——COSX,

此時滿足了（九一兀）=/（%+兀）;

綜上所述，函數〃%）滿足了（九一冗）=〃九+冗）,故D正確;

故選：D.

6.B

【分析】根據題意得到2=-月+2E,kwZ,再利用三角函數的誘導公式與單調性即可得解.

【詳解】由題意，得a=-0+2kjt,kGZ,所以cosa=cos（-4+2E）=cos/?,

「兀111

因為尸￡—,7i,所以一IWCOS分工5，則一iWcosaW],

TTJT1

所以當〃=即a=-f+2E火eZ時，cosa取得最大值，且最大值為

33/

故選：B.

7.D

【解析】根據部分函數圖像，先求得函數解析式.結合函數平移變化，求得平移后的解析式，由平移后為偶函數

并對比選項即可求解.

【詳解】由函數圖像可知,4=后

T7717171廣廣txt-

而^=五一§二1'所以萬

由周期公式可得。=竿2萬=2

所以y=y[2sm（2x+cp）

將最低點坐標代入解析式可知-五3sin（2x*°）

貝U2*爸+0=2左%+/，女￡Z

7T

所以0=2%左+耳,左EZ

因為|?|<4

7T

所以當k=0時，（p=—

貝I解析式為y=^sin（2x+g）

將解析式向右平移a單位后，可得>=&sin2（x-a）+—=5/2sin^2x-2a+—

因為平移后的函數為偶函數，則2x0-2a+：=1+—丘Z

解得。=_2_幺=_二±絲#eZ

12212

對比四個選項，當人=-3時，。=曾

故選:D

【點睛】本題考查了根據部分圖像求函數解析式，由函數的性質求得參數,屬于中檔題.

8.A

【分析】根據三角函數的奇偶性求出再根據對稱軸使得l/(x)l取到最大值，計算即可.

TT

【詳解】若函數，(%)=cos(3%+0)是奇函數,所以0=5+E,ZEZ.

所以cos(3x+]+E:)=|sin3x|,

當"(x)I取到最大值時,，(刈=阿3$=1,sin3x=±1,即3x=>eZ，可得x=+

JT

當左=-1時，%=.

O

故選:A.

9.②③④

【分析】令〃x)=sin(2也)+x可判斷①，利用奇函數定義判斷②，由周期函數定義判斷③，根據函數單調

性的定義判斷④.

【詳解】對于①，令/(尤)=sin(27tx)+x,滿足/(》+1)=$苗(2口)+*+1>$苗(270：)+%=/(彳)，

但/(0)=0,所以/(x)在R上不是增函數，①錯；

對于②，令X[=x，尤2=-x,貝!|[y(x)+/(-x)閆sinx+sin(-x)|=。，所以f(x)+/(-x)=O,即

〃-幻=一/(幻，/(x)是奇函數，②正確；

對于③，VXj,%2eR.|f(xj-/(%2)|<|siiU!-sinx2|,

所以，(x)-71(x+2砌Wsinx-sin(x+2砌=0,所以/(X)-/(X+2TI)=。，即/(X+2TT)=/(X),所以/(x)是周

期為2兀的周期函數，③正確；

對于④，VX1,9{-1■，|■[且X]<X2，]/(xJ-〃X2)|<biiW|-sinx2|,

因為y=sin尤在(一上是增函數，所以sin%〈sin%,|sin^-sinx2|=sinx,-sin%,,

所以sin%-sinx2</(芯)一/(x2)<sinx2—sinxY,

所以/(xj+sin無i</(尤2)+5垣々且/(%)-5皿玉>/(x2)-sinx2,

所以函數/(x)-sinx在(_?0)上單調遞減，函數f(x)+sin尤在上單調遞增，④正確.

故答案為：②③④.

10.T9兀(答案不唯一)

4

【分析】根據正切函數的單調性、周期性及任意角的定義求解即可.

【詳解】因為/(x)=tanx在上單調遞增，若()<%《；，則tanaoVtan：,

又a為第一象限角，

取1=2kn+a0,kGZ,

貝|tana=tan(2E+ao)=tanao，由。為假命題，貝！JtanaWtan；,

TT97r

令左=1,4=：,則a=T，滿足題意.

44

故答案為：?97r(答案不唯一).

4

71

11.{x\x^—+hi,k^Z}兀

【分析】略

【詳解】略

12.-叵

3

【分析】先根據正切函數的最小正周期求出。，再計算了(5]即可.

【詳解】因為函數/。)=1?(8+當(。>0)的最小正周期為力所以與=工，解得。=2,

622?

故/(x)=tan(2x+*,所以/[■|]=tan(g+看)tanj^’1《兀-胃=-乎，

故答案為：至.

3

13.①②④

【分析】將x=。代入函數解析式，即可判斷①；利用整體思想，由xe[0；],得。x-當《「-斗5。-斗],

根據函數/(尤)在區間0,：上有且只有3個零點，結合余弦函數的圖象可得序"，即可判斷

②；由和一學學，解得9Vo<13,利用周期公式即可判斷③，由無e(Oj),得

彎?-當，結合余弦函數的圖象和單調性可得-學<*乎皿進而得0<區已利用函數思

4^44J444口

想即可求解r的取值范圍.

【詳解】對于①，/(0)=cos(—￥]=cos*=cos(7i—：]=—cos：=—《，故①正確；

—,t.-r-z^\[c//兀八zpi3Ji37r7i3JT

對于②，由。69>0,得----一--,

44444

由題意，當匕￡0弓時，滿足/S)=。的人有且只有3個,

7T

所以函數“X)在區間0,-上有且只有3個零點，

又一竽e(一兀,0),貝吟一等g，

所以當什*0或9一答2兀時,函數〃x)有最大值，即〃x)=l,

所以，當OVxW：時，存在兩個x的值，使得〃x)有最大值，

即當。力0,總時，存在2個。值使得f(x)4f5)成立，故②正確；

對于③，由一手<￥，解得9<少<13,則]<工工〈，

244213口9

又函數了(%)的最小正周期7=生,所以籌(生4當，即浮r吟,

因為]<言，所以函數/(元)的最小正周期不可能是"，故③錯誤；

對于④，因為/(X)在區間(0,。上單調遞增，貝卜>0,

由0<x<f,^-—<a)x-—<a)t-—,X-—e(-^0),a)>0,

4444

所以-手<手"。，解得0</工手■,

444G

因為9V。<13,所以0<Y豆，故④正確；

故答案為：①②④.

14.兀

【分析】根據正切函數的圖象與性質，結合題中數據加以計算，即可得到所求函數的最小正周期.

【詳解】???函數/(x)=2tanx中，。=1,

函數“X)=2tanx的最小正周期T=5=兀.

故答案為：兀.

(sina-cosa>0

【分析】根據題意可得.八，可知角。不為軸線角，分類討論角。所在象限結合三角函數性質

[tana-sin6Z>0

分析求解即可.

,.fsincif-coscif>0

【詳解】因為點(sina-cosc,tana-smc)在第一象限，則《,

[tana-sma>0

且。￡[0,2兀)，可知角。不為軸線角，

若ael0,^-1,則sina,cosa?0,1),

可得tana-sina=sina——-i|>o,

cosaJ

7171\

且sina-coscr>0,貝!Jtana>1,可得aw了5卜

若a,貝心1111>0/211。<0,

可得tana—sinevO,不合題意;

若a兀,]■),則tan6/>0,sin?<0,cosa<0,

可得tana—sina>O，

.Bsincr-coscr>0,則tana<l,可得aj兀，亨■)；

若a￡|技，2兀)，貝Ijsinav0,cosa>0

可得sina—cosa<0,不合題意;

7171

綜上所述：。的取值范圍是

452。中?

7171

故答案為:

492UC'T-

17

16.(l)-y

(2)-1

【分析】(1)先利用任意角的三角函數的定義求出sina,cosa.再利用誘導公式化簡，代值計算可得.

2冗5冗ITjr27r

(2)根據a的范圍求出，進而得到,再根據角的范圍求最小值.

36O23

【詳解】⑴因為點尸的縱坐標為之,

所以sina=—.又二￡0,、，cosa=Jl-sin2a=一.

因為sina]-cosa,sin(-a)=一sina,cos(兀+a)=-cosa,

sinj女一a]—sin(一a)+W

所以12J=cosa+sina=1313=_17

sina+cos(兀+a)sina-cosa5127

13-13

_,,兀兀.._27r57r...?兀兀2兀

(2)因為ae,所以戶w—.所以尸一不T

03J\_36J6|_23

所以一:Vcos(p—?卜。.

所以當尸="時，COS尸-J取最小值為

o16/2

17.(1)A=1,最小正周期為兀

jrjr

(2)單調遞增區間為++E(kwZ)

_63J

【分析】(1)代入即可求A,由周期公式可求最小正周期；

(2)通過整體代換法，即可求解；

【詳解】(1)因為〃x)=Asin12x-胃+l(A>0)的圖象過點(g,o],

所以/m=0即Asin^2x^-^+l=0

3兀

化簡得Asin—+1=0即一A+l=0所以A=l.

2

/\F2712Tt

/(元)的最小正周期：7=同=萬=兀

(2)由(1)可知小)=$皿(2苫一胃+1

令t=2x-g,因為y=sin/的單調遞增區間為-g+2防i,g+2Mr(^eZ),

o22

TT7T

所以令---H2E<2x—<—+2far,kGZ

262

jr27r

--------1-2kli<2x<------b2hi,kwZ

33

冗TT

解得——+kn<x<—+ku,kE：

63

jrjr

所以y=/(x)的單調遞增區間為-7+Ey+E(keZ)

71

18.(l)/(x)=2sin(2^+-)；

(嗚\).

36

【分析】(1)由單調性得出0〈口<3,選①得己'④+0=2根兀+］,meZ,選②得］&+。=〃兀，neZ,選

77t71

@^-a>+(p^mt+-,neZ,兩者結合求得外。的表達式，得出。，(P

(2)結合正弦函數的性質可得.

【詳解】⑴〃x)在區間［，父上單調，則。兀，所以&V3,

_o2J2o

71

選①②：VxeR,/(%)</且“X）關于點序“對稱,

12

兀C兀

一。+0=2機兀+—co=4n—8m

122

則(m,neZ),解得8m+2-n

71(P---------兀

—a)+(p-mi3

又G〉0,所以啰=2,

2

從而夕=（〃一§）兀，neZ,

又|夕|＜5,則°=方，

所以于(x)=2sin(2x+攵；

717ir

選①③，VxeR,/(x)</，/（X）關于X=￡對稱.

12

兀C兀

一a）+（p=2機兀+一a)=2n—4m

122

則(m,neZ),解得<14m+3-n

7兀71(P----------兀

——co+(p=〃兀+—6

U22

又切＞0,所以69=2,

從而夕=（2加+；）兀，meZ,

又|夕|<5,則9=5,

所~以f(x)=2sin(2x+-71)；

兀

—g+夕=muct)=4n-4m+2

解得<

■:(m,neZ),7m+2-4n

7兀71(p=-------------71

——a)+(p=n7i+—

11223

又切＞0,所以0=2,

2

從而。=（根+§）兀，meZ,

又附＜],則,=],

77

所以f(x)=2sin(2x+-)；

⑵任選兩個條件都有/（%）=2sin（2%+,解法相同:

〃工）在[0,回上有唯一零點，工￡[0,澗時，2x+ye[p2m+-1],

所以7IV2〃7+￡<2TI,解得整機〈軍.即，〃的范圍是邑當.

33636

19.(l)A=a)=2,0=-￡

(2)對稱中心為[勺+[,()](左￡Z),單調遞增區間為E+ght+葛eZ).

(3)答案見解析

【分析】(1)利用由4=小鼠?M嘰可得出A的值，求出函數f(x)的最小正周期，可求出。的值,

由了(if]=2以及。的取值范圍可得出。的值；

(2)利用正弦型函數的對稱性可求得函數f(x)的對稱中心坐標，利用正弦型函數的單調性可求得函數

/(另的單調遞增區間；

(3)由xe:，笥時，求出2x-g的取值范圍，利用正弦型函數的基本性質可求得〃x)的最大值、最小

值及其對應的x的值.

【詳解】(1)由圖可知，A=-—〃x)m,n=2(2)=2,

22

函數〃x)的最小正周期T滿足;T=^d=手，則7=兀，故。年=2,

所以，/(x)=2sin(2x+^),

因為/Q|j=2sin(2x^|+,=2,可得5由仁+,=1,

所以，—+^=2kK+—(^keZ),貝!|°=2祈一生(AeZ),

62'3

因為憫<7t,則夕=-g,故"x)=2sin(2x-1).

(2)由2x-g=fai(左$Z)可得x=g+1(左wZ),

故函數〃尤)的對稱中心坐標為怎+今，。｝左eZ),

由2kli-土<2x-—<2H+—(A;GZ)^ffar+—<x<fai+—(A;eZ),

jr7冗

故函數”X)的單調遞增區間為kK+—,kn+—(左eZ).

兀3兀

(3)當xe時,

45T636

故當2x-§=時，即當x=5時，函數〃x)取最小值,

364

BP/Wmin=/^=2sin^J=-l,

當=]時，即當x=窄時，函數/(x)取最大值,

即圖=2si吟=2.

71771T7~

20.(1)-----F左兀,—Fk.71，kwZ

63_

(2)最小值為-1,最大值為必

2

【分析】(1)利用整體代換法計算即可求解；

(2)根據正弦函數的圖象與性質即可求解.

【詳解】(1)由---F2fat<2x——<—+2kn,ZeZ,得----kn<x<—+kn,keZ,

26263

所以f(x)的增區間為「1+E，m+E〕#eZ.

o3

z_x.兀//兀2兀c7171

(2)由一:WxW：,^---<2x--<-,

44363

又y=sinx在［-y,-^］上單調遞減，在上單調遞增,

所以當然-$=-￡即x=-$時，/(x)取到最小值，為一1；

626

當2元1=[即片；時，小)取到最大值，為亞；

6342

21.⑴[T，2]

⑵20

⑶(-oo，T34，+co)

【分析】(1)需要根據正弦函數的性質計算即可求得值域；

(2)令r=sinx,即將問題轉化為-2?+成W1對任意的飛(0』恒成立通過變形可得“/+〃，計算即可求

得結果；

(3)先求值域，根據題意可得值域是g⑺值域的子集，分類討論運算求解.

【詳解】(1)???/(x)=2sin(2x+E][xe0,|^,

c兀「兀7兀]….Ac兀1「1,

?*.2x+—G—,貝"sin2%+:￡——，

6|_66」