2025北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編

集合的基本運算

一、單選題

1.（2025北京順義高一上期末）已知集合4={-1,0,2},3={-2,-1,0},則集合AB=（）

A.{0}B.{-1,0}C.{0,2}D.{-2,-1,0,2}

2.（2025北京石景山高一上期末）已知集合4={1,2,3,5},B=[2,3},那么AB=（）

A.{3}B.{2,3}

C.{1,5}D.{1,2,3,5）

3.（2025北京豐臺高一上期末）已知集合A={1,2,3,4},3={3,4,5},則AB=（）

A.{3,4}B.{1,2,4,5)

C.(1,2,3,5}D.{1,2,3,4,5}

4.（2025北京延慶高一上期末）已知全集0={彳€岡彳46}且4=,€叫尤2V5卜8={xeU|0<2xV8},

則AB=()

A.{x|0VxV4}B.<x<4|

C.{1,2}D.{0,1,2,3,4}

5.(2025北京密云高一上期末)已知集合4=國—14*42},5={0,1,2,3},則AB=()

A.{-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{1,2,3}

6.(2025北京海淀高一上期末)已知集合A=(-l,3],B={-2,-1,0,1,2,3},則4B=()

A.(-1,3]B.{-1,0,1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

7.(2025北京西城高一上期末)已知集合4={—2,-1,0,1},B={x\x<0^x>l},則AB=()

A.{-2,-1,1}B.{-1,1}C.1-2,—1,0}D.{-2,1}

8.(2025北京朝陽高一上期末)己知集合A={引0<》<3},8={小>1},則A8=()

A.(-8,3)B.(1,+8)C.(0,3)D.(1,3)

9.(2025北京東城高一上期末)已知集合知={川-3<尤<0},雙=3-14元<4},則MN=()

A.{x|-l<x<0}B.{x|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{x\x<4}

10.(2025北京八中高一上期末)已知集合"={x|-4<x<2},Af={x|x2-x-6<0},則A/cN=

A.{x|-4<x<3}B.{x\-A<x<-2jC.{x|-2<x<2}D.{x[2<x<3}

二、解答題

11.(2025北京密云高一上期末)已知集合&={司04%<7},B=[x\m+\<x<m+3,m^'R\.

⑴求集合為A；

（2）當(dāng)m=5時，求AB；

（3）若A「B=B,寫出一個符合條件的根的值.

12.（2025北京海淀高一上期末）已知關(guān)于x不等式歸一°t2的解集A={x|0WxW4},集合

B|m-3<x<m+3j.

（1）求實數(shù)。的值；

（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求實數(shù)優(yōu)的取值范圍.

條件①：[-2,4]口AB）；

條件②：AB=A.

注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.

13.（2025北京海淀高一上期末）已知非空集合A滿足如下三個性質(zhì)，則稱集合A滿足性質(zhì)產(chǎn)：

①A=Z；

②Vx,y,zEA.x+y-zGA：；

③VxeA,4x!A；

（1）判斷下列集合是否滿足性質(zhì)P?

A={x|x=4左+2,左eZ}；3={x|x=3左+1,左eZ}.（只需寫出結(jié)論）

⑵若集合A滿足性質(zhì)尸，且存在使得-x°?4,求證：V/reZ,xeA,都有fedA；

⑶若集合A滿足性質(zhì)P,且{a,b,c,”}iA,b-a=10,d-c=2025,求所有的符合題意的集合A.

14.（2025北京清華附中高一上期末）設(shè)〃eN*,集合含有3〃個元素，若存在三個〃元集合A,民C滿足如

下兩個條件，則稱。為三分集合.

①U=ABC；

②AB,C元素可分別排列為有序數(shù)組（a1M2，,a.），3也，，2）及億,。2，一，。“），使得對Vi=l,2,3,,n,均

有6+4=c,,

特別地，當(dāng)。={1,2,3,4,3〃-2,3〃-1,3〃}為三分集合時，稱〃為完美三分數(shù).

如：因為"={1,2,3}為三分集合，所以〃=1為最小完美三分數(shù).

（1）請判斷下列兩個集合是否為三分集合（直接寫出結(jié)論）：U={1,2,3,4,5,6},5={1,3,5,7,8,9,10,11,12}；

（2）求出大于1的最小完美三分數(shù)；

（3）請判斷是否存在無窮多個完美三分數(shù)？若存在，請說明理由；若不存在，則求出最大的完美三分數(shù).

15.（2025北京西城高一上期末）給定正整數(shù)N23,設(shè)集合A={a,geN*"=1,2,,N}.任取A中兩個元

素外,a八記4={4,%},8]={q+aj,q%},7^（A）=B1任取工（A）中兩個元素應(yīng)，a,,記

Ba

4={4，卬}，2={s+at,asat],T2（A）=B2%（?&；L,以此類推：任取北]（A）中兩個元素，av,

記4={4,4},Bk={au+av,auav},Tk（A）=Bk5⑷4，其中人1,規(guī)定"（A）=A.

⑴當(dāng)A={3,5,7}時，寫出一組A，片和4(A)；

(2)是否存在集合A與正整數(shù)％,使￡(A)={17,37,77}?說明理由；

⑶當(dāng)4={123,4,5}時，是否存在整數(shù)左，使￡(A)={5,9,26,120,⑵}?若存在,寫出一組工⑷，豈⑷,

L,4(A)；若不存在，說明理由.

16.(2025北京四中高一上期末)設(shè)集合={1,2,3,,2"}(weN*,〃22).如果對于匕的每一個含有

加(加24)個元素的子集尸，尸中必有4個元素的和等于4〃+1,稱正整數(shù)加為集合&,的一個“相關(guān)數(shù)

(1)當(dāng)〃=3時，判斷5和6是否為集合A的“相關(guān)數(shù)”，說明理由；

(2)若機為集合A,,的“相關(guān)數(shù)”，證明：320；

(3)給定正整數(shù)〃.求集合4n的“相關(guān)數(shù)”機的最小值.

17.(2025北京石景山高一上期末)已知集合4=屏]."4<2+3},3={x[x<-2或x>6}.

(1)若AB=0,求。的取值范圍；

(2)若AB=B,求a的取值范圍.

參考答案

1.B

【分析】由交集運算即可求解；

【詳解】A={-l,0,2},B={-2,-l,0},

所以AB={-1,O},

故選：B

2.D

【分析】利用并集的定義可求得AB.

【詳解】因為集合4={1，2,3,5},3={2,3},所以AB={1,2,3,5}{2,3}={1,2,3,5}.

故選：D.

3.D

【分析】根據(jù)集合的并集運算求解即可.

【詳解】因為集合4={1,2,3,4},3={3,4,5},所以A{1,2,3,4,5}.

故選：D.

4.D

【分析】求出集合A,3后可求AB.

【詳解】{0,123,4,5,6},故4={0』,2},3={1,2,3,4},

故A3={0,1,2,3,4},

故選：D.

5.C

【分析】由題意，根據(jù)交集的概念與運算直接得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，AnB={0,1,2).

故選：C

6.C

【分析】根據(jù)條件，利用集合的運算，即可求解.

【詳解】因為4=(T3],5={-2,-1,0,1,2,3},

所以A3={0,1,2,3},

故選：C.

7.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解.

【詳解】集合A={-2,—l,0/},3={x|x<0或尤21},所以AB={-2,-l,l}.

故選:A

8.D

【分析】根據(jù)集合交集的定義求解即可.

【詳解】因為A={x|0<x<3},B=[x\x>}},

所以AC3={W1<X<3}=(1,3).

故選：D.

9.A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合交集運算求解即可.

【詳解】因為集合"={"3<彳<0}W={“1<彳<4},

所以MN={x|-lWx<0}.

故選：A.

10.C

【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)

合的思想解題.

【詳解】由題意得，M={x\-4<x<2],N={x\-2<x<3],則

McN={尤卜2<x<2}.故選C.

【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

11.(l)A<A={x|x<0或x>7}

(2)AuB={x|0<x<8}

(3)-1(區(qū)間[-1,4]里的任何實數(shù)都符合)

【分析】(1)根據(jù)補集定義易得；

(2)利用并集的定義易得；

(3)根據(jù)條件可得3屋4,從而得不等式組，求出機的范圍，依題只需在范圍內(nèi)取任何實數(shù)都符合.

【詳解】(1)由人={無|04尤47}可得々A={x|x<0或x>7}；

(2)當(dāng)機=5時，8={x|64xW8},則Au8={x|0VxV8}；

(3)由A3=3可得3uA.A={x|0VxV7},

因zn+1v機+3恒成立，故

fm+3<7

要使BqA,需使《，

[m+l>0

解得故區(qū)間[-1,4]里的任何實數(shù)都符合.

12.(1)〃=2

(2)選擇見解析，答案見解析

【分析】(1)根據(jù)絕對值不等式的幾何意義，得到a-24xWa+2,再結(jié)合條件，即可求解；

fTTI—3W—2

(2)選擇①，根據(jù)條件，結(jié)合圖形，得到。、八，即可求解；選項擇②，根據(jù)條件，結(jié)合圖形，得到

m+3>0

m—3<0

,即可求解.

m+3>4

【詳解】(1)由|x-4W2,得至!J—2Vx-aV2,^a-2<x<a+2,

又因為關(guān)于x不等式卜-。歸2的解集A={x|0Vx<4},

所以F:二1,解得。=2,所以實數(shù)”的值為2.

[〃+2=4

（2）選擇條件①，因為A={X|0?]?4},B={x|m-3<x<m+3},

X[-2,4]c（AuB）,由圖知,

m-3<—2

解得—3?1.

m+3>0

聞□41上

m-3-20加+34x

選擇條件②，因為A={H()KXW4},B={x|m-3<x<m+3},

又AB=Af即由圖知,

m—3<0

,解得14相<3.

m+3>4

B4>

m-304m+3x

13.（1）集合A不具有性質(zhì)尸，集合5具有性質(zhì)P.

（2）證明見解析；

（3）A=Z或A={%|%=54，左￡Z}.

【分析】（1）根據(jù)集合新定義所需條件，逐個分析即可;

（2）分左=0,左>。和kvO討論即可；

（3）分析得VZr￡Z/￡{0,l,2,3,4},再對集合A中的元素分類討論即可.

【詳解】（1）對集合A,當(dāng)k=1,x=6,但4x=24,

令4k+2=24,解得左=耳￡2,則集合A不具有性質(zhì)P,

對于集合8={x|x=3左+1,左eZ},顯然A=Z,滿足條件①，

對于條件②，不妨設(shè)x=3《+l,%|eZ,y=3&+l,&eZ,z=3%+1,&wZ,

則x+y-z=3（匕+七+%）+3=3（%+心+%+1）?4,其中勺，&，/eZ,滿足條件②，

對于條件③，設(shè)x=3勺+1,勺eZ,則4x=4（3/+1）=3（4幻+l）+leA,其中勺eZ,則集合3具有性質(zhì)

P,

綜上集合A不具有性質(zhì)P,集合B具有性質(zhì)P.

（2）因為毛,一/eA,

所以4尤0eA,^+x0-4x0=-2x0GA,(-x0)+(-A^)-(-2^)=0GA.

所以對Dx,y￡A,有x+y-0=x+yeA,O+O-x=-xeA.

若左=O,AX=OEA；若女>O,AX=X+%++xeA；

若左<0,fcr=(—左)(一%)GA.

綜上，要證結(jié)論成立.

(3)人=2或A={]|%=54,左￡Z}.理由如下：

對VxwA,有尤+〃一a=尤+1。￡A,所以光+202x10=尤+2020wA,

(x+2020)+c-rf=x-5GA,(x-5)+10=x+5GA

所以VA：￡Z/￡{0,L2,3,4},

若5k+rwA,則廠EA；

若廠EA,貝!J5左+〃￡A.令3={0,l,2,3,4},則A|B^0.

若IEA,則4EA,4-5=-1EA,

由(2)中結(jié)論知對VkwZ,都有kEA,所以A=Z.

若2￡人，貝iJ8wA,2+2—8=—4cA,—4+5=leA,所以A=Z.

若3EA,則3X4=12￡A,12—10=2￡A,所以A=Z.

若4EA,4X4=16GA,16-5-5-5=1GA,A=Z.

若l,2,3,4eAOeA,D左EZ,5左EA,5k+1,5左+2,5左+3,5人+4任人，

所以A={Xx=5k,kE：Z}.

綜上，人=2或4={%|x=5k,keZ).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是對人進行分類討論.

14.⑴q不是;%是

(2)4

(3)存在無窮多個完美三分數(shù)；理由見解析

【分析】(1)利用反證法可證明以不是三分集合；舉例找到滿足條件的集合A氏。可得。2是三分集合；

(2)反證法說明2,3不是完美三分數(shù)，根據(jù)題意得完美三分〃的可能范圍，再找到集合A氏C,證明

U={1,2,3,,12}是三分集合即可；

(3)先證明“由〃=%,左￡N*為三分完美數(shù)，可得到〃=4左+1,左EN*也為三分完美數(shù)”的遞推關(guān)系，將集合

。4印={123,12左+3}拆分為兩個三分集合可證，再根據(jù)基礎(chǔ)與遞推關(guān)系可得.

【詳解】(1)(i)%={1,2,3,4,5,6}不是三分集合，下面用反證法證明.

證明：假設(shè)。={1,2,3,4,5,6}是三分集合，

設(shè)4={4，4}，6={4力2}，。={。，，2}，不妨設(shè)G<。2，

由％+4=cl9a2+b2=G得，

q+4+%++q+=2(q+c2)=l+2+3+4+5+6=21,

則(:]+02=了，這與GQWN*矛盾，

故假設(shè)錯誤，故H={123,4,5,6}不是三分集合；

(ii)4={1,3,5,7,8,9,10,11,12}是三分集合.

理由如下：令4={1,3,5},8={9,8,7},。={10,11』2},

則=={1,3,5,7,8,9,10,11,12},滿足條件①；

且由1+9=10；3+8=11；5+7=12可知，滿足條件②.

故L={1,3,5,7,8,9,10,11,12}是三分集合.

(2)由(1)可知，當(dāng)〃=2時，U={123,4,5,6}不是三分集合；

當(dāng)〃=3時,U={12,3,4,5,6,7,8,9},

假設(shè)U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}是三分集合，

同理由4+4+%+b,+/+&+q+G+。3=2(q+。2+。3)=1+2++9=45,

c2+C3=,可推出與01,02,。3￡N矛盾，

故假設(shè)也錯誤，故。={1,2,3,4,5,6,7,8,9}不是三分集合；

當(dāng)”=4時，{7={1,2,3,,12},

存在三個4元集合A={L2,4個},3={5,8,7,9},C={6,10,11,12},

滿足U={1,2,3,、12}為三分集合的兩個條件.

故大于1的最小完美三分數(shù)為4.

(3)存在無窮多個完美三分數(shù)，理由如下.

由題意知，”=1為最小完美三分數(shù).

當(dāng)〃=5時，{1,2,3,,15},

存在三個5元集合4={1,3,5,7,2},3={11/0,9,8,4},。={12/3,14,15,6}滿足三分集合的條件,

故5為完美三分數(shù).

當(dāng)w=21時，U={1,2,3,…,63},

存在如下三個21元的集合滿足三分集合的條件：

A={1,3,5,7,?,29,31,2,6,10,14,4},

B={47,46,45,44,33,32,22,20,18,16,8}

C={48,49,50,51,?,62,63,24,26,28,30,12},

故21為完美三分數(shù).

首先證明：若〃=hkeN*為三分完美數(shù)，則〃=4左+1,丘N*也為三分完美數(shù).

證明：記&={1,2,3,3k},&川={1,2,3,…,12左+3},

若〃=太丘N*為三分完美數(shù)，則入為三分集合，

即存在三個k元集合A,B,C滿足如下兩個條件，

①4=ABC-

②A,民C元素可分別排列為有序數(shù)組（陽如，4），（4也，也）及（c”2，，9），

使得對Vi=l,2,3,,3均有q+b,=q,

則可得到：對可=1,2,3,,k,2q+26,=2q,

故集合{2,4,6,-,6左}也滿足三分集合的兩個條件，其也為三分集合，

下面記集合{2,4,6,…,6可=2q.

對〃=4左+1,集合U.={1，2,3,,12左+3}=（2《”電.2。）

構(gòu)造集合A={1,3,5,7,…,6k+1},共有集+1個奇數(shù);

集合E={6k+3/+2,6汰+3次+1,6左+3%,6左+3左一1,一,6左+2},

共有弘+1個逐個減小的連續(xù)正整數(shù)；

集合C'={9左+3,9左+4,然+5,9%+6,、12%+3},

共有弘+1個逐個增大的連續(xù)正整數(shù)；

可知這三個3k+1元集合4,B',C滿足如下兩個條件，

①集合=（2U）

②4,8',C'元素可分別排列為有序數(shù)組3也，，%+1）及（。/，-?3&+1），

使得對Vi=l,2,3,…,3左+1,均有6+偽=q；

故電皿口〃）為三分集合，而已知力為三分集合，將其對應(yīng)與A。夕C合并，

令H=AA!,B"=BB',C"=CC,

可知這三個以+1元集合滿足AlB"C"=U,k+i,且滿足條件②，

故U“+i={l，2,3,-12左+3}為三分集合，

因此可得，若"=左為三分完美數(shù)，則〃=4左+1也為三分完美數(shù).

由1,5,21為完美三分數(shù)，結(jié)合所證結(jié)論可知，存在無窮多個完美三分數(shù).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵在于第（3）問中，能將一個集合={1，2,3,…,12左+3}為兩個三

分集合（交集為空集）的并集，由此借助兩個條件可證明其也是三分集合.

15.（1）答案見解析（寫出其中一組即可）

（2）不存在，理由見解析

（3）存在，答案見解析

【分析】（1）由題意生成集合的過程可得；

（2）用反證法證明.先將17,37,77分解因式，分析集合&中的元素情況，分類討論可得；

（3）嘗試任取兩個元素，逐步找到滿足題意的一組集合即可.

【詳解】(1)由題意可知，若4={3,5},則與={8,15},7](A)={7,8,15}；

(若A={3,7},貝|瓦={10,21},7](A)={5,10,21}；

若4={5,7},則4={12,35},7](A)={3,12,35}；寫出一組即可).

(2)不存在集合A,使〃(A)存17,37,77}.

下面用反證法證明.

證明：假設(shè)存在集合A,使￡(A)={17,37,77}.

因為17=1x17,37=1x37,77=1x77=7x11,

故集合&中必有1或同時有7,11.

①若時，不妨設(shè)&={1,〃訃，則紇={1+九旬.

因為加與機+1必為一個奇數(shù)一個偶數(shù)，而用u￡(A),

則機e((A),且1+機e((A),

這與(⑷={17,37,77}中元素均為奇數(shù)矛盾.

②若7eA.且11€4，則18e線，這與瓦仁((A)矛盾.

綜上所述，假設(shè)錯誤，故不存在集合A,使￡(A)={17,37,77}.

(3)當(dāng)4={1,2,3,4,5}時,

存在左=4,使n⑷={5,9,26,120,121}.原因如下：

當(dāng)4={1,2,3,4,5}時，令4={4,5},4={9,20},則[(A)={1,2,3,9,20}；

令4={2,3},B2={5,6},則與(4)={1,5,6,9,20}；

令人={6,20},B3={26,120},則n(A)={1,5,9,26,120}；

令4={1,120},84={121,120},則7；(A)={5,9,26,120,121}.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵在于兩點，一是弄清題意，理解順序生成集合列4,紇/(A)的方

法；二是應(yīng)用反證法，因式分解從“積”入手分析集合4中的可能元素，分類討論尋找矛盾即可.

16.(1)5不是集合集的“相關(guān)數(shù)”,6是集合人的“相關(guān)數(shù)”,理由見解析；

⑵證明見解析；

⑶〃+3

【分析】(1)根據(jù)相關(guān)數(shù)的定義判斷，即可求解；

⑵根據(jù)相關(guān)數(shù)的定義，得到〃區(qū)〃+2時，機一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”，得到〃出〃+3,從而證明結(jié)

論；

(3)根據(jù)加2〃+3,將集合4“的元素分成，組，對4"的任意一個含有"+3個元素的子集P,必有三組

G,,c.,q同屬于集合P,不妨設(shè)Dk與c,無相同元素，此時這4個元素之和為

[4+(2n+l-O+(2n-j4)]=4n+l,從而求出機的最小值.

【詳解】(1)解：當(dāng)〃=3時，A={1,2,3,4,5,6},4〃+1=13,

①對于4的含有5個元素的子集{2,3,4,5,6},

因為2+3