初中三角形常見難點及解決方法摘要：三角形作為初中階段一個十分重要的知識點，同時在中考也占據了極大的比例，一般情況下中考三角形有關部分的分值都會來到25%。三角形題目的考點以及題目類型眾多，有涉及基本性質的，也有結合四邊形或動點進行考查的，學生面對各個部分有不同的難點，考場上遇到也經常會有很多問題。課題組對過往幾年海南省中考數學中三角形有關題目進行了分析和總結，并針對初三學生設計了調查問卷，調查學生實際遇到的問題。在中考中三角形的壓軸題所考內容就是大部分學生難點最多的，因此課題組對相關問題進行分析并提出了解決方法。這些解決方法對于學生解題和教學設計具有實際意義。關鍵詞：中考數學；三角形難點解析；解決方法；教學設計。中考趨勢初中階段三角形是一個十分重要的內容，也是中考中占比很大的一部分。如此重要的內容，中考中也會出現各種考點，三角形題型多樣，變化也多，學生在學習和解題過程中容易遇到各種各樣的問題，本文將結合學生實際學習情況以及三角形中常見的問題，從教師課堂和學生解題兩個方面提出解決方法，以此提高學生面對三角形相關問題時的正確率。在正式研究初中三角形的難點和解決方法之前，應該要先了解近幾年中考數學中對三角形考察的趨勢，三角形相關問題的題型大致可以分為以下幾類：一、基本性質相關問題，掌握三角形的基本性質是了解和學習三角形的前提，三角形具有許多重要的性質，基礎的例如內角和等于一百八十度，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，勾股定理等，更多的還有中位線定理，等腰三角形三線合一等，這些性質雖然基礎，但也是常見的考點。二、全等以及相似三角形，全等三角形和相似三角形中考中主要是考證明以及其中對應邊、角的關系，這兩種三角形的證明有一些相似之處，而全等三角形除了專門讓學生證明兩個三角形全等，還經常作為中間條件讓學生證明，更考驗學生發現全等三角形的能力，相似三角形的證明則經常以得到線段比例為目的。三、直角三角形，直角三角形的考察主要集中在勾股定理在實際問題中的應用來求距離、高度等，此外就是30°、45°、60°這幾個特殊的三角函數的應用。四、翻折問題，翻折問題主要是在一個特殊的四邊形中，例如平行四邊形、菱形等，沿著某條線進行翻折，通常還會結合四邊形的相關性質進行考查，有時還會加入動點問題，這時經常需要分類討論，更考驗學生的思維能力，解此類問題時，需要學生不僅能搞清楚翻折后邊和角的對應關系，還要能結合四邊形的性質得到需要的條件。五、綜合類問題，這類問題其實就是結合了三角形的基本性質、全等或相似三角形的證明等三角形的相關知識來進行考查的問題，這類問題更考驗學生對每個知識點的掌握程度，需要學生在解題時對題目要求要明確，對每一個能求出或證得的隱藏條件都能發現并利用題目有限的條件證明出來。為了了解在中考中三角形相關題型的考察趨勢，課題組收集總結了近五年海南的中考題，縱觀近五年海南省的中考題，在選填題部分三角形主要都是考查基本性質，這部分難度不大，考點都很常見基礎，而大題部分，每年都會有一道解直角三角形的題目，除此以外，還會有一道三角形的壓軸題，這些壓軸題都是與四邊形結合的，主要的題目類型都是翻折問題以及綜合類問題。2、學生學習情況為了實際了解上面提到的幾類問題有哪些是學生真正會遇到的比較常見又難點比較多的問題，課題組結合課題組實習時對學生學習情況的了解和對學生的調查問卷，得到了學生自己覺得比較困難的點。調查問卷主要從以下幾個點入手，首先提問了學生對于三角形的整體學習情況，然后提問了他們對于以上幾個三角形的考點中對于哪個覺得最困難，除此之外還調查了他們平時的學習習慣。課題組一共對一百二十四位初三的學生進行了調查，調查的學生成績水平在當地大致在中上水平，下面課題組將展示調查的一些數據。首先是他們在考試中對于三角形有關題目的得分情況：圖2.1從圖2.1數據中可知得分率高于80%的學生只占了極少數，大部分學生得分率都集中在50%左右，體現在具體的題目上，在選填題部分基礎題考基本性質都失分不多，但是在后面的大題，尤其是三角形壓軸大題的后兩問，經常出現學生全部丟分的情況，究其原因還是學生的基礎問題基本都能掌握，但涉及到證明、動點等邏輯要求更高的題目時無法快速反應導致失分。然后是學生對于幾種三角形的常見考點所認為的困難程度。課題組讓學生從這幾種題目類型中選出至多三個他們認為有難度的，再從中選出一個他們認為難度最大的。其中關于基本性質的問題幾乎沒有人認為有困難，這也確實是常見的題目類型中最基礎的部分，而其他幾種題型都多少有學生認為有難度，其中他們對于這幾類問題最感到困難的主要集中在全等相似的證明，翻折問題和綜合類問題，下圖是學生對于四個主要有難點的部分，他們認為的有難度和最有難度的人數分布圖。圖2.2圖2.2數據可以直接體現出學生對于具體的問題難點有多少，其中直角三角形難點最少，主要是因為直角三角形涉及到的知識點如勾股定理和特殊三角函數都是比較簡單的計算，而問題偏多的翻折問題和綜合類問題都是思維程度比較深的問題，因此難點較多。這些難點當中關于全等相似的證明主要還是集中在題目中隱藏條件的發掘，是可以歸類于綜合類問題之中的，也就是說成績中上水平的學生對于基礎的問題基本沒有太大問題，主要難點還是集中于需要一定思維量的問題上。對于他們學習習慣的調查，課題組發現他們主要的問題集中在于缺少對題目的總結，對于各種模型的熟悉程度不足夠，導致考試時在對題目中一些隱藏的全等或相似不夠敏感，或者是在需要輔助線時不能快速反應出來。課題組認為想要解決這些問題需要加強學生對特殊模型的熟悉程度和對各種常見輔助線的積累，這些是可以通過習題的練習和老師課堂的講解逐漸積累的，接下來課題組就將從這兩個方面入手，提出以上提到的幾個問題的解決方法。3、學生常見問題3.1、全等三角形或相似三角形的證明對于全等三角形或相似三角形的證明，基本的幾個判定定理學生都能掌握，實際解題時找到對應關系后學生都能輕松完成證明，問題在于幾乎沒有題目會將條件直接給出，往往都是需要通過一些圖形的性質來推導出條件，有些時候還需要通過一些其他三角形的全等或相似來得出條件，或者題目并沒有直接指出要證明哪一對三角形全等或相似，這種時候就需要學生對各種圖形的性質都了如指掌，線或角之間關系的推導也需要一定的邏輯能力，對于相似三角形的證明，在教材中是提出了兩種模型的，分別是8字型和A字型，但是除此之外還有一些其他模型或者是8字型以及A字型的變式，有些學生對于這些模型沒有印象或是概念比較模糊，就會導致解題時遇到困難，下面課題組將總結一些常見的相似三角形的模型。3.1.1A字型和8字型A字型和八字型這兩種模型都是教材上有所提及的模型，理解起來都比較簡單，但是在考試時經常會進行一些變式，例如將A字型中小三角形的部分調換方向，8字型同理。其中A字型的本質是兩個相似三角形有兩個公共邊和一個公共角，如圖3.1中△BPQ∽△BCA：圖3.1而八字形則是兩個三角形有一個對頂角構成形如8的圖形，如圖3.2中△AEF∽△CBF：圖3.23.1.2旋轉、位似模型位似也是教材中專門提到過的一種模型，這種模型在一些旋轉、延長或者截取的題目中經常用到，題目中遇到時關鍵還是要搞清楚旋轉、位似變換后圖形的對應關系，準確找到其中隱藏的相似,如圖3.3正方形ABCD旋轉后連接各個線段得到△ADG≌△CDE，△ADM∽△CHM。圖3.33.1.3一線三等角（垂直）模型一線三等角模型是指在一條直線上存在這樣三個相等的角，如圖3.4△ACP∽△BPD：圖3.4這樣的兩個三角形相似，證明起來也很簡單，如下：∵∠DPB＋∠D=∠2，∠DPB＋∠CPA=∠3，∠2=∠3，∴∠D=∠CPA。∵∠1=∠2，∠1＋∠CAP=∠2＋∠DBP=180°，∴∠CAP=∠DBP。∴△ACP∽△BPD。而一線三垂直則是一線三等角的一種特殊情況，即三個角相等都等于九十度，此時這兩個三角形也相似，證明過程同上。在考試中這種模型是經常遇到的，而題目中有時只給出了一線一等角或一線二等角，此時就需要通過做輔助線來構造一線三等角模型，這在下面的輔助線部分會詳細說明。下面課題組將用一道例題來展示此類題型的解決方法。例1：如圖3.5，在四邊形ABCD中,∠ACB=∠BAD=∠ACD=45°，點E是AC上的點,連接DE,DE∥BC,且DE=6√2,BC=4√2,求ABAD的值圖3.5首先觀察題目中有∠ACB=∠BAD=∠ACD=45°，且都在一條直線上，因此可以聯想到一線三等角模型，而由于題目中只有這兩個等角，因此需要再構造一個等角，所以課題組們做輔助線BF，使BF=BC，由等腰三角形的性質，就有∠BFC=∠ACB=45°，便構造出一線三等角模型，由此便可證明△ABF∽△DAE，再由對應線段成比例得出ABAD的值，作BF=BC，交AC與點F，∵BF=BC，∴△BFC是等腰三角形。∴∠ACB=∠BFC。∵DE?BC，∴∠ACB=∠DEC。∵∠ACB=∠ACD=∠BAD=45°，∴∠BFC=∠DEC=∠BAD=45°。∵∠BAF＋∠EAD=45°，∠BAF＋∠ABF=45°，∴∠EAD=∠ABF。∵∠AFB＋∠BFC=∠AED＋∠DEC，∴∠AFB=∠AED。∴△AFB∽△DEA。∴ABAD=BFAE=∵∠ACB=∠BFC=45°，∴∠FBC=90°，同理∠EDC=90°。∵DE=6√2，BC=4√2，∴CE=12，CF=8，EF=4。∴AF=4＋AE。∴42AE=∴AE=213-2。∴ABAD=23.2翻折問題對于翻折問題，解題的關鍵就在于能否厘清圖形翻折前后的對應關系，通常來說圖形中直接翻折的部分對應的邊角關系學生大都能厘清，但是在圖中連接或延長了一些線段讓圖形變復雜之后，更多的對應關系經常會讓學生思維混亂，有些時候還需要做輔助線構造出更多的對稱關系來解題，需要學生對圖形中的對稱關系有一定敏感度，如果再結合動點，對于學生的幾何思維就更有挑戰，下面課題組將用一道例題展示翻折問題的解決方法。例2：如圖3.6，在矩形ABCD中，AB=3√6，BC=12，E是AD的中點，點F在AB上，現將△AEF沿EF翻折，讓點A與點G重合，那么折痕EF的長為？圖3.6首先課題組們要厘清圖形翻折前后的對應關系，△AEF沿EF翻折得到了△EFG，那么由翻折的性質課題組們就知道△AEF≌△GEF，由此便得到了EG的長度，也知道了∠EGF=90°，再由E是AD中點，便有DE=AE=EG，且∠D=90°，便想到做輔助線：連接CE，這樣便構造出△EGC≌△EDC，由此得到∠ECG=∠ECD，這樣課題組們就只需再得到一對角相等便可證明△CEF∽△CDE，由此便可求出EF的長度，具體步驟如下：連接CE，∵沿EF翻折，∴△AEF≌△GEF。∴EG=AE，∠EGF=∠A=90°=∠D。∵E是AD中點，∴AE=DE=EG=6。∵EC為公共邊，∴△EGC≌△EDC。∴∠ECG=∠ECD，∠GEC=∠DEC。∴∠GEC＋∠FEG=∠DEC＋∠AEF=90°。∴∠CEF=∠D。∴△EFC∽△DEC。∴EFDE=EC∵EC2=DE2+DC2，∴EC=310。∴EF=215。3.3綜合類問題綜合類問題其實算是一種比較寬泛的說法，在中考的三角形壓軸題當中，除開第一問一般固定為全等三角形或相似三角形的證明，后續的問題多數都是綜合類問題，這種問題通常需要學生利用基本性質來發掘條件以此對題目所需要的全等三角形或相似三角形進行證明，并將得到的對應邊和對應角的關系反過來結合到圖形的基本性質當中進行解題。學生無論在哪個環節卡住都會影響解題，出現困難的主要原因還是對基本性質應用不熟練，邏輯思路不清晰，不能明確需要哪些條件，下面課題組也將利用一道例題來展示解決綜合類問題的方法。例3：如圖3.7，已知等邊△ABC的邊長為10，點D為AC邊上一點，CD=6，延長底邊BC至點E，使CE=6，已知點F、G分別為AB、DE的中點，求FG的長。圖3.7首先題目中出現了兩個中點，分別是AB中點F和DE中點G，因此如果再構造一個中點便可以用到中位線定理，所以做輔助線：連接DB并取DB中點H，連接GH、FH，GH、FH就分別是△DBE和△ABD的中位線。要求FG的長現有條件還不夠，聯想求線段長度經常用到的方法：勾股定理，因此做輔助線FP⊥HG，交HG于點P，再由等邊三角形的性質和特殊三角函數便可求出各個所需線段的長度，具體步驟如下：連接BD，取BD中點H，連接FH，GH，作FP⊥HG交HG于點P，∵F，G分別為AB，DE的中點，∴FH為△ABD的中位線，HG為△DBE的中位線。∴FH平行且等于12AD，HG平行且等于12∵△ABC為等邊三角形，∴∠FHP=∠ACB=60°。∵AC=10，CD=6，CE=6，∴AD=4，BE=16，FH=2，HG=8。∴在Rt△FPH中，HP=1，FP=3。∴在Rt△FPG中，PG=9，FG2=FP2+PG2。∴FG=221。在解決上述問題時，無論是哪一種類型的問題都經常還涉及到做輔助線來補充條件，有時候輔助線只需要簡單地連接兩個點或者取一些特殊線段，這種輔助線比較容易想到，難度不大大部分學生是能夠做出來的，但是有時候需要的輔助線數量多、類型多，學生就容易做不出或者找不到最簡單的輔助線做法。遇到上述的問題，學生首先應該要仔細閱讀題中條件，聯想相關性質，明確整個大圖形中各個部分的聯系，才能更容易找到隱藏的條件。而對于輔助線，這就需要學生在練習中積累各種輔助線的做法，明確了解做怎樣的輔助線可以得出怎樣的結論。下面課題組將先總結一些常見輔助線的做法以及其用途。3.4常見輔助線1.

首先是上文提到過的一線三等角（垂直）的模型，如果圖形中缺少一個等角或者缺少兩個等角，則可以嘗試連接或做垂線來補充完整，再利用一線三等角（垂直）模型來證明相似，具體的作法就如上文中例題類似。2.

延長線段，延長圖形中某一條線段是一種常見的輔助線做法，當題目中存在一些特殊點，如中點、三等分點，可以通過延長線段來構造出新的圖形，以此證明相似，常見的例如倍長中線。而當題目中出現特殊角如60°時，可以通過延長線段構造出特殊三角形如等邊三角形。例4：如圖3.8，AB=CD=2,AD+BC=2，在已知∠A=60°的情況下題目要求四邊形ABCD的面積，便可以選擇延長AD至AE使AE=AB，從而構造出等邊三角形。再利用等邊三角形的性質得到各個邊的關系，從而證得需要的△BDE≌△DBC，以此將不規則四邊形的面積轉化為了等邊三角形的面積。圖3.8

連接線段，當題目中所需要證明的線段不存在很明顯的聯系時，可以連接圖形中兩個點以此獲得新的圖形，將題目中需要證明的例如某兩條線段相等或成比例，把兩條線段分到兩個圖形中，通過證明這兩個圖形全等或相似來完成題目所需的證明。例5：如圖3.9，已知△ABC是等腰直角三角形，BD=CE，且M是AC中點，要證DM=ME。學生需要思考的就是如何把題目中已知條件BD=CE與題目要求的DM=ME聯系起來，很自然地就聯想到全等三角形，而像把這兩對對應線段放到一組全等三角形當中，就需要作這樣一條輔助線：連接BM，再由等腰直角三角形的性質征得全等，從而得證。圖3.9

平行線段，做圖形中某一條線段的平行線，可以構造出一個平行四邊形，以此利用平行四邊形的性質得到想要的條件如線段相等或角相等來完成證明。例6：如圖3.10，四邊形ABCD是直角梯形，且已知AB=12,BC=10,AD=8，要求CD的長度。只從題目的條件很難求出CD的長度，但如果作輔助線DE，則可以將原圖形分為一個直角三角形和平行四邊形，由此便可求出CD的長度。圖3.105.

取特殊點，當題目中存在一個中點，可以嘗試在一個三角形中再取另外一條邊上的中點以此利用中位線定理得到需要的條件。或者在圖形中存在動點時，經常在圖形中取一個定點的對稱點，如經典的“將軍飲馬”問題。圖3.11例7：如圖3.11，E、F分別是BC、AD的中點，且AB=CD，要證∠BGE=∠CHE。題目中出現了兩個中點且不在同一個三角形內，則可以考慮作輔助線來多構造一個中點來應用中位線定理來得到角之間的對應關系。4教學設計要點為了解決三角形問題中的難點，學生固然需要進行題目的練習并且總結其中的模型和方法，老師也同樣需要在課程中進行指導。很多時候學生在課堂上學到了基礎知識，但是考試時題目并不會直接考這些基礎的知識，一定會有拓展、變式或者綜合，如果只靠學生自己去總結諸如上文提到的相似三角形的模型或是輔助線的做法歸納還是略顯困難，這時候就需要老師在課程設計上尋求解決方法了，下面課題組就將從課程設計所需要注意點一些要點方面提出一些有關三角形問題的解決方法。就以相似三角形的判定這一節為例，由于中考中經常出現的綜合類問題通常是結合三角形或多邊形的性質以及全等或相似三角形的證明來進行考查，并且初中學生的認知理解能力有限，因此過于碎片化的知識無法做到加強學生的記憶，以至于在解決問題時學生難以將各個部分的知識串聯起來，所以在課程設計方面就應該加強這些部分的聯系，要將各個部分的知識結構化。首先明確本節內容與整個章節中其他內容有什么聯系，相似三角形的性質說明了相似三角形中對應角相等，對應邊成比例，而對于相似三角形的判定，則正是通過對應角相等以及對應邊成比例來進行的，因此在課程設計中應該有所提及。其次由于三角形相似的判定與三角形全等的判定有一些類似，因此在課程設計中應該圍繞此部分引導學生思考。最后