高等數學基礎

微積分本章重點1、函數概念2、函數的定義域3、函數值的計算4、函數奇偶性的鑒別本章難點復合函數的分解第一篇第一章－－函數一.函數概念函數是微積分學的核心概念，沒有函數，就沒有微積分學。1.在某一變化過程中能夠取不同數值的量稱為變量。【例如】復利問題圓的面積普通用x,y,z,s,t等表達變量。2.在某過程中始終同一數值的量稱為常量,3.變量的取值范疇稱為該變量的變域。注：變域可用區間、不等式表達：【例如】圓周率中山到廣州的直線距離S普通用大寫字母X,D,L等表達變域。普通用a,b,c,k等表達常量。4、函數的定義（P--5）

記作：y＝f(x)

，并稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量，f是對應規則。

函數y＝f(x)是兩個變量之間的關系，其中x是自變量，y是因變量，f是對應規則。定義域值域對應法則 函數的定義域：是使函數故意義的自變量x取值的全體。也就是自變量x允許取值的范疇。二.求定義域擬定函數定義域的三條基本規定：(1)分式的分母不能為零。即若則規定(2)偶次方根下的體現式非負。即若：則規定(3)對數函數中的真數體現式不不大于零。即若：則規定【例2.1】【解】于是所求的函數的定義域為【例2.2】求函數的定義域。【解】要使得體現式故意義,必須解這組不等式，得因此，所求函數的定義域為：寫成區間的形式，得到定義域：x－3－22【練習1】【解】公共部分【練習2】【解】x－3－23得到定義域：接下來將：寫成區間的形式三.計算函數的值就是將自變量的值代入函數的體現式中，計算出因變量(函數)的值來。解：【練習3】設則解：因此選擇C.更復雜一點，能夠根據函數在某個體現式上的值，反過來求該函數的計算公式。例3.2已知解：代入已知體現式得到：再將變量u替代成x,就得到所求函數計算公式：注：這也叫做“換元法”。判斷兩個函數相似的辦法：定義域和對應法則都相等．四.判斷兩函數相似例4.1判斷下列函數與否相似：解：例4.2判斷下列函數與否相似：【解】因此它們是不同的函數。體現式不同，定義域不同定義域和體現式都相似，因此它們是相似的函數。五.函數的幾何性質單調性、奇偶性、有界性、周期性重點：是奇偶性，這里重要討論函數奇偶性的鑒別（單調性放在第三章再講）函數的奇偶性奇偶性：定義1.3 (P－9)（1）奇函數（2）偶函數要注意：全部函數能夠分為奇函數、偶函數和非奇非偶函數。通過圖像能夠看出：奇函數的圖像是有關原點對稱的，偶函數的圖像是有關y軸對稱的。奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇＋偶＝非奇非偶函數，

f(x)+f(-x)

為偶函數，f(x)-f(-x)

為奇函數。通過定義，我們能夠證明得到下面的結論：提示：有點類似正數(偶)和負數(奇)的關系。【例5.1】判斷下列函數的奇偶性：解：(1)對任意x,用-x替代y=f(x)中的x，得由定義3.3,知f(x)是偶函數。(2)對任意x,用-x替代y=f(x)中的x，得由定義3.3,知

是偶函數。【練習4】判斷下列函數的奇偶性：【解】對任意x,用-x替代y=f(x)中的x，得由定義3.3,知

是奇函數。六.四類基本初等函數（一）常數函數規定熟記這五類函數的體現式，定義域。（二）冪函數例如：歸納冪函數的性質：要學會將這些函數轉化為冪函數的形式（三）指數函數 指數函數的運算性質可根據冪函數的運算性質(1)--(5)。（四）對數函數其中a為底數，x為真數就稱為以3為底的對數函數歸納對數函數的性質:（其中M,N>0）注意：對數一定要“同底數”才干相加減(a>0)七.函數的運算1、四則運算：加、減、乘、除——與我們普通所知數的運算同樣。2、復合運算——這對我們來說，是一種新的運算。直觀地說就是兩個函數，一種函數里面再套一種函數，就是復合。例7.1解：其中u稱為中間變量. 由此可見，簡樸函數通過復合運算，會變成復雜函數。更重要的是，我們能夠研究：復雜函數是由哪些簡樸函數通過復合運算得來的？即復合函數的分解。例如：函數能夠看作是：三個函數復合而成。例7.2將初等函數分解為基本初等函數的復合運算或四則運算。解：有些函數在它的定義域的不同部分,其體現式不同，亦即用多個解析式表達函數，這類函數稱為分段函數.例8.1:絕對值函數八.分段函數注意1．分段函數的定義域是其各段定義域的并集；【例8.1】求函數的定義域。【解】定義域D=２．分段函數在其整個定義域上是一種函數，而不是幾個函數.2．求分段函數的函數值，先要擬定x取值所對應的體現式，然后再代入求值。【例8.2】給定函數解：核心是要注意自變量所在的范疇，不同的范疇用不同的公式計算函數值。【練習】給定函數【解】九、經濟函數經濟函數重要涉及：1、需求函數q(p)(p為價格)2、成本函數C(q)3、收入函數R(q)4、利潤函數L(q)

生產和經營活動中，人們所關心的問題是產品的成本、銷售收入（又稱為收益）和利潤．它涉及固定成本和可變成本．（一）需求函數q(p)(p為價格)（二）成本函數平均成本：（三）收入函數【例9.1】某商品的需求函數為q=100-3p,求收入函數R(q).【解】（四）利潤函數【例9.2】解：生產某種產品的固定成本為1萬元，每生產一種該產品所需費用為20元，若該產品出售的單價為30元，試求：(1)生產x件該種產品的總成本和平均成本；(2)售出x件該種產品的