16.3.2.1完全平方公式第十六章

整式的乘法【2025新教材】人教版數學

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********16.3.2.1完全平方公式一、學習目標理解完全平方公式的推導過程，掌握\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)與\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)的結構特征。能熟練運用完全平方公式進行整式乘法運算、化簡求值，準確區分與平方差公式的差異。通過幾何圖形驗證和公式推導，體會數形結合思想，提升數學抽象與邏輯推理能力。二、知識回顧多項式乘法法則：\((m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq\)。平方差公式：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)，快速計算：\((3x+1)(3x-1)=\)______。計算熱身：\((x+3)(x+3)\)\((2y-5)(2y-5)\)\((a+b)(a+b)\)\((m-n)(m-n)\)三、完全平方公式推導（一）代數推導計算\((a+b)^2\)：根據多項式乘法法則，\((a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2\)。合并同類項得\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。計算\((a-b)^2\)：\((a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2\)。公式總結：和的完全平方公式：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。差的完全平方公式：\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。口訣記憶：首平方，尾平方，首尾乘積的\(2\)倍放中央，符號看前方。（二）幾何驗證\((a+b)^2\)的幾何意義：邊長為\(a+b\)的大正方形（如下圖），其面積可表示為\((a+b)^2\)。該正方形由\(1\)個邊長為\(a\)的正方形、\(1\)個邊長為\(b\)的正方形和\(2\)個長為\(a\)寬為\(b\)的長方形組成，面積為\(a^2+2ab+b^2\)，故\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。\((a-b)^2\)的幾何意義：邊長為\(a\)的大正方形中，去掉一個邊長為\(b\)的小正方形及兩個長為\(a-b\)寬為\(b\)的長方形，剩余邊長為\(a-b\)的正方形面積為\((a-b)^2\)，也等于\(a^2-2ab+b^2\)。四、完全平方公式應用（一）基礎計算例1：運用完全平方公式計算\((2x+3)^2\)解：這里\(a=2x\)，\(b=3\)，根據\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，可得\((2x+3)^2=(2x)^2+2??2x??3+3^2=4x^2+12x+9\)。\((5-y)^2\)解：\(a=5\)，\(b=y\)，由\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)，則\((5-y)^2=5^2-2??5??y+y^2=25-10y+y^2\)。（二）公式變形應用例2：已知\(a+b=7\)，\(ab=12\)，求\(a^2+b^2\)的值。解：根據\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，變形得\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)，代入數值\(a^2+b^2=7^2-2??12=49-24=25\)。計算\((x-2y)^2-(x+2y)^2\)。解：由完全平方公式展開：\((x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2\)，\((x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2\)。原式\(=(x^2-4xy+4y^2)-(x^2+4xy+4y^2)=x^2-4xy+4y^2-x^2-4xy-4y^2=-8xy\)。（三）易錯辨析例3：判斷并改正\((a+b)^2=a^2+b^2\)（×），正確應為\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。\((2m-n)^2=4m^2-2mn+n^2\)（×），正確為\((2m-n)^2=(2m)^2-2??2m??n+n^2=4m^2-4mn+n^2\)。五、課堂練習直接運用公式計算：\((m+4)^2\)\((3-2x)^2\)\((-a+b)^2\)化簡求值：當\(x=-1\)時，求\((2x-3)^2\)的值。已知\(a-b=4\)，\(ab=1\)，求\(a^2+b^2\)和\((a+b)^2\)的值。糾錯練習：找出下列計算錯誤并改正\((x+1)^2=x^2+1\)\((4-y)^2=16-4y+y^2\)六、課堂小結公式內容：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)；\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。關鍵要點：注意公式結構，防止漏乘“首尾乘積的\(2\)倍”；區分完全平方公式與平方差公式的形式；靈活變形公式解決求值問題。數學思想：體會數形結合、轉化與化歸思想在公式推導和應用中的作用。七、課后作業完成教材對應習題，強化公式運用。拓展思考：證明\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)，并嘗試用圖形解釋。已知\(a^2+b^2=25\)，\(a+b=7\)，且\(a>b\)，求\(a-b\)的值。此課件從多維度講解完全平方公式，融合推導、應用與思維訓練。若需增減例題、調整難度，或補充其他內容，隨時告訴我。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解學習目標理解并掌握完全平方公式的推導過程、結構特點.能靈活運用完全平方公式計算.相等新課導入

一塊邊長為a

米的正方形農田，將其邊長增加b

米，形成四塊農田，以種植不同的品種（如圖）.你能用幾種方式表示農田的總面積？abba直接求：總面積=間接求：總面積=abb2a2ab(a+b)2a2+2ab+b2探究新知（1）(p

+1)2=(p

+1)(p

+1)=__________；（2）(m+2)2

=(_____)(_____)=__________；（3）(p–1)2

=(_____)(_____)=__________；（4）(m–2)2=(_____)(_____)=__________.計算下列多項式的積.p2+2p+1m+2探究m+2m2+4m+4p–1p–1p2–2p+1m–2m–2m2–4m+4（1）(p

+1)2=p2+2p+1；（2）(m+2)2

=m2+2m+4；（3）(p–1)2

=p2–2p+1；（4）(m–2)2=p2–2p+1.p2+2·p·1+12m2+2·m·2+22p2–2·p·1+12m2–2·m·2+22你能發現什么規律？探究都是形如(a±b)2

的多項式相乘右邊第一項、最后一項分別是左邊第一項、第二項的平方，中間一項是左邊兩項乘積的2倍猜想：(a+b)2

=____________(a–b)2

=____________a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2a2–2ab+b2=(a

–

b)(a

–

b)=a2–ab–ab+b2=a2–2ab+b2(a+b)2

=a2+2ab+b2兩個數的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.完全平方公式：(a+b)2

=a2+2ab+b2

是多項式乘法(a+b)·(p+q)中p=a，q=b

的特殊情形.(a

–

b)2

=a2–2ab+b2首平方，尾平方，積的2倍放中央說一說完全平方公式的特點：積為二次三項式積中兩項為兩數的平方和另一項是兩數積的2倍，且與兩數中間的符號相同公式中的字母a、b

可以為數、單項式、多項式(a+b)2

=a2+2ab+b2(a

–

b)2

=a2–2ab+b2觀察(a±b)2aba2±2ab+b2(1+x)2(?3+a)2(1+a)2(0.3x?1)21x3a12+2x+x2a2–2a·3+32a112+2a+a20.3x1(0.3x)2–2×(0.3x)×1+12練習填一填：1+2x+x2a2–6a+91

+2a+a20.09x2–0.6x+1思考你能根據下面圖形的面積說明完全平方公式嗎？aabbabb直接求：S

=間接求：S

=(a+b)2a2+2ab+b2aS

=S

=(a–b)2a2

–2ab+b2abb2a2ababb2ab

例3運用完全平方公式計算：(1)(4m+n)2；(2)解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2分析：(1)a=___，b=____(2)a=___，b=____4mny練習計算：解：（1）原式=72+2·7·a+a2（1）(7+a)2；=a2+14a+49（2）

；（2）原式=（3）原式=(–3a)2+2·(–3a)·2+22=9a2–12a+4也可看作(2–3a)2（3）(–3a+2)2.（3）原式=22–2×3a×2+3a2

=9a2–12a+4

例4運用完全平方公式計算：(1)1022；(2)992.解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404(2)992=(100–1)2=1002–2×100×1+12=10000–200+1=9801通過合理變形，利用完全平方公式，可以簡化運算.練習計算：(2)9.72；(3)9012.（1）

；解：（1）原式=（2）原式=(10–0.3)2=102–2×10×0.3+0.32=94.09（3）原式=(900+1)2=9002+2×900×1+12=811801思考（1）(a+b)2

與(–a–b)2相等嗎？

(–a–b)2=[–(a+b)]2=(a+b)2

(–a–b)2=(–a)2–2·(–a)·b+b2=a2+2ab+b2

=(a+b)2

或（2）(a–b)2

與(b–a)2相等嗎？

(a–b)2=[–(b–a)]2=(b–a)2

(a–b)2=a2–2ab+b2=b2–2ab+a2

或=(b–a)2

（3）(a–b)2

與a2–b2相等嗎？

(a–b)2=(a–b)(a–b)a2–b2=(a+b)(a–b)相等相等不相等練習計算：(2)(–4x+6y)2.（1）

；（1）原式=（2）原式=(6y–4x)2=(6y)2–2·6y·4x+(4x)2=36y2–48xy+16x2解：閱讀與思考楊輝三角練習利用圖中的三角形，寫出(a+b)6

的展開式.(a+b)6

=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6隨堂練習1.下列計算正確的是（）A.(2x–1)2=4x2–4x+1B.C.(x+y)2=x2+y2D.(a–b)2=b2–a2A2.下面的計算是否正確？如果不正確，應當怎樣改正？（1）(a+b)2

＝a2+b2；

（2）(a–b)2

＝a2–ab+b2.【教材P115練習第1題】原式=a2+2ab+b2原式=a2–2ab+b23.運用完全平方公式計算：（1）(x+6)2；

（2）(y–5)2；（3）(–2x+5)2；（4）解：(1)(x+6)2=x2

+2·x·6+62(2)(y–5)2=y2–2·y·5+52【教材P116練習第2題】=x2

+12x+36=y2–10y+25(3)(–2x+5)2=52–2·2