學習目標經(jīng)歷在實際問題中求解算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標準差和離散系數(shù)的過程，發(fā)展學生的計算能力和解決問題的能力.經(jīng)歷在實際問題中求解算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標準差和離散系活動1創(chuàng)設(shè)情境，生成問題在基礎(chǔ)模塊中，我們學習了通過抽樣來收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、理解數(shù)據(jù)中蘊含的信息，用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.用樣本均值和樣本方差體現(xiàn)樣本的集中趨勢和離散程度.本章我們將進一步學習如何用樣本數(shù)據(jù)估計總體的集中趨勢和離散程度，從而更好地用樣本數(shù)據(jù)估計總體的特征.活動1創(chuàng)設(shè)情境，生成問題為了備戰(zhàn)2022年北京冬季奧運會，甲、乙兩名短道速滑運動員按計劃進行速滑訓練.在某天的訓練中，他們隨機抽取的5次訓練成績甲：40.7,41.2,39.9,40.3,41.9;乙：41.3,39.7,41.4,40.0,41.8.分析上述數(shù)據(jù)，你能估計出誰的訓練成績更好嗎?活動2調(diào)動思維，探究新知可以從集中趨勢的角度分析這些樣本數(shù)據(jù)的分布特征，估計哪一名運動員的訓練成績更好.集中趨勢是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，反映這組數(shù)據(jù)中心點的位置所在.常用的表示集中趨勢的統(tǒng)計量有算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等.計算可得，上述“情境與問題”中兩位運動員的5次訓練成績的算術(shù)平均數(shù)分別為：x甲=40.80,x乙=40.84,因為x甲<x乙，估計甲訓練成績更好.可以看出，算術(shù)平均數(shù)的計算方法與基礎(chǔ)模塊中樣本均值的計算方法是一致的，所以算術(shù)平均數(shù)也稱為算術(shù)均值.在某些實際問題中，不同樣本數(shù)據(jù)的重要程度可能不同，從而對集中趨勢產(chǎn)生不同的影響，若一組數(shù)據(jù)為x?,x?,…,xn,它們出現(xiàn)的頻數(shù)分別為fi,f?,…,fn則權(quán)重.顯然，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)不僅依賴于樣本數(shù)據(jù)，還依賴于樣本數(shù)據(jù)的權(quán)重.容易看出，當權(quán)重f,f?,…,f相等時，樣本數(shù)據(jù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就是它們的算術(shù)平均數(shù).因此，算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的特例.趨勢，但是集中趨勢只從一個側(cè)面說明了數(shù)據(jù)的分布特征，不能反映各個數(shù)據(jù)之間的差異以及各個數(shù)據(jù)遠離其算術(shù)平均數(shù)的程度.這就需要從另一個側(cè)面，即通過數(shù)據(jù)的離散程度來進一步反映數(shù)據(jù)的分布特征.活動1創(chuàng)設(shè)情境，生成問題我國擁有世界上規(guī)模最大的高速鐵路系統(tǒng)，無論是里程、速度還是車，是目前世界上運營時速最高的高鐵列車.在對列車上某種標準規(guī)格為25.64cm的零件進行招標時，從A廠與B廠提供的樣本中分別隨機抽取6個零件，測得零件的規(guī)格數(shù)據(jù)如下(單A廠：25.637,25.640,25.641,25.640,25.641,25.641;B廠：25.641,25.640,25.639,25.637,25.641,25.642.可以發(fā)現(xiàn)，所測的兩個廠家提供的零件的規(guī)格數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)都是25.64cm.因此，單從這一點上，無法判斷哪個廠家生產(chǎn)的零件更接近標準規(guī)格.那么,如何判斷哪個廠家生產(chǎn)的零件更接近標準規(guī)格呢?活動2調(diào)動思維，探究新知為了更進一步揭示規(guī)格數(shù)據(jù)的分布特征，可以考察規(guī)格數(shù)據(jù)與算術(shù)平均數(shù)的差以及規(guī)格數(shù)據(jù)之間的差等，這就涉及數(shù)據(jù)的離散程度.離散程度是指數(shù)據(jù)遠離其中心值的程度，也稱離中趨勢.它與集中趨勢相輔相成，共同反映數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.常用的反映數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量有極差、方差、標準差和離散系數(shù)等.一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差稱為極差，也稱全距.極差是最簡單的描述數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量.若xmax與xmin分別表示這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，則這組數(shù)據(jù)的極差R=xmax-xmin用極差來評價數(shù)據(jù)的離散程度時，極差值越小，說明數(shù)據(jù)的離散程度越小，數(shù)據(jù)越集中，算術(shù)平均數(shù)的代表性越好；反之，極差值越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，數(shù)據(jù)越分散，算術(shù)平均數(shù)的代表性越差.活動2調(diào)動思維，探究新知B廠零件的規(guī)格數(shù)據(jù)的極差為RB=25.642-25.637=0.005.因為RA<RB,所以判定A廠生產(chǎn)的零件更接近標準規(guī)格.由于極差只是利用了數(shù)據(jù)兩端的信息，沒有涉及中間數(shù)據(jù)的分散情況，因而不能精確描述數(shù)據(jù)的離散程度.2活動2調(diào)動思維，探究新知在《數(shù)學基礎(chǔ)模塊》中，我們學習了樣本方差和樣本標準差的概念.方差(或標準差)描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均值波動的程度，與極差相比，能更好地反映數(shù)據(jù)的離散程度.設(shè)一組數(shù)據(jù)為為x?,x?,…,xn,則這組數(shù)據(jù)的方差為這組數(shù)據(jù)的標準差為活動2調(diào)動思維，探究新知方差和標準差反映一組數(shù)據(jù)的平均離散程度，消除了樣本含量的影響，通常與平均數(shù)一起用來描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度.在平均數(shù)相同的情況下，方差和標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；反之，數(shù)據(jù)的離散程度越小.【典例3】求“情境與問題(1)”中A廠和B廠生產(chǎn)的零件的規(guī)格數(shù)據(jù)的標準差，并判斷哪個廠家生產(chǎn)的零件更加接近標準規(guī)格(標準差的結(jié)果保留5位小數(shù)).由xA=xg=25.64和標準差的計算公式可得因為sA<SB,所以A廠生產(chǎn)的零件更加接近標準規(guī)格.的數(shù)據(jù)見下表.身高x/cm體重y/kg計算可得，身高的算術(shù)平均數(shù)x=166cm,體重的算術(shù)平均數(shù)y=62kg;大于體重的標準差.那么,是否可以斷定這8名學生身高的離散程度大于體重的離散程度呢?活動2調(diào)動思維，探究新知考慮到身高的算術(shù)平均數(shù)遠大于體重的算術(shù)平均數(shù)，僅從標準差的大小來比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度是不全面的.因此，相對于算術(shù)平均數(shù)的相對離散程度是一個更加合理的指標.一組數(shù)據(jù)的標準差與其算術(shù)平均數(shù)的比稱為這組數(shù)據(jù)的離散系數(shù)，也稱為標準差系數(shù).計算公式為活動2調(diào)動思維，探究新知影響，當兩組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)或計量單位不同時，常用離散系數(shù)比較這兩組數(shù)據(jù)的離散程度.離散系數(shù)大，說明該組的離散程度大；離散系數(shù)小，說明該組數(shù)據(jù)的離散程度小.活動3鞏固知識，典例練習典例4求“情境與問題(2)”中8名同學的身高和體重的離散系數(shù)，并判斷身高和體重中哪一項的離散程度小.解：由算術(shù)平均數(shù)公式可得由標準差公式可得S身高≈10.433,S體重≈6.590.于是，這8名同學身高和體重的離散系數(shù)分別為活動4活動4集中趨勢和離散程度從不同的側(cè)面反映了數(shù)據(jù)的分布特征，在實際統(tǒng)計工作中，必須把集中趨勢和離散程度相結(jié)合才能準確地反映數(shù)據(jù)的整體狀況.數(shù)據(jù)的離散程度越小，集中趨勢的代表性就越大；離散程度越大，集中趨勢的代表性就越小.1.求下列各組數(shù)據(jù)的極差和標準差(標準差保留2位小數(shù)).(2)10,13,9,12,10,9;(3)26,33,20(4)10,10,11,11,12,12,13,13,14,14.