/遼寧省沈陽市2023?2024學年高二下冊期末考試數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，下面四個圖象中的圖象大致是（

）A． B．C． D．3．函數(shù)的最大值為（

）A．8 B． C．2 D．44．已知函數(shù)的定義域為R，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列選項中值一定為0的是（

）．A． B． C． D．5．中國古代許多著名數(shù)學家對推導高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術”的算法，展現(xiàn)了聰明才智.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，所討論的二階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是后項減前項之差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列.現(xiàn)有一個“堆垛”，共50層，第一層2個小球，第二層5個小球，第三層10個小球，第四層17個小球，...，按此規(guī)律，則第50層小球的個數(shù)為（

）A．2400 B．2401 C．2500 D．25016．函數(shù)在上單調遞減的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．7．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．函數(shù)的定義域為，則的定義域為C．若冪函數(shù)的圖象過點，則D．函數(shù)的零點所在區(qū)間可以是10．已知，，且，則（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)存在兩個不同的零點B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當時，方程有且只有兩個實根D．若時，，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則．13．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是．14．已知函數(shù)則函數(shù)有個零點．四、解答題（本大題共5小題）15．設集合，.(1)當時，求.(2)若，求m的取值范圍.16．已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性．17．已知函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0}，對定義域內的任意，都有f(·)＝f()＋f()，且當x>1時，f(x)>0，f(2)＝1.(1)證明：(x)是偶函數(shù)；(2)證明：(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(3)解不等式(2－1)<2.18．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且對任意的都有.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，且數(shù)列的前項和為，問是否存在正整數(shù)，對任意正整數(shù)有恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.19．已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，設函數(shù)在上的極值點為，求證.

答案1．【正確答案】D【分析】依題意表示出集合即可.【詳解】，故，圖中陰影部分表示的元素在中而不在中，故對應的集合為，故選D.2．【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)y＝xf′（x）的圖象，依次判斷f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的單調性即可【詳解】由函數(shù)y＝xf′（x）的圖象可知：當x＜﹣1時，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增，當﹣1＜x＜0時，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減，當0＜x＜1時，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減，當x＞1時，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增．故選C．3．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，由換元法，結合二次函數(shù)的最值，即可得到結果.【詳解】設，則，即，所以，因為，所以當時，函數(shù)取得最大值為.故選A.4．【正確答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)定義的抽象式，采用賦值法求解，再構造滿足條件的函數(shù)，判斷錯誤選項.【詳解】由為偶函數(shù)，得，由為奇函數(shù)，得，即，則有，于是，即，因此，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由，，得，由，，得，B正確；令，則有，，即，定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，此時，A錯誤；，C錯誤；，D錯誤.故選B.5．【正確答案】D【分析】依據(jù)等差數(shù)列的定義與求和公式，累加法計算即可.【詳解】不妨設第層小球個數(shù)為，由題意，，……，即各層小球之差成以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.所以.故有，累加可得：，故.故選D.6．【正確答案】A【分析】先將命題等價轉化為研究在上的的性質，然后分類討論即知使得命題成立的充要條件是，最后比較選項即可得出答案.【詳解】由于是定義在上的遞減函數(shù)，故命題等價于在上單調遞增且取值恒為正.若，則，從而在上取值不恒為正，不滿足條件；若，則對任意都有，且由知對任意都有.故在上單調遞增且取值恒為正，滿足條件.所以使得原命題成立的充分必要條件是，從而觀察選項可知A是充分不必要條件，B是充要條件，C，D是既不充分也不必要條件.故選A.7．【正確答案】D【詳解】令，則，即為，即設，則，因為對于任意的，都有成立，所以對任意，都有，所以為單調遞增函數(shù)，且，所以的解集為，即，即所以不等式的解集為.故選D.【思路導引】本題考查了函數(shù)的綜合應用問題，以及不等式的求解，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及轉化與化歸思想的應用，對于與函數(shù)有關的不等式的求解問題：通常是代入函數(shù)的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，則將問題轉化為構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質——單調性與奇偶性等，結合函數(shù)的圖象求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用.8．【正確答案】B【分析】根據(jù)條件得出關于點中心對稱，從而得到，再利用基本不等式，即可求出結果.【詳解】因為，所以，即有，所以關于點中心對稱，又，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號.故選B.9．【正確答案】AC【分析】對于A，使用反證法即可證明；對于B，利用函數(shù)定義域的性質即可判斷；對于C，使用冪函數(shù)的定義及已知條件即可驗證；對于D，證明在上沒有零點即可判斷.【詳解】對于A，假設，則，所以，故，矛盾，所以，故A正確；對于B，由于的定義域為，故的定義域為，所以的定義域為，故B錯誤；對于C，由于是冪函數(shù)，故可設，而的圖象過點，故，所以，即，故C正確；對于D，由于當時有，所以在上沒有零點，故D錯誤.故選AC.10．【正確答案】ABC【分析】對于A，直接證明即可；對于B，先證明，再利用對數(shù)的性質即可驗證；對于C，先證明，然后得到，再使用指數(shù)的單調性即可；對于D，給出作為反例即可.【詳解】對于A，有，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，，，有，當且僅當時取等號，故，從而，故B正確；對于C，由，知，所以故，從而，所以，故C正確；對于D，由于當時，有，，但，故D錯誤.故選ABC.【關鍵點撥】本題的關鍵在于使用不等式的性質，并利用指數(shù)和對數(shù)的性質驗證不等式.11．【正確答案】ABC【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項．【詳解】對于A．，解得，所以A正確；對于B．，當時，，當時，或，所以是函數(shù)的單調遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確；對于C．當時，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調性可知，當時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D.由圖象可知，t的最大值是2，所以D錯誤．故選ABC.【易錯警示】本題考查了導數(shù)分析函數(shù)的單調性，極值點，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)為0，判斷零點兩側的正負，得到函數(shù)的單調性，本題易錯的地方是是函數(shù)的單調遞減區(qū)間，但當時，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯了，那選項容易判斷錯了．12．【正確答案】3【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化關系，再利用對數(shù)的運算性質及換底公式計算得解.【詳解】依題意，，則．故3.13．【正確答案】【分析】由題意，求導f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）確定函數(shù)的單調性，從而作出函數(shù)的簡圖，由圖象求實數(shù)a的取值范圍．【詳解】由題意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函數(shù)，在（﹣2，0）上是減函數(shù)，作其圖象如圖，

令x3+x2得，x＝0或x＝﹣3；則結合圖象可知，；解得，a∈[﹣3，0）.故a∈[﹣3，0）.14．【正確答案】4【分析】令，由可得，，轉化為數(shù)形結合，判斷圖象交點個數(shù)，即可得解.【詳解】令，由可得，，作與的圖象，如圖，由圖象知有兩個交點，分別設橫坐標為，則，由可知或，有兩個根，由，顯然有兩個根，綜上，有4個根，即有4個零點.故4.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）將代入相應集合，并結合交集與并集的概念即可求解.（2）由題意，這里要注意對集合分兩種情形討論：集合為空集或者集合不為空集，然后相應去求解即可.【詳解】（1）當時,,又因為，所以（2）若,則分以下兩種情形討論：情形一：當集合為空集時，有，解不等式得.情形二：當集合不為空集時，由以上情形以可知，此時首先有，其次若要保證，在數(shù)軸上畫出集合如下圖所示：

由圖可知，解得；結合可知.綜合以上兩種情形可知：m的取值范圍為.16．【正確答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導可得，含參分類討論、、和時函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】（1）由題意知，當時，，則，故曲線在處的切線方程為；（2）的定義域為，且，當時，則，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增；當時，則有：若，則，令，則單調遞增；令，則或單調遞減；若，則，令，則單調遞增；令，則或單調遞減；若，則單調遞減．綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減．17．【正確答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）令，求得，再由，求得，進而得出，即可得到證明；（2）根據(jù)函數(shù)的單調性的定義，即可證得函數(shù)的為單調遞增函數(shù)；（3）由（1）（2）可把不等式轉化為，進而得，結合，即可求解.【詳解】(1)證明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù)．(2)證明：設x2>x1>0，則f()－f()＝f(·)－f()＝f()＋f()－f()＝f()，∵>>0，∴>1.∴f()>0，即f()－f()>0.∴f()>f()．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(3)∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.又∵f(x)是偶函數(shù)，∴不等式f(2x2－1)<2可化為f(|2x2－1|)<f(4)．又∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴|2x2－1|<4.解得－<x<，又，解得：即不等式的解集為．【思路導引】本題主要考查了函數(shù)的單調性與奇偶性的定義法證明，以及函數(shù)的單調性的應用，其中解答中熟記函數(shù)的單調性與奇偶性的定義，合理運算、化簡是解答的關鍵，同時考查了轉化思想的應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.18．【正確答案】(1)，(2)存在，1010【分析】（1）由得到：（），兩式相減得即可求解；（2）由（1）得到，利用裂項相消求和得到，由數(shù)列的單調性定義可得數(shù)列為遞增數(shù)列，結合條件得到，即可求解.【詳解】（1）因為，，當時，，兩式相減得（），即（）.又當時，，得，滿足上式.故，.（2）由（1）可得，，則，即.又，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以.因為對任意正整數(shù)有恒成立，所以，解得.又，所以.所以存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)有恒成立，且的最大值為1010.19．【正確答案】(1)當時，的極大值為，無極小值；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）求導，利用導函數(shù)的符號變化得到函數(shù)的單調性，進而得到函數(shù)的極值；（2）求導，將函數(shù)在某區(qū)間上單調遞增轉化為導函數(shù)非負恒成立，分離參數(shù)，構造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題；（3）連續(xù)兩次求導，分別通過研究導函數(shù)的符號變化研究函數(shù)的極值，再作差構造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問