解析幾何中的度量問題高中數學選擇性必修第一冊（人教B版）第二章教學闡釋CONTENTS目

錄教學內容解析1教學目標設置2學生學情分析3教學策略分析4教學過程設計5教學內容解析1教學內容解析線段和角是歐氏幾何中兩個基本的圖形，因此距離和角度是歐氏幾何中兩個基本的度量,刻畫距離和角度是平面解析幾何的基本任務.

度量“線段”“角”的工具方法有：解三角形（正余弦定理），向量工具（向量的夾角、模長公式等），兩點間距離公式和斜率公式.引入坐標法之后，借助于解析幾何中兩個重要公式：兩點的斜率公式和兩點間的距離公式，可以度量線段和角.這兩個公式在平面解析幾何的學習中具有基礎地位，它們是幾何圖形代數化的起點和重要工具.因此“解析”的核心就是利用坐標法將幾何問題代數化來解決問題.笛卡爾坐標理論建立在兩個觀念基礎之上：一個是坐標理論，另一個是將含有兩個變量的等式看成是一條曲線方程的理論.在直線、圓、圓錐曲線的學習過程中，學生已經基本感知到利用平面上兩點間距離公式和斜率公式可以將幾何圖形的幾何特征用代數表達，進而可以得出曲線方程.通過求解聯立不同曲線的方程所得方程組，可以解決曲線位置關系問題，同時求解出交點的坐標，又可以進一步研究弦長、距離、面積等一系列的度量問題.從教材內容的角度：本節課是解析幾何大單元的延伸探究內容，是從度量的角度對坐標法的再認識再升華，也是對解析幾何問題解決方法的進一步深入探究，重點解決如何簡化代數運算上.旨在解決解析幾何中的度量問題過程中，讓學生進一步體會坐標法中對線段和角的度量是基礎，同時感受解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的運算，學會用幾何的眼光觀察、分析幾何要素的基本關系來簡化運算，從而進一步落實數形結合的思想.教學目標設置2教學目標設置平面解析幾何本單元的學習，可以幫助學生在平面直角坐標系中，認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標準方程;運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系;運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想.教學目標設置【教學提示】

在平面解析幾何的教學中，應引導學生經歷以下過程:首先，通過實例了解幾何圖形的背景，例如，通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學生了解圓錐曲線的背景與應用;進而結合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問題，例如，兩點決定一條直線，橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡等;再結合具體問題合理地建立坐標系，用代數語言描述這些特征與問題;最后，借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數運算得到結果，并給出幾何解釋，解決問題.應充分發揮信息技術的作用，通過計算機軟件向學生演示方程中參數的變化對方程所表示的曲線的影響，使學生進一步理解曲線與方程的關系.在教學中，可以組織學生收集、閱讀平面解析幾何的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述平面解析幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻.教學目標設置【學業要求】1、能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程:

根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題(圖形)的分析，探索解決問題的思路;運用代數方法得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題.2、能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標準方程，能夠運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關系，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題.重點提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養.1.體會利用兩點間距離公式和斜率公式，可以將解析幾何中的度量問題化歸為對線段和角兩個基本圖形的度量的過程；教學目標教學目標設置2.學會用代數、幾何等手段化簡解析幾何中的代數運算，進一步體會數形結合思想.學生學情分析3學生概況知識基礎高二學生已經初步掌握了本章的基礎知識，有了研究解析幾何中度量問題的直接經驗優勢不足具備結合幾何圖形直觀獲得解題思路，會用“坐標法”研究解析幾何中的軌跡問題以及長度（距離）、面積、角度等簡單的度量問題.但解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數運算，對于較為復雜靈活的問題，學生缺少“以形助數”的意識，缺乏用幾何眼光觀察、分析幾何圖形要素及其之間基本關系的能力.學生學情分析利用圖形的幾何特征及圖形間的關系來簡化計算教學難點教學學情分析教學策略分析4

問題引領

感受研究思路學生主體教師主導教學策略分析

1．站在大單元的高度組織內容.通過精心設計的“問題串”，引導學生回顧平面幾何的學習歷程，確定平面解析幾何的研究對象是平面幾何圖形，刻畫距離和角度是平面解析幾何的基本任務.在此基礎之上通過具體實例引導學生從“數”和“形”兩個角度進行分析，抓住解析幾何問題首先是幾何問題這一核心，幫助學生形成完整的認知結構.

問題引領

構建框圖

感受研究思路

變式訓練

提升整體感知

深化數學思維目標學生主體教師主導教學教學策略分析

2．基于學習力的視角組織教學活動.根據現階段學生學習的實際能力和學生的思維特點及認知基礎，運用引導發現和講練結合的方法，提出問題讓學生分析、思考和交流，在鞏固知識的同時促進學生邏輯推理能力、數學運算能力、數學構造能力的提升.3．通過變式訓練，讓學生體會數形結合的雙向轉化過程，數學知識的變化與統一，深化數學思維.教學過程設計5代數幾何熔一爐1乾坤變幻坐標書2圖形百態方程繪曲線千姿計算求3教學過程設計代數幾何熔一爐本圖片可以更換成你自己的圖片或視頻本圖片可以更換成你自己的圖片或視頻體會價值復習回顧明確任務提升認知

【設計意圖】通過復習回顧明確平面幾何研究的是平面圖形的性質，關系和規律.線段和角是歐氏幾何中兩個基本的圖形，因此距離和角度是歐氏幾何中兩個基本的度量,刻畫距離和角度是平面解析幾何的基本任務.代數幾何熔一爐本圖片可以更換成你自己的圖片或視頻本圖片可以更換成你自己的圖片或視頻體會價值復習回顧明確任務提升認知

【設計意圖】引導學生總結出對線段的度量，可以解決面積、周長等問題，對角度的度量，可以進行平行、垂直等關系的判定.

基于兩者之上，可以研究全等、相似等更多樣化的平面幾何問題.代數幾何熔一爐本圖片可以更換成你自己的圖片或視頻本圖片可以更換成你自己的圖片或視頻體會價值復習回顧明確任務提升認知

【設計意圖】

同時引導學生總結出在高中學習基礎之上，如何度量“線段”“角”的工具方法，如：解三角形（正余弦定理）、向量工具（向量的夾角、模長公式等），兩點間距離公式和斜率公式.代數幾何熔一爐本圖片可以更換成你自己的圖片或視頻本圖片可以更換成你自己的圖片或視頻體會價值復習回顧明確任務提升認知

【設計意圖】

這兩個公式是建立在“坐標”之上的，讓學生明確通過坐標系，可以把幾何中的基本元素——點與代數的基本對象——數（有序數對或數組）對應起來，從而平面幾何中兩個基本的度量——距離和角度，可以借助于公式得到代數表達.

提升學生對幾何問題代數化，用代數的方法解決幾何問題的認知，同時幫助學生明確“坐標法”——是我們解析幾何研究問題的基本方法.乾坤變幻坐標書【設計意圖】通過這道題的解答讓學生總結坐標法解題的一般步驟，培養學生歸納、總結、反思的學習習慣；同時讓學生感受：平面解析幾何的研究對象是平面幾何圖形，刻畫距離和角度是平面解析幾何的基本任務.感悟形數的對立與統一，探索解幾研究的一般路徑.并從形和數兩個角度重新認識曲線與方程，滲透數形結合思想，建立統一觀.建立范式探索路徑復習回顧感悟思想乾坤變幻坐標書平面內到兩個定點的距離之比等于定值（大于零且不等于1）的點的軌跡為圓，該圓最早是由古希臘數學家阿波羅尼奧斯提出，所以我們稱為“阿氏圓”.引入“阿波羅尼斯圓”，介紹數學史.阿波羅尼奧斯所著《圓錐曲線論》一書，將圓錐曲線的性質網羅殆盡，像“阿氏圓”“極點極線”等問題都出自于本書.

自從笛卡兒引進坐標系以來，為了闡明阿波羅尼奧斯的結果，借助于坐標系，利用兩點間距離公式和斜率公式把平面幾何中的兩個基本圖形用代數的形式表達，從而把幾何性質轉化為代數問題來研究，由此便產生了解析幾何.乾坤變幻坐標書【設計意圖】在教學中適當地介紹數學發展的歷史，可以讓學生從歷史的角度審視自己學習的知識，感悟自己所學知識的意義以及文化價值，落實課標中有關滲透數學文化的要求.圖形百態方程繪，曲線千姿計算求【設計意圖】回顧解析幾何的研究對象、研究方法.復習解析幾何的內容，明確直線、圓、圓錐曲線，是將幾何特征代數化，用代數的方法解決幾何問題（坐標法），而在此過程中，對于線段的度量和角的度量是轉化問題的核心.我們發現每一個幾何對象都有與之對應的方程，在同一坐標系下寫出兩條不同曲線的方程，對它們聯立所得的方程組求解，根據解的個數我們可以判斷兩條曲線的位置關系，求解出方程組的解便可以得到兩條曲線的交點坐標，進而解決更多的解析幾何問題.悟透通法精選例題靈活轉化一題多變本環節精選例題，一題多變，在幾何問題與代數問題靈活轉化的過程中，形數融通，悟透通法，進一步感悟解幾研究的一般路徑．圖形百態方程繪，曲線千姿計算求悟透通法精選例題靈活轉化一題多變

【設計意圖】本題以學生熟悉的圖形為載體，研究兩條直線的垂直，思維入口寬，解題方法多．主要想讓學生再次認識到坐標法是研究解析幾何問題的核心方法，它是基于點與坐標、直線與方程的對應，通過代數運算研究幾何圖形的性質．圖形百態方程繪，曲線千姿計算求【設計意圖】

以橢圓與直線相交求所得弦長為例，利用韋達定理整體代入可以簡化計算.以求拋物線的焦點弦長為例，利用拋物線的幾何特征表示弦長可以簡化計算.圖形百態方程繪，曲線千姿計算求【設計意圖】從這里可以看到，運用坐標法不僅可以將幾何問題通過代數方法解決，而且還把變量、函數以及數和形等重要概念密切聯系起來.初步體會借助幾何直觀、適當設元（參數方程）可以簡化計算.圖形百態方程繪，曲線千姿計算求【設計意圖】解析幾何解決度量問題時必要的運算是不可避免的，如何能突破運算難點是非常關鍵的.由于解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數運算，所以引導學生先用幾何的眼光觀察,分析清楚幾何圖形的要素及其之間的基本關系，再用代數語言表達，而且在運算過程中要時