全國卷三文科試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{x|-1<x<2\}\)，\(B=\{x|0<x<3\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\((-1,0)\)B.\((-1,3)\)C.\((0,2)\)D.\((2,3)\)2.已知\(i\)是虛數單位，則\(\frac{3-i}{1+i}=(\)\)A.\(1-2i\)B.\(2-i\)C.\(2+i\)D.\(1+2i\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,-2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，則\(m=(\)\)A.-8B.-6C.6D.84.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(\alpha\in(0,\pi)\)，則\(\tan\alpha=(\)\)A.-\frac{4}{3}B.-\frac{3}{4}C.\frac{3}{4}D.\frac{4}{3}5.已知雙曲線\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)\)的一條漸近線方程為\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，且與橢圓\(\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1\)有公共焦點，則\(C\)的方程為\((\)\)A.\(\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{10}=1\)B.\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\)C.\(\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1\)D.\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1\)6.某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數據，繪制了下面的折線圖。根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩7.執行下面的程序框圖，如果輸入的\(a=-1\)，則輸出的\(S=(\)\)A.2B.3C.4D.58.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為\((\)\)A.\(\pi\)B.\(\frac{3\pi}{4}\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)9.函數\(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx}\)的最小正周期為\((\)\)A.\(\frac{\pi}{4}\)B.\(\frac{\pi}{2}\)C.\(\pi\)D.\(2\pi\)10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數，且在區間\((-\infty,0]\)上單調遞增，若實數\(a\)滿足\(f(2^{\log_{3}a})>f(-\sqrt{2})\)，則\(a\)的取值范圍是\((\)\)A.\((0,\sqrt{3})\)B.\((0,\sqrt{3}]\)C.\((\sqrt{3},+\infty)\)D.\([\sqrt{3},+\infty)\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在區間\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^{x}\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.已知\(a,b,c\)為實數，則下列結論正確的是（）A.若\(a>b\)，則\(ac^{2}>bc^{2}\)B.若\(a<b<0\)，則\(a^{2}>ab>b^{2}\)C.若\(a>b\)，\(c>d\)，則\(a-c>b-d\)D.若\(b<a<0\)，\(c<0\)，則\(\frac{c}{a}>\frac{c}{b}\)3.下列關于圓錐曲線的命題中，正確的是（）A.設\(A,B\)為兩個定點，\(k\)為非零常數，\(\vert\overrightarrow{PA}\vert-\vert\overrightarrow{PB}\vert=k\)，則動點\(P\)的軌跡為雙曲線B.設定圓\(C\)上一定點\(A\)作圓的動弦\(AB\)，\(O\)為坐標原點，若\(\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)，則動點\(P\)的軌跡為橢圓C.方程\(2x^{2}-5x+2=0\)的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率D.雙曲線\(\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1\)與橢圓\(\frac{x^{2}}{35}+y^{2}=1\)有相同的焦點4.已知函數\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})\)的部分圖象如圖所示，則（）A.\(\omega=2\)B.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)C.\(f(x)\)的圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{3}\)對稱D.\(f(x)\)在區間\((-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})\)上單調遞增5.已知數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，且滿足\(S_{n}=2a_{n}-1(n\inN^{})\)，則下列結論正確的是（）A.\(a_{1}=1\)B.\(a_{n}=2^{n-1}\)C.\(a_{n}=2n-1\)D.\(S_{n}=2^{n}-1\)6.已知\(a,b\)為非零向量，則下列命題正確的是（）A.若\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\vert\overrightarrow{a}\vert-\vert\overrightarrow{b}\vert\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)共線且反向B.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)C.若\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\vert\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\vert\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)D.若\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow{b}\vert=\vert\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\vert\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)的夾角為\(60^{\circ}\)7.下列說法正確的是（）A.命題“\(\forallx\inR,x^{2}+x+1>0\)”的否定是“\(\existsx\inR,x^{2}+x+1\leqslant0\)”B.已知\(a,b\inR\)，則“\(a>1\)且\(b>1\)”是“\(ab>1\)”的充分不必要條件C.已知\(x\inR\)，則“\(x=1\)”是“\(x^{2}-3x+2=0\)”的充分不必要條件D.若\(p\wedgeq\)為假命題，則\(p,q\)均為假命題8.已知函數\(f(x)=x^{3}-3x\)，則（）A.\(f(x)\)是奇函數B.\(f(x)\)在區間\((-1,1)\)上單調遞增C.\(f(x)\)的極大值為\(2\)D.\(f(x)\)的極小值為\(-2\)9.已知圓\(C:x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0\)，則（）A.圓\(C\)的圓心坐標為\((1,-2)\)B.圓\(C\)的半徑為\(3\)C.點\((-1,1)\)在圓\(C\)內D.直線\(2x-y+1=0\)與圓\(C\)相交10.已知\(a,b\inR\)，且\(a+b=4\)，則下列結論正確的是（）A.\(ab\leqslant4\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant1\)C.\(a^{2}+b^{2}\geqslant8\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant2\sqrt{2}\)判斷題（每題2分，共10題）1.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)內無數條直線垂直，則\(l\perp\alpha\)。（）2.若\(a>b\)，則\(a^{3}>b^{3}\)。（）3.函數\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的圖象的對稱軸完全相同。（）4.若\(z=a+bi(a,b\inR)\)，則\(z\)為純虛數的充要條件是\(a=0\)。（）5.命題“若\(x^{2}-3x+2=0\)，則\(x=1\)”的逆否命題為“若\(x\neq1\)，則\(x^{2}-3x+2\neq0\)”。（）6.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(a_{3}+a_{7}=10\)，則\(S_{9}=45\)。（）7.若\(0<a<b<1\)，則\(\log_{a}b<\log_{b}a\)。（）8.函數\(y=\log_{2}(x^{2}+1)\)的值域是\([0,+\infty)\)。（）9.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的離心率\(e\)越大，橢圓越圓。（）10.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(m=-4\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=\sin^{2}x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)的最小正周期及單調遞增區間。答案：先化簡\(y=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)。最小正周期\(T=\pi\)。令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{3},k\inZ\)，即單調遞增區間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}],k\inZ\)。2.已知等差數列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，\(a_{3}=5\)，\(S_{8}=64\)，求\(\{a_{n}\}\)的通項公式。答案：設等差數列\(\{a_{n}\}\)公差為\(d\)，由\(a_{3}=a_{1}+2d=5\)，\(S_{8}=8a_{1}+\frac{8\times7}{2}d=64\)，即\(8a_{1}+28d=64\)。聯立解得\(a_{1}=1\)，\(d=2\)，則\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2n-1\)。3.已知圓\(C\)經過點\(A(2,-1)\)，和直線\(x+y=1\)相切，且圓心在直線\(y=-2x\)上，求圓\(C\)的方程。答案：設圓心坐標為\((a,-2a)\)，則半徑\(r=\frac{\verta-2a-1\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\)。又\(r=\sqrt{(a-2)^{2}+(-2a+1)^{2}}\)，聯立解得\(a=1\)，\(r=\sqrt{2}\)。