銳角三角函數章節總結第二十八章

學習目標1）理解銳角三角函數的定義，掌握特殊銳角(30°，45°，60°的三角函數值，并會進行計算.2）掌握直角三角形邊角之間的關系，會解直角三角形.3）利用解直角三角形的知識解決簡單的實際問題.4）進一步培養學生分析問題和解決問題的能力.銳角三角函數為解直角三角形的基礎，及提供了有效的工具.相似三角形的知識是學習銳角三角函數的直接基礎，勾股定理等內容也是解直角三角形時經常使用的數學結論，因此本章與“勾股定理”和“相似”兩章有著密切關系.基礎鞏固（正弦）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作：sinA.對邊ABCcab斜邊

正弦的表示：1）sinA、sin40°、sinα（省去角的符號）2）sin∠ABC、sin∠1（不能省去角的符號）基礎鞏固（余弦）如圖，在直角三角形中，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，

對邊ABCcab斜邊鄰邊基礎鞏固（正切）對邊ABCcab斜邊鄰邊

如圖，在直角三角形中，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，

基礎鞏固（特殊角的銳角三角函數）30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數30°45°60°sinacosatana1基礎鞏固（特殊角的銳角三角函數）1）α為銳角，對于sinα與tanα，角度越大，函數值越

；對于cosα，角度越大，函數值越

.大小2）互余的兩角之間的三角函數關系：若∠A+∠B=90°，則sinA

cosB，即一個銳角的正弦值等于這個角的余角的余弦值.cosA

sinB，即一個銳角的余弦值等于這個角的余角的正弦值.tanA·tanB=

，即一個銳角的正切值與這個角的余角的正切值互為倒數.==1基礎鞏固（利用計算器求銳角三角函數值）利用計算器求銳角三角函數值的方法：1）當銳角的大小以度為單位時，可先按

，

，

鍵，然后輸入角度值(可以是整數，也可以是小數)，最后按

鍵，就可以在顯示屏上顯示出結果；2）當銳角的大小以度、分、秒為單位時要借助

鍵計算，按鍵順序是：(或

、)、度數、

、分數、

、秒數、

、.sincostan=.,,,sincostan.,,,.,,,.,,,=注意：1）不同的計算器操作步驟可能有所不同.基礎鞏固（解直角三角形）在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：1）直角三角形的五個元素：2）三邊之間的關系：3）兩銳角之間的關系：4）邊角之間的關系：∠A＋∠B＝90°

對邊ABCcab斜邊鄰邊

邊：a、b、c，角：∠A、∠B基礎鞏固（解直角三角形）解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②

③

兩直角邊(如a,b)①②

③

∠B=90°－∠A∠B=90°－∠A基礎鞏固（利用解直角三角形解決實際問題）利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟：1.將實際問題抽象為數學問題.畫出平面圖形，轉化為解直角三角形的問題；2.根據條件的特點，適當選用銳角三角函數等去解直角三角形；3.得到數學問題的答案；4.得到實際問題的答案.基礎鞏固（利用解直角三角形解決實際問題）在視線與水平線所成的角中規定:1)視線在水平線上方的叫做仰角，2)視線在水平線下方的叫做俯角.以正南或正北方向為準，正南或正北方向線與目標方向線構成的小于90°的角，叫做方位角.基礎鞏固（利用解直角三角形解決實際問題）坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距離l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可寫作：i=tan坡角）】熱考題型

題型一（求正弦值）

B

題型二（利用正弦值求解）

3ABC

題型三（求余弦值）

題型四（利用余弦值求解）

ABC84

題型五（求正切值）

題型五（求正切值）2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____.

題型六（利用正切值求解）

題型六（利用正切值求解）

題型七（利用特殊角三角函數值求解）

題型七（利用特殊角三角函數值求解）

題型七（利用特殊角三角函數值求解）

3

題型八（銳角三角函數增減性）

題型九（利用計算器求銳角三角函數值）1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=42°37'，BC=8，若用科學計算器求AC的長，則下列按鍵順序正確的是（

）

題型十（解直角三角形）

題型十（解直角三角形）

題型十一（利用解直角三角形解決實際問題）

【詳解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB?sinα=300sinα米．故選A．2南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁，小芳同學在校外實踐活動中對此開展測量活動．如圖，在橋外一點A測得大橋主架與水面的交匯點C的俯角為α，大橋主架的頂端D的仰角為β，已知測量點與大橋主架的水平距離AB＝a，則此時大橋主架頂端離水面的高CD為___________

題型十一（利用解直角三角形解決實際問題）

題型十一（利用解直角三角形解決實際問題）

直擊中考在中考中，直角三角形在中考常結合勾股定理、面積法在選擇題、填空題考查；銳角三角形函數常在選擇題、填空題考查，并且結合實際問題考查。真題

真題

真題

真題

真題

真題

真題

真題

真題

真題

真題

【詳解】解：如圖，過點C作水平線與AB的延長線交于點D，則AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mc