福州中學(xué)半期考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列各數(shù)中，有理數(shù)是：（）

A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$\frac{1}{3}$D.$0.1010010001\ldots$

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_3+a_5=9$，則$a_2+a_4+a_6$的值為：（）

A.9B.12C.15D.18

3.已知函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$，則$f(2)$的值為：（）

A.1B.3C.5D.7

4.在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，$AD$是$BC$邊上的高，則$\angleADB$的度數(shù)為：（）

A.$45^\circ$B.$60^\circ$C.$90^\circ$D.$120^\circ$

5.已知一元二次方程$x^2-4x+3=0$的兩個根為$x_1$和$x_2$，則$x_1+x_2$的值為：（）

A.1B.2C.3D.4

6.下列函數(shù)中，奇函數(shù)是：（）

A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=|x|$C.$f(x)=\frac{1}{x}$D.$f(x)=x^3$

7.在三角形$ABC$中，$a:b:c=3:4:5$，則$\cosA$的值為：（）

A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$

8.下列各數(shù)中，無理數(shù)是：（）

A.$\sqrt{4}$B.$\sqrt{9}$C.$\sqrt{16}$D.$\sqrt{25}$

9.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1+a_2+a_3=27$，則$a_4$的值為：（）

A.27B.81C.243D.729

10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$x+y=1$的對稱點(diǎn)為$B$，則$B$的坐標(biāo)為：（）

A.$(-3,-2)$B.$(-2,-3)$C.$(3,2)$D.$(2,3)$

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列選項(xiàng)中，屬于函數(shù)定義域的是：（）

A.自然數(shù)集B.整數(shù)集C.有理數(shù)集D.實(shí)數(shù)集

2.下列各對數(shù)函數(shù)中，單調(diào)遞增的是：（）

A.$f(x)=\log_2(2^x+1)$B.$f(x)=\log_3(3^x-1)$C.$f(x)=\log_4(4^x-2)$D.$f(x)=\log_5(5^x+3)$

3.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，下列說法正確的是：（）

A.若$a>0$，則$f(x)$的圖像開口向上B.若$b>0$，則$f(x)$的圖像對稱軸為$x=-\frac{b}{2a}$C.若$c>0$，則$f(x)$的最小值小于0D.若$a+b+c=0$，則$f(x)$的圖像經(jīng)過原點(diǎn)

4.下列選項(xiàng)中，屬于直角坐標(biāo)系中特殊角三角函數(shù)值的是：（）

A.$\sin45^\circ$B.$\cos90^\circ$C.$\tan30^\circ$D.$\cot60^\circ$

5.下列各命題中，正確的是：（）

A.若$a>b$，$c>d$，則$a+c>b+d$B.若$a^2>b^2$，則$a>b$C.若$a^2+b^2=1$，則$\cos^2a+\sin^2a=1$D.若$\sina=\sinb$，則$a=b$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的第三項(xiàng)是5，公差是2，則該數(shù)列的第六項(xiàng)是______。

2.函數(shù)$f(x)=3x^2-4x+1$的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______。

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$到直線$x+y=1$的距離是______。

4.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)是2，公比是$\frac{1}{2}$，則該數(shù)列的前5項(xiàng)和是______。

5.若$\sinA=\frac{1}{2}$，且$A$是銳角，則$\cosA$的值是______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項(xiàng)分別是1，3，5，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式和前10項(xiàng)的和。

2.求解方程組$\begin{cases}2x+3y=8\\4x-5y=2\end{cases}$。

3.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的極值點(diǎn)及極值。

4.在直角坐標(biāo)系中，已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(3,4)，C(5,2)，求三角形ABC的面積。

5.已知數(shù)列$\{a_n\}$的遞推公式為$a_n=2a_{n-1}-3a_{n-2}$，且$a_1=3$，$a_2=7$，求該數(shù)列的前5項(xiàng)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.C（有理數(shù)是可以表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，$\frac{1}{3}$可以表示為$\frac{1}{3}$，是有理數(shù)。）

2.A（等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，所以$a_2+a_4+a_6=a_1+3d+a_1+5d+a_1+7d=3a_1+15d=3(a_1+5d)=3a_3=3\times5=15$。）

3.B（將$x=2$代入函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$中，得$f(2)=2\times2^2-3\times2+1=8-6+1=3$。）

4.C（在等腰三角形中，底角相等，所以$\angleADB=90^\circ$。）

5.B（一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是$x_1+x_2=\frac{-b}{a}$，所以$x_1+x_2=\frac{-(-4)}{1}=4$。）

6.C（奇函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$，$\frac{1}{x}$滿足這個條件。）

7.A（根據(jù)勾股定理，$a^2+b^2=c^2$，所以$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，$\cosA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$。）

8.D（無理數(shù)是不能表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，$\sqrt{25}=5$是有理數(shù)。）

9.B（等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，所以$a_4=a_1q^3=2\times\left(\frac{1}{2}\right)^3=2\times\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$，前5項(xiàng)和為$S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{2(1-\left(\frac{1}{2}\right)^5)}{1-\frac{1}{2}}=2(1-\frac{1}{32})=2\times\frac{31}{32}=\frac{62}{32}=\frac{31}{16}$。）

10.A（點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$x+y=1$的對稱點(diǎn)$B$滿足$A$和$B$的中點(diǎn)在直線上，設(shè)$B$的坐標(biāo)為$(x_B,y_B)$，則中點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{2+x_B}{2},\frac{3+y_B}{2})$，代入直線方程得$\frac{2+x_B}{2}+\frac{3+y_B}{2}=1$，解得$x_B=-3$，$y_B=-2$，所以$B$的坐標(biāo)為$(-3,-2)$。）

二、多項(xiàng)選擇題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.ABCD（自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集都是函數(shù)的定義域。）

2.AD（對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)，底數(shù)大于1時單調(diào)遞增，底數(shù)小于1時單調(diào)遞減。）

3.AD（根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，開口向上時$a>0$，對稱軸為$x=-\frac{b}{2a}$，圖像經(jīng)過原點(diǎn)時$c=0$。）

4.ABCD（特殊角的三角函數(shù)值是常見的知識點(diǎn)，如$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos90^\circ=0$，$\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\cot60^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$。）

5.ABC（根據(jù)不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷這些命題的正確性。）

三、填空題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.11（等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，所以第六項(xiàng)是$1+(6-1)\times2=1+10=11$。）

2.$(\frac{1}{3},-\frac{2}{3})$（一元二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{1}{3},-\frac{2}{3})$。）

3.$\frac{3}{5}$（點(diǎn)到直線的距離公式為$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，所以距離為$\frac{|2+3-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。）

4.$\frac{31}{16}$（等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，所以前5項(xiàng)和為$\frac{2(1-\left(\frac{1}{2}\right)^5)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2(1-\frac{1}{32})}{\frac{1}{2}}=2\times\frac{31}{32}=\frac{62}{32}=\frac{31}{16}$。）

5.$\frac{1}{2}$（根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，$\sinA=\frac{1}{2}$時，$A$是銳角，所以$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\s