PAGE2015年深圳市高三年級第一次調研考試數學(理科)試題選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、已知集合，集合，則＝（）A.B。C。D。Oxy圖11-12、已知復數滿足（其中為虛數單位），則Oxy圖11-1A.B。C。D。3、若函數的部分圖象如圖1所示，則A.B。C.D。4、已知實數滿足不等式組，則的最大值為（）A.3B。4C。6D。9已知直線，平面，且，，則“”是“”的（）充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件圖26、執行如圖2所示的程序框圖，則輸出S的值為（）圖2A.16B。25C。36D。497、在中，分別為所對的邊，若函數有極值點，則的范圍是（）A.B。C。D。8、如果自然數的各位數字之和等于8，我們稱為“吉祥數”。將所有“吉祥數”從小到大排成一列…，若，則（）A.83B。82C。39D。37填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。本大題分為必做題和選做題兩部分必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生必須做答。的展開式中常數項為.（用數字表示）已知向量，，若，則的最小值為已知圓C：經過拋物線E：的焦點，則拋物線E的準線與圓C相交所得弦長為設P是函數圖象上的動點，則點P到直線的距離的最小值為選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算第一題的得分。圖3（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，曲線：與曲線相交于A，B兩點，則｜AB｜＝圖3（幾何證明選講選做題）如圖3，在中，，，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙與AC相切于點E。若BC＝6，則DE的長為三、解答題16、（本小題滿分12分）函數（）的最小正周期是．（1）求的值；（2）若，且，求的值．17、（本小題滿分12分）空氣質量指數（簡稱AQI）是定量描述空氣質量狀況的指數，其數值越大說明空氣污染越嚴重，為了及時了解空氣質量狀況，廣東各城市都設置了實時監測站．下表是某網站公布的2015年深圳市高三年級第一次調研考試數學(理科)答案及評分標準說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．一、選擇題：本大題每小題5分，滿分40分．12345678CDACBCDA二、填空題：本大題每小題5分，滿分30分．9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．．三、解答題16．解：（1）的周期，即，…………1分，由，得，即．……3分．………………5分（2）由得，………………7分又，，……………8分，…………9分．．…………12分【說明】本小題主要考查了三角函數的圖象與性質，同角三角函數的關系式，誘導公式，兩角和與差和二倍角的三角函數公式，考查了簡單的數學運算能力．17、解:（1）根據數據，完成表格如下：空氣質量優質良好輕度污染中度污染AQI值范圍[0,50)[50，100）[100,150)[150,200)城市頻數21261…………………2分（2）按分層抽樣的方法，從“良好”類城市中抽取個，…………………3分從“輕度污染”類城市中抽取個，……………4分所以抽出的“良好”類城市為個，抽出的“輕度污染”類城市為個．根據題意的所有可能取值為：．,，．………8分的分布列為：所以．………………11分答：的數學期望為個．…………………12分【說明】本題主要考察讀圖表、分層抽樣、概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，數據處理能力．Az圖1O(BAz圖1O(B)PyCx由三視圖知和是直角三角形．……3分（2）（法一）：如圖2，過作交于點，由三視圖知為等腰三角形，，，，取的中點，過作且交于點，連接，，EFHAz圖2OEFHAz圖2O(B)PyCx且面，所以，又由，所以面，由面，所以，，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角．………6分，，，，……8分在直角中，有．所以，二面角的正切值為．………9分（法二）：如圖3，過作交于點，由三視圖知為等腰三角形，HAz圖3HAz圖3O(B)PyCx由圖3所示的坐標系，及三視圖中的數據得：，，，，則，，，,設平面、平面的法向量分別為、．設，由，，得，令，得，，即．…6分設，由，，得，令，得，，即．………7分，．…8分而二面角的大小為銳角，所以二面角的正切值為．…9分（法一）：記到面的距離為，由（1）、（2）知，，，………………12分三棱錐的體積，……13分由，可得：．………14分（法二）：由（2）知，平面的法向量，記到面的距離為，．………………14分【說明】本題主要考察空間點、線、面位置關系，三視圖及幾何體的直觀圖，二面角，三棱錐的體積，空間坐標系等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數學問題的能力．19、解：（1）（法一）：數列的首項，公差，，，………2分，……………3分整理得解得或（舍去）．……………4分因此，數列的通項．………5分（法二）：由題意得，…………………1分數列是等差數列，，……………2分，即．………3分又，，解得或（舍去）．…………………4分因此，數列的通項．………5分（2）=1\*GB3①，．…………6分令，則有，．當時，，．………8分因此，數列的通項．………9分=2\*GB3②，，，………10分若數列為等比數列，則有，即，解得或．………11分當時，，不是常數，數列不是等比數列，當時，，，數列為等比數列．所以，存在實數使得數列為等比數列．………………14分【說明】考查了等差數列的基本量的計算、遞推數列的通項公式、數列裂項求和公式、等比數列的定義，考查了學生的運算能力，以及化歸與轉化的思想．20、解：（1）因為橢圓的離心率為，所以，解得，故橢圓的方程可設為，則橢圓的右焦點坐標為，過右焦點傾斜角為的直線方程為．………2分設直線與橢圓的交點記為，由消去，得，解得，因為，解得．故橢圓的方程為．……………………4分（2）（法一）（=1\*romani）當切線的斜率存在且不為時，設的方程為，聯立直線和橢圓的方程，得，……5分消去并整理，得，…………6分因為直線和橢圓有且僅有一個交點，，………7分化簡并整理，得．…………8分因為直線與垂直，所以直線的方程為：，聯立解得………9分，把代入上式得．=1\*GB3①…………………11分（=2\*romanii）當切線的斜率為時，此時，符合=1\*GB3①式．…………12分（=3\*romaniii）當切線的斜率不存在時，此時或，符合=1\*GB3①式．………13分綜上所述，點的軌跡方程為．………14分（法二）：設點的坐標為，（=1\*romani）當切線的斜率存在且不為時，設的方程為，同解法一，得，=1\*GB3①…………8分因為直線與垂直，所以直線的方程為：，聯立解得=2\*GB3②…9分=2\*GB3②代入=1\*GB3①并整理，有，…10分即，由點與點不重合，，，=3\*GB3③……………………11分（=2\*romanii）當切線的斜率為時，此時，符合=3\*GB3③式．…………12分（=3\*romaniii）當切線的斜率不存在時，此時或，符合=3\*GB3③式．………13分綜上所述，點的軌跡方程為．………14分（法三）：設點的坐標為，（=1\*romani）當切線的斜率存在且不為時，設的方程為，整理，得的方程為，5分聯立直線和橢圓的方程，得，消去并整理，得，……6分因為直線和橢圓有且僅有一個交點，，………7分化簡并整理，得，=1\*GB3①………8分因為與直線垂直，有，=2\*GB3②……9分=2\*GB3②代入=1\*GB3①并整理，有，…10分即，點與點不重合，，，=3\*GB3③………………11分（=2\*romanii）當切線的斜率為時，此時，符合=3\*GB3③式．…………12分（=3\*romaniii）當切線的斜率不存在時，此時或，符合=3\*GB3③式．………13分綜上所述，點的軌跡方程為．………14分【說明】本題主要考查軌跡方程和橢圓的定義、直線方程、直線與橢圓相切的位置關系，弦長問題，考查學生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想．21、解：（1）為奇函數，．當時，，則，………2分時，，，，的值域為．…………………3分圖a（2）①函數的圖象如圖所示，當時，方程圖a有三個實根；當或時，方程只有一個實根；當或時，方程有兩個實根．（法一）：由，解得，的值域為，只需研究函數在上的圖象特征．設，，，令，得，．圖b當時，，當時，，圖b又，即，由，，得，的大致圖象如圖所示．根據圖象可知，當時，直線與函數的圖像僅有一個交點，則函數在上僅有一個零點，記零點為，則分別在區間、、上，根據圖像，方程有兩個交點，因此函數有兩個零點．…………5分類似地，當時，函數在上僅有零點，因此函數有、、這三個零點．………………6分當時，函數在上有兩個零點，一個零點是，另一個零點在內，因此函數有三個零點．…………7分當時，函數在上有兩個零點，且這兩個零點均在內，因此函數有四個零點．……………8分當時，函數在上沒有零點，因此函數沒有零點．………9分（法二）：，令，得，，．當時，，當時，，當時，取得極大值．圖c（Ⅰ）當的極大值，即時，函數在區間上無零點，因此函數無零點．圖c（Ⅱ）當的極大值，即時，，函數的圖像如圖所示，函數有零點．由圖可知方程有兩不等的實根，因此函數有兩個零點．圖d（Ⅲ）當的極大值且，圖d即時，在上單調遞增，因為，，函數的圖像如圖所示，函數在存在唯一零點，其中．圖e由圖可知方程有兩不等的實根，因此函數有兩個零點．圖e（Ⅳ）當的極大值且，即時：由，得，由，得，圖f根據法一中的證明有．圖f（ⅰ）當時，，，函數的圖像如圖所示，函數在區間有唯一零點，其中．由圖可知方程有兩不等的實根，因此函數有兩個零點．（ⅱ）當時，，，函數的圖像如圖所示，函數在區間有唯一零點．圖g由圖可知方程有三個不等的實根，因此函數有三個零點．圖g（ⅲ）當時，，，函數的圖像如圖所示，函數在