廣東2024年高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則下列條件中不正確的是：

A.$a>0$

B.$b=0$

C.$c>0$

D.$b^2-4ac=0$

2.在三角形ABC中，$AB=AC=4$，$BC=6$，則三角形ABC的面積是：

A.$6$

B.$8$

C.$10$

D.$12$

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式是：

A.$a_n=2^n-1$

B.$a_n=2^n$

C.$a_n=2^{n-1}-1$

D.$a_n=2^{n-1}$

4.已知復(fù)數(shù)$z=1+i$，則$|z|^2$的值是：

A.2

B.3

C.4

D.5

5.函數(shù)$y=\sinx+\cosx$的周期是：

A.$\pi$

B.$2\pi$

C.$\pi/2$

D.$2\pi/3$

6.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$在$x=1$處取得極值，則下列條件中不正確的是：

A.$f'(1)=0$

B.$f(1)=0$

C.$f'(x)=3x^2-6x+2$

D.$f'(x)$在$x=1$處取得極小值

7.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，$a_1=3$，$a_4=9$，則$d$的值是：

A.2

B.3

C.4

D.6

8.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+1}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式是：

A.$a_n=\sqrt{n^2+1}$

B.$a_n=\sqrt{n}$

C.$a_n=n$

D.$a_n=\sqrt{n^2-1}$

9.若復(fù)數(shù)$z=2+3i$，則$|z|^2$的值是：

A.13

B.14

C.15

D.16

10.函數(shù)$y=\ln(x^2+1)$的導(dǎo)數(shù)是：

A.$\frac{2x}{x^2+1}$

B.$\frac{2}{x^2+1}$

C.$\frac{2x}{x^2-1}$

D.$\frac{2}{x^2-1}$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)的是：

A.$f(x)=x^2-1$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=\sinx$

2.下列數(shù)列中，屬于等差數(shù)列的是：

A.$a_n=2n+1$

B.$a_n=3^n$

C.$a_n=n^2-1$

D.$a_n=2n$

3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=\sqrt{x}$

C.$f(x)=\lnx$

D.$f(x)=e^x$

4.下列數(shù)列中，收斂到有限值的數(shù)列是：

A.$a_n=\frac{1}{n}$

B.$a_n=\frac{n}{n^2+1}$

C.$a_n=\frac{1}{n^2}$

D.$a_n=n$

5.下列命題中，正確的是：

A.如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)必有最大值和最小值。

B.如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可導(dǎo)，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)必有極值。

C.如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞增，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)必有最大值。

D.如果函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞減，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)必有最小值。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)$f(x)=3x^2-4x+1$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________。

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為2，公差為3，則第10項$a_{10}$的值為__________。

3.復(fù)數(shù)$z=4+3i$的模長為__________。

4.函數(shù)$y=\sinx$的周期為__________。

5.若數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為__________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列極限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{\tanx-x}

\]

2.求函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$處的切線方程。

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+2n$，求該數(shù)列的首項$a_1$和公差$d$。

4.解下列方程：

\[

x^3-2x^2-5x+2=0

\]

5.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函數(shù)的間斷點(diǎn)并討論其類型。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.B.$b=0$

知識點(diǎn)：極值條件。函數(shù)在某點(diǎn)取得極值，則該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。

2.C.$10$

知識點(diǎn)：三角形的面積計算。根據(jù)海倫公式，計算三角形面積。

3.A.$a_n=2^n-1$

知識點(diǎn)：遞推公式求通項。通過構(gòu)造遞推公式，找出通項公式。

4.C.$4$

知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模長。復(fù)數(shù)模長是其實(shí)部和虛部平方和的平方根。

5.B.$2\pi$

知識點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的基本周期是$2\pi$。

6.D.$b^2-4ac=0$

知識點(diǎn)：極值條件。二次函數(shù)的極值出現(xiàn)在頂點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足判別式$b^2-4ac=0$。

7.B.3

知識點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)。已知首項和公差，可以求出任何一項。

8.B.$a_n=\sqrt{n}$

知識點(diǎn)：遞推公式求通項。通過構(gòu)造遞推公式，找出通項公式。

9.A.13

知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模長。復(fù)數(shù)模長是其實(shí)部和虛部平方和的平方根。

10.A.$\frac{2x}{x^2+1}$

知識點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t和商法則求導(dǎo)。

二、多項選擇題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.AB

知識點(diǎn)：偶函數(shù)的定義。偶函數(shù)滿足$f(-x)=f(x)$。

2.AD

知識點(diǎn)：等差數(shù)列的定義。等差數(shù)列滿足$a_{n+1}-a_n=d$。

3.BCD

知識點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性。正弦、余弦和指數(shù)函數(shù)在各自定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。

4.ABC

知識點(diǎn)：數(shù)列的收斂性。幾何數(shù)列和等比數(shù)列是收斂的。

5.AD

知識點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，正確選項描述了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)。

三、填空題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.(2,-1)

知識點(diǎn)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式。頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-b/2a,f(-b/2a))$。

2.2

知識點(diǎn)：等差數(shù)列的求和公式。前$n$項和$S_n=n(a_1+a_n)/2$。

3.4,3

知識點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)。通過等差數(shù)列的性質(zhì)，求出首項和公差。

4.$2\pi$

知識點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性。正弦函數(shù)的基本周期是$2\pi$。

5.$a_n=2^{-n}$

知識點(diǎn)：遞推公式求通項。通過遞推公式，找出通項公式。

四、計算題答案及知識點(diǎn)詳解：

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x-3x}{\tanx-x}=9$

知識點(diǎn)：洛必達(dá)法則。當(dāng)極限形式為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$時，可以使用洛必達(dá)法則。

2.$y=4x-8$

知識點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程。切線斜率為函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

3.首項$a_1=2$，公差$d=3$

知識點(diǎn)：等差數(shù)列的求和公式。根據(jù)求和公式，求出首項和公差。

4.解：$x=1,-2,2$

知識點(diǎn)：高次方程的求解。通過因式分解或配方法求解。

5.間斷點(diǎn)：$x=2$，為可去間斷點(diǎn)。

知識點(diǎn)：間斷點(diǎn)