第1頁/共5頁雅禮教育集團2025年上期期末考試高一數學試卷A.2B.1C.-1D.-23.下列四組函數中f(x)與g(x)是同一函數的是()A.B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2A.1B.2C.D.5.牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同.假定保鮮時間y(h)與儲藏溫度x(。C)的關系為y=kerx（k、r為常量）.若牛奶在0。C的冰箱中，保鮮時間約是100h，在5。C的冰箱中，保鮮時間約是80h，那么在10。C中的保鮮時間約是()A49hB.56hC.64hD.76h.6若函數fA.7.已知函數若對于任意x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，則實數a的取值范圍為()第2頁/共5頁A.8.在ΔABC中，若則ΔABC的形狀是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形9.某學校為了調查學生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)內的學生有60人，則下列說法正確的是()A.樣本中支出在[50，60)內的頻率為0.03B.樣本中支出不少于40元的人數為132C.n的值為200D.若該校有2000名學生，則估計有600人支出在[50，60)內10.已知定義在R上的函數f(x)滿足：f(x)是奇函數，f(x+1)是偶函數.則下列選項中說法正確的有A.f(2)=0B.f(x)周期為2C.f(x)的圖象關于直線x=1對稱D.f(x-2)是奇函數11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為棱A1D1上的動點（不包括兩個端點M為線段AP的中點，則下列結論正確的是()第3頁/共5頁A.CM與PN是異面直線C.過P，A，C三點的正方體的截面一定不是等腰梯形D.平面PAN⊥平面BDD1B1則其外接球的表面積為_________．14.已知圓O的半徑為2，弦長，C為圓O上一動點，則AC.BC的最大值為_______.15.某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續120天蘋果的日銷售量（單位：kg并繪制頻率分布直方圖如下：（1）請根據頻率分布直方圖估計該水果店蘋果日銷售量的眾數、中位數和平均數同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）（2）一次進貨太多，水果會變得不新鮮；進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能90%地滿足顧客的需求（在10天中，大約有9天可以滿足顧客的需求）.請問每天應該進多少千克蘋果？第4頁/共5頁（2）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且VABC的面積S=18sinC，求a和b的值．17.《九章算術》中，將四個面均為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，EA丄平面ABCD，FCⅡEA，四邊形ABCD中，ABⅡCD，AB丄AD，AB=AD=AE=（1）證明：四面體BCFD為鱉臑；（2）求點C到平面BDF的距離．18.已知VABC中，AB=2，AC=1，上BAC=120O，點D在邊BC上且滿足C（1）用AB、AC表示AD，并求AD；（2）若點E為邊AB中點，求CE與AD夾角的余弦值.19.如圖，在五棱錐S—ABCDE中，平面SAE丄平面AED，AE丄ED，SE丄AD．四邊形ABCD為矩形，且SE=AB=1，AD=3，BN=2NC．（1）證明：SE丄平面AED；（2）若AE=、/3，求二面角E—SA—D的余弦值；第5頁/共5頁（3）求直線DN與平面SAD所成角的正弦值的最小值．第1頁/共17頁雅禮教育集團2025年上期期末考試高一數學試卷【答案】C【解析】【分析】利用具體函數的定義域的求法求解即可.故選：CA.2B.1C.-1D.-2【答案】B【解析】【分析】先求出平均數和眾數，再求差即可【詳解】解:平均數為眾數為12，差為1．故選：B3.下列四組函數中f(x)與g(x)是同一函數的是()A.B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2【答案】C第2頁/共17頁【解析】【分析】函數的值域可由定義域和對應關系唯一確定；當且僅當定義域和對應關系均相同時才是同一函數，再逐一判斷即可.【詳解】解：對于定義域不同，不是同一函數；對于B，f(x)=2lgx,g(x)=lgx2定義域不同，不是同一函數；對于定義域相同，對應法則也相同，滿足題意；對于定義域不同，不是同一函數，故選：C.【點睛】本題主要考查了判斷兩個函數是否為同一函數，屬于基礎題.A.1B.2D.【答案】D【解析】【分析】先由條件有，求出復數z，再求復數z的模.所以故選：D.5.牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同.假定保鮮時間y(h)與儲藏溫度x(。C)的關系為y=kerx（k、r為常量）.若牛奶在0。C的冰箱中，保鮮時間約是100h，在5。C的冰箱中，保鮮時間約是80h，那么在10。C中的保鮮時間約是()A.49hB.56hC.64hD.76h【答案】C第3頁/共17頁【解析】【分析】由題意，建立方程組，結合指數式的運算性質，利用整體思想，可得答案.【詳解】由題意，可得解得則y=1C6若函數f(x)的值域為(110)，則函數的值域為()A.【答案】C【解析】【分析】令通過換元法將g(x)表示為(t-2)2-3，然后根據二次函數的性質求解出g(x)的值域.令r-,TF.得t∈(03)，f(x)=t2+1，則g(x)=h(t)=t2-4t+1=(t-2)2-3，,所以函數g(x)的值域為[-3,1).故選：C./t)-.若對于任意x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，則實數a的取值范圍為()A.【答案】B【解析】【分析】根據條件將問題轉化為“a>-x2-4x在[1,+∞)上恒成立”，再根據a>(-x2-4x)max求解出a的范圍.【詳解】因為對于任意x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，所以x2+4x+a>0對x∈[1,+∞)恒成立，又因為y=-x2-4x的對稱軸為x=-2，所以y=-x2-4x在[1,+∞)上單調遞減，第4頁/共17頁故選：B.【點睛】方法點睛：一元二次不等式在指定區間上恒成立求解參數范圍問題的處理方法：（1）分類討論法：根據參數的臨界值作分類討論；（2）分離參數法：將自變量和參數分離開來，自變量部分構造新函數，分析新函數的最值與參數的大小關系.8.在ΔABC中，若則ΔABC的形狀是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】 “B,C均為ΔABC的內角，:2C=2B或2C=形或直角三角形，故選D.9.某學校為了調查學生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)內的學生有60人，則下列說法正確的是()A.樣本中支出在[50，60)內的頻率為0.03B.樣本中支出不少于40元的人數為132C.n的值為200D.若該校有2000名學生，則估計有600人支出在[50，60)內第5頁/共17頁【答案】BCD【解析】【分析】根據頻率之和為1即可求解A，進而根據選項即可逐一求解.【詳解】樣本中支出在[50，60)內的頻率為1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，所以A錯誤；樣本容量為支出在[40，50)內的人數為200×0.036×10=72，支出不少于40元的人數為72+60=132，所以B，C正確；若該校有2000名學生，則估計有2000×0.3=600人支出在[50，60)內，故D正確．故選：BCD.10.已知定義在R上的函數f(x)滿足：f(x)是奇函數，f(x+1)是偶函數.則下列選項中說法正確的有A.f(2)=0B.f(x)周期為2C.f(x)的圖象關于直線x=1對稱D.f(x-2)是奇函數【答案】ACD【解析】【分析】由已知條件可得f(x)關于(0,0)和直線x=1對稱，從而f(x)的周期T=4，f(2)=f(0)=0，進而可判ABC，對于D，由于f(x)關于(0,0)和直線x=1對稱，可得f(x)關于(2,0)對稱，再結合周期可得結論【詳解】由f(x)是奇函數，f(x+1)是偶函數，可得f(x)關于(0,0)和直線x=1對稱，從而f(x)的周期T=4，所以選項B錯誤，選項C正確；對選項A：由對稱性及奇函數的性質可知f(2)=f(0)=0,A正確；對選項D：有已知f(x)關于(0,0)和直線x=1對稱，從而f(x)關于(2,0)對稱，又因為f(x)的周期T=4，可得f(x)關于(-2,0)對稱，所以f(x-2)是奇函數，D正確，故選：ACD.11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為棱A1D1上的動點（不包括兩個端點M為線段AP的中點，則下列結論正確的是()第6頁/共17頁A.CM與PN是異面直線------→C.過P，A，C三點的正方體的截面一定不是等腰梯形D.平面PAN⊥平面BDD1B1【答案】BD【解析】【分析】連接PC，因為點M∈PA，PAC平面PAC可得CMC平面PAC，因為點N∈AC，AC平面PAC可得PNC平面PAC可判斷A；以D為原點，DA、DC、DD1所在的直線分別為x、y、z的正方向建立空間直角坐標系，2配方后可判斷B；取C1D1的中點E，可得四邊形PECA是梯形，由AP2=A1P2+AA=C1E2+CC=CE2，可判斷C；由線面垂直的判斷定理可得DD1丄底面ABCD，再由面面垂直的判斷定理可判斷D.【詳解】如上圖，連接PC，因為點M∈PA，PA平面PAC，所以M點在平面PAC，即CM平面PAC，因為點N∈AC，AC平面PAC，所以N點在平面PAC，即PN平面PAC，即PN、CM不是異面直線，故A錯誤；第7頁/共17頁如上圖，以D為原點，DA、DC、DD1所在的直線分別為x、y、z的正方向建立空間直角坐標系，所以即PN>CM，故B正確；如上圖，取C1D1的中點E，連接CE、PE，則PE//AC所以四邊形PECA是梯形，所以此時四邊形PECA是等腰梯形，故C錯誤；第8頁/共17頁如上圖，因為底面ABCD是正方形，所以AC丄BD，因為DD1丄底面ABCD，所以DD1丄AC，因為DD1IBD=D，所以AC丄平面DD1B1B，且AC平面PAC，所以平面PAC平面DD1B1B，即平面PAN丄平面DD1B1B，故D正確.故選：BD.【答案】【解析】【分析】根據條件，得到z=2i，再利用模長的計算公式，即可求解.故答案為：.則其外接球的表面積為_________．【答案】3π【解析】【分析】根據勾股定理和它的逆定理，結合球的表面積公式進行求解即可.【詳解】如圖取AD中點E，底面中心為O1，外接球的球心為O，則OO1丄底面ABCD，由因為PA=PD=AB=1,PB=PC-BC=五,所以PA2+AB2=PB2，PD2+DC2=PC2，PD2+PA2=AD2第9頁/共17頁即AB丄PA，CD丄PD，PA丄PD，因此有設球的半徑為R，OO1=d．在直角梯形PEO1O中在直角OO1C中故答案為：3π------14.已知圓O的半徑為2，弦長AB=2·,C為圓O上一動點，則AC.BC的最大值為_______.【答案】6【解析】-【分析】取AB的中點D，連接CD，OD，計算AC.BC=DC-3，求出OD，得出CD的最大值，即------可得出AC.BC的最大值．【詳解】取AB的中點D，連接CD，OD，OA，如圖所示：第10頁/共17頁因為D為AB中點，所以2222故答案為：6．15.某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續120天蘋果的日銷售量（單位：kg并繪制頻率分布直方圖如下：（1）請根據頻率分布直方圖估計該水果店蘋果日銷售量的眾數、中位數和平均數同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）（2）一次進貨太多，水果會變得不新鮮；進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能90%地滿足顧客的需求（在10天中，大約有9天可以滿足顧客的需求）.請問每天應該進多少千克蘋果？【答案】（1）眾數為85，中位數89.375，平均數89.752）102.5千克.【解析】【分析】（1）根據圖中最高矩形可求眾數，利用頻率是0.5可求中位數，利用區間中點的值和頻率可求平均數；（2）先確定進貨量的范圍[100,110)，結合能90%地滿足顧客的需求，可求結果.第11頁/共17頁【詳解】（1）如圖示：區間[80，90)頻率最大，所以眾數為85，.平均數為：x=(65×0.0025+75×0.01+85×0.04+95×0.035+105×0.01+115×0.0025)×10故所求的量位于[100,110).由0.9-0.025-0.1-0.4-0.35=0.025,得故每天應該進102.5千克蘋果16.在VABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，（2）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且VABC的面積S=18sinC，求a和b的值．【答案】（1）-【解析】【分析】（1）求出c=7，利用余弦定理即可求解；求出ab=36，從而求出a和b的值.【小問1詳解】由余弦定理得【小問2詳解】由半角公式得即sinA+sinB+sinAcosB+sinBcosA=4sinC，第12頁/共17頁VABC的面積s-absinc-18sinc,故ab=36，17.《九章算術》中，將四個面均為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，EA丄平面ABCD，FCⅡEA，四邊形ABCD中，ABⅡCD，AB丄AD，AB=AD=AE=（1）證明：四面體BCFD為鱉臑；（2）求點C到平面BDF的距離．【答案】（1）證明過程見解析【解析】【分析】（1）由余弦定理和勾股定理及逆定理得到BD⊥BC，△BCD為直角三角形，由題目條件得到BD⊥平面BCF，BD⊥BF，VBDF為直角三角形，結合CDF,BCF為直角三角形，得到結論；（2）由等體積法進行求解，得到點C到平面BDF的距離.【小問1詳解】四邊形ABCD中，ABⅡCD，AB丄AD由勾股定理得且上在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BD.CDcos上故BD2+BC2=CD2，由勾股定理逆定理得BD⊥BC，△BCD為直角三角形.因為EA丄平面ABCD，FCⅡEA，故FC丄平面ABCD，第13頁/共17頁因為BD平面ABCD，所以FC丄BD，又因為BC∩FC=C，BC,FCC平面BCF，所以BD⊥平面BCF，又因為BF平面BCF，所以BD⊥BF，故VBDF為直角三角形.因為FC丄平面ABCD，BC,CDC平面ABCD，所以FC丄BC，FC丄CD，所以CDF,BCF為直角三角形.綜上，四面體BCFD為鱉臑；【小問2詳解】因為FC丄平面ABCD，且CF=4，所以由（1）知BD⊥BF，在RtBCF中，由勾股定理得所以設點C到平面BDF的距離為d，其中所以點C到平面BDF的距離為.18.已知VABC中，AB=2，AC=1，上BAC=120O，點D在邊BC上且滿足C------（1）用AB、AC表示AD，并求AD（2）若點E為邊AB中點，求CE→與A---夾角的余弦值.【解析】第14頁/共17頁【分析】（1）根據向量的線性運算即可求解，（2）由向量的線性運算表示向量，由數量積，利用夾角公式即可求解.【小問1詳解】所以,【小問2詳解】2,又19.如圖，在五棱錐S—ABCDE中，平面SAE丄平面AED，AE丄ED，SE丄AD．