2025-2026學年天津市河北區九年級（上）期末數學模擬試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．已知反比例函數y=的圖象經過點（2，3），那么下列四個點中，也在這個函數圖象上的是（）A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）2．如圖，△ABO縮小后變為△A′B′O，其中A、B的對應點分別為A′、B′點A、B、A′、B′均在圖中在格點上．若線段AB上有一點P（m，n），則點P在A′B′上的對應點P′的坐標為（）A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（）3．元旦游園晚會上，有一個闖關活動：將20個大小重量完全要樣的乒乓球放入一個袋中，其中8個白色的，5個黃色的，5個綠色的，2個紅色的．如果任意摸出一個乒乓球是紅色，就可以過關，那么一次過關的概率為（）A． B． C． D．4．下列各組圖形相似的是（）A． B． C． D．5．下列關系中，兩個量之間為反比例函數關系的是（）A．正方形的面積S與邊長a的關系B．正方形的周長L與邊長a的關系C．長方形的長為a，寬為20，其面積S與a的關系D．長方形的面積為40，長為a，寬為b，a與b的關系6．在相同時刻，物高與影長成正比．如果高為1.5米的標桿影長為2.5米，那么影長為A．20米 B．18米 C．16米 7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以點B為圓心，BC的長為半徑作弧，交AB于點D，若點D為AB的中點，則陰影部分的面積是（）A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π8．在一個不透明的袋中裝著3個紅球和1個黃球，它們只有顏色上的區別，隨機從袋中摸出2個小球，兩球恰好是一個黃球和一個紅球的概率為（）A． B． C． D．9．點P是△ABC中AB邊上的一點，過點P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條10．如圖，將邊長為10的正三角形OAB放置于平面直角坐標系xOy中，C是AB邊上的動點（不與端點A，B重合），作CD⊥OB于點D，若點C，D都在雙曲線y=上（k＞0，x＞0），則k的值為（）A．25 B．18 C．9 D．9二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．把一個長、寬、高分別為3cm，2cm，1cm的長方體銅塊鑄成一個圓柱體銅塊，則該圓柱體銅塊的底面積s（cm2）與高h（cm12．如圖，在平面直角坐標系中，點A是函數y=（k＜0，x＜0）圖象上的點，過點A與y軸垂直的直線交y軸于點B，點C、D在x軸上，且BC∥AD．若四邊形ABCD的面積為3，則k值為．13．有一枚材質均勻的正方體骰子，它的六個面上分別有1點、2點、…6點的標記，擲一次骰子，向上的一面出現的點數是3的倍數的概率是．14．口袋中裝有二黃三藍共5個小球，它們大小、形狀等完全一樣，每次同時摸出兩個小球，恰為一黃一藍的概率是．15．如圖，上體育課，甲、乙兩名同學分別站在C、D的位置時，乙的影子恰好在甲的影子里邊，已知甲，乙同學相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，則甲的影長是米．16．如圖，若以平行四邊形一邊AB為直徑的圓恰好與對邊CD相切于點D，則∠C=度．17．如圖，在4×4正方形網格中，黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形，現在任選取一個白色的小正方形并涂黑，使圖中黑色部分的圖形仍然構成一個軸對稱圖形的概率是．18．如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上一點，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是．三、解答題（本大題共6小題，共36分）19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y=與直線y=﹣2x+2交于點A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求該雙曲線與直線y=﹣2x+2另一個交點B的坐標．20．如圖，一位同學想利用樹影測量樹高（AB），他在某一時刻測得高為1m的竹竿影長為0.9m，但當他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上（CD），他先測得留在墻上的影高（CD）為1.2m，又測得地面部分的影長（BC21．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，過點A，D兩點的⊙O與BC邊相切于點E，求⊙O的半徑．22．一個盒子里有標號分別為1，2，3，4，5，6的六個小球，這些小球除標號數字外都相同．（1）從盒中隨機摸出一個小球，求摸到標號數字為奇數的小球的概率；（2）甲、乙兩人用這六個小球玩摸球游戲，規則是：甲從盒中隨機摸出一個小球，記下標號數字后放回盒里，充分搖勻后，乙再從盒中隨機摸出一個小球，并記下標號數字．若兩次摸到小球的標號數字同為奇數或同為偶數，則判甲贏；若兩次摸到小球的標號數字為一奇一偶，則判乙贏．請用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲對甲、乙兩人是否公平．23．如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線，E是AC的中點，過E作MN交AD于M，交BC于N．（1）求證：AM=CN；（2）若∠CEN=90°，EN：AB=2：3，EC=3，求BC的長．24．如圖1，反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點A（2，1），射線AB與反比例函數圖象交于另一點B（1，a），射線AC與y軸交于點C，∠BAC=75°，AD⊥y軸，垂足為D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直線AC的解析式；（3）如圖2，M是線段AC上方反比例函數圖象上一動點，過M作直線l⊥x軸，與AC相交于點N，連接CM，求△CMN面積的最大值．

2025-2026學年天津市河北區九年級（上）期末數學模擬試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．已知反比例函數y=的圖象經過點（2，3），那么下列四個點中，也在這個函數圖象上的是（）A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征．【分析】先根據點（2，3），在反比例函數y=的圖象上求出k的值，再根據k=xy的特點對各選項進行逐一判斷．【解答】解：∵反比例函數y=的圖象經過點（2，3），∴k=2×3=6，A、∵（﹣6）×1=﹣6≠6，∴此點不在反比例函數圖象上；B、∵1×6=6，∴此點在反比例函數圖象上；C、∵2×（﹣3）=﹣6≠6，∴此點不在反比例函數圖象上；D、∵3×（﹣2）=﹣6≠6，∴此點不在反比例函數圖象上．故選：B．2．如圖，△ABO縮小后變為△A′B′O，其中A、B的對應點分別為A′、B′點A、B、A′、B′均在圖中在格點上．若線段AB上有一點P（m，n），則點P在A′B′上的對應點P′的坐標為（）A．（，n） B．（m，n） C．（m，） D．（）【考點】位似變換；坐標與圖形性質．【分析】根據A，B兩點坐標以及對應點A′，B′點的坐標得出坐標變化規律，進而得出P′的坐標．【解答】解：∵△ABO縮小后變為△A′B′O，其中A、B的對應點分別為A′、B′點A、B、A′、B′均在圖中在格點上，即A點坐標為：（4，6），B點坐標為：（6，2），A′點坐標為：（2，3），B′點坐標為：（3，1），∴線段AB上有一點P（m，n），則點P在A′B′上的對應點P′的坐標為：（）．故選D．3．元旦游園晚會上，有一個闖關活動：將20個大小重量完全要樣的乒乓球放入一個袋中，其中8個白色的，5個黃色的，5個綠色的，2個紅色的．如果任意摸出一個乒乓球是紅色，就可以過關，那么一次過關的概率為（）A． B． C． D．【考點】概率公式．【分析】讓紅球的個數除以球的總個數即為所求的概率．【解答】解：全部20個球，只有2個紅球，所以任意摸出一個乒乓球是紅色的概率是=．故選D．4．下列各組圖形相似的是（）A． B． C． D．【考點】相似圖形．【分析】根據相似圖形的定義，結合圖形，以選項一一分析，排除錯誤答案．【解答】解：A、形狀不同，大小不同，不符合相似定義，故錯誤；B、形狀相同，但大小不同，符合相似定義，故正確；C、形狀不同，不符合相似定義，故錯誤；D、形狀不同，不符合相似定義，故錯誤．故選B．5．下列關系中，兩個量之間為反比例函數關系的是（）A．正方形的面積S與邊長a的關系B．正方形的周長L與邊長a的關系C．長方形的長為a，寬為20，其面積S與a的關系D．長方形的面積為40，長為a，寬為b，a與b的關系【考點】反比例函數的定義．【分析】根據每一個選項的題意，列出方程，然后由反比例函數的定義進行一一驗證即可．【解答】解：A、根據題意，得S=a2，所以正方形的面積S與邊長a的關系是二次函數關系；故本選項錯誤；B、根據題意，得l=4a，所以正方形的周長l與邊長aC、根據題意，得S=20a，所以正方形的面積S與邊長aD、根據題意，得b=，所以正方形的面積S與邊長a的關系是反比例函數關系；故本選項正確．故選D．6．在相同時刻，物高與影長成正比．如果高為1.5米的標桿影長為2.5米，那么影長為30米的旗桿的高為（）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【考點】相似三角形的應用．【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似．【解答】根據題意解：=，即，∴旗桿的高==18米．故選：B．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以點B為圓心，BC的長為半徑作弧，交AB于點D，若點D為AB的中點，則陰影部分的面積是（）A．2﹣π B．4﹣π C．2﹣π D．π【考點】扇形面積的計算．【分析】根據點D為AB的中點可知BC=BD=AB，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由銳角三角函數的定義求出BC的長，根據S陰影=S△ABC﹣S扇形CBD即可得出結論．【解答】解：∵D為AB的中點，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2，∴BC=AC?tan30°=2?=2，∴S陰影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．故選A．8．在一個不透明的袋中裝著3個紅球和1個黃球，它們只有顏色上的區別，隨機從袋中摸出2個小球，兩球恰好是一個黃球和一個紅球的概率為（）A． B． C． D．【考點】列表法與樹狀圖法．【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩球恰好是一個黃球和一個紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，兩球恰好是一個黃球和一個紅球的有6種情況，∴兩球恰好是一個黃球和一個紅球的為：=．故選A．9．點P是△ABC中AB邊上的一點，過點P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【考點】相似三角形的判定．【分析】根據已知及相似三角形的判定作輔助線即可求得這樣的直線有幾條．【解答】解：（1）作∠APD=∠C∵∠A=∠A∴△APD∽△ABC（2）作PE∥BC∴△APE∽△ABC（3）作∠BPF=∠C∵∠B=∠B∴△FBP∽△ABC（4）作PG∥AC∴△PBG∽△ABC所以共4條故選C．10．如圖，將邊長為10的正三角形OAB放置于平面直角坐標系xOy中，C是AB邊上的動點（不與端點A，B重合），作CD⊥OB于點D，若點C，D都在雙曲線y=上（k＞0，x＞0），則k的值為（）A．25 B．18 C．9 D．9【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征；平行線的性質；等邊三角形的性質．【分析】過點A作AE⊥OB于點E，根據正三角形的性質以及三角形的邊長可找出點A、B、E的坐標，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出，令該比例=n，根據比例關系找出點D、C的坐標，利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出關于k、n的二元一次方程組，解方程組即可得出結論．【解答】解：過點A作AE⊥OB于點E，如圖所示．∵△OAB為邊長為10的正三角形，∴點A的坐標為（10，0）、點B的坐標為（5，5），點E的坐標為（，）．∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴．設=n（0＜n＜1），∴點D的坐標為（，），點C的坐標為（5+5n，5﹣5n）．∵點C、D均在反比例函數y=圖象上，∴，解得：．故選C．方法2：過C點作CE∥OA交OB于E，過E點作EF⊥OA于F，過D點作DG⊥EC于G，設OF=a，則EC=10﹣2a∴C（10﹣a，a），DC=EC=（10﹣2a）=（5﹣a），∴DG=DC=（5﹣a），EG==（5﹣a），∴D（+a，+a），∵C，D都在雙曲線上，∴（+a）（+a）=（10﹣a）×a解得a=1或5，當a=5時，C點和E點重合，舍去．∴k=（10﹣a）×a=9．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．把一個長、寬、高分別為3cm，2cm，1cm的長方體銅塊鑄成一個圓柱體銅塊，則該圓柱體銅塊的底面積s（cm2）與高h（cm）之間的函數關系式為s=【考點】根據實際問題列反比例函數關系式．【分析】利用長方體的體積=圓柱體的體積，進而得出等式求出即可．【解答】解：由題意可得：sh=3×2×1，則s=．故答案為：s=．12．如圖，在平面直角坐標系中，點A是函數y=（k＜0，x＜0）圖象上的點，過點A與y軸垂直的直線交y軸于點B，點C、D在x軸上，且BC∥AD．若四邊形ABCD的面積為3，則k值為﹣3．【考點】反比例函數系數k的幾何意義．【分析】根據已知條件得到四邊形ABCD是平行四邊形，于是得到四邊形AEOB的面積=AB?OE，由于S平行四邊形ABCD=AB?CD=3，得到四邊形AEOB的面積=3，即可得到結論．【解答】解：∵AB⊥y軸，∴AB∥CD，∵BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形AEOB的面積=AB?OE，∵S平行四邊形ABCD=AB?CD=3，∴四邊形AEOB的面積=3，∴|k|=3，∵＜0，∴k=﹣3，故答案為：﹣3．13．有一枚材質均勻的正方體骰子，它的六個面上分別有1點、2點、…6點的標記，擲一次骰子，向上的一面出現的點數是3的倍數的概率是．【考點】概率公式．【分析】共有6種等可能的結果數，其中點數是3的倍數有3和6，從而利用概率公式可求出向上的一面出現的點數是3的倍數的概率．【解答】解：擲一次骰子，向上的一面出現的點數是3的倍數的概率==．故答案為．14．口袋中裝有二黃三藍共5個小球，它們大小、形狀等完全一樣，每次同時摸出兩個小球，恰為一黃一藍的概率是．【考點】列表法與樹狀圖法．【分析】根據題意分析可得：從5個球中隨機一次摸出2個共5×4÷2=10種情況，其中有6種情況可使摸出兩個球恰好一黃一藍；故其概率是=．【解答】解：∵從5個球中隨機一次摸出2個共5×4÷2=10種情況，其中有6種情況可使摸出兩個球恰好一紅一黑；∴P（一黃一藍）==．故答案為：．15．如圖，上體育課，甲、乙兩名同學分別站在C、D的位置時，乙的影子恰好在甲的影子里邊，已知甲，乙同學相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，則甲的影長是6米．【考點】相似三角形的應用．【分析】根據甲的身高與影長構成的三角形與乙的身高和影長構成的三角形相似，列出比例式解答．【解答】解：設甲的影長是x米，∵BC⊥AC，ED⊥AC，∴△ADE∽△ACB，∴=，∵CD=1m，BC=1.8m，DE=∴=，解得：x=6．所以甲的影長是6米．16．如圖，若以平行四邊形一邊AB為直徑的圓恰好與對邊CD相切于點D，則∠C=45度．【考點】切線的性質；平行四邊形的性質．【分析】連接OD，只要證明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°，再根據平行四邊形的對角相等即可解決問題．【解答】解；連接OD．∵CD是⊙O切線，∴OD⊥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案為45．17．如圖，在4×4正方形網格中，黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形，現在任選取一個白色的小正方形并涂黑，使圖中黑色部分的圖形仍然構成一個軸對稱圖形的概率是．【考點】利用軸對稱設計圖案；概率公式．【分析】由在4×4正方形網格中，任選取一個白色的小正方形并涂黑，共有13種等可能的結果，使圖中黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形的有5種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：如圖，∵根據軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，白色的小正方形有13個，而能構成一個軸對稱圖形的有5個情況，∴使圖中黑色部誒的圖形仍然構成一個軸對稱圖形的概率是：．故答案為：．18．如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上一點，且BE：EC=2：1，AE與BD交于點F，則△AFD與四邊形DEFC的面積之比是9：11．【考點】正方形的性質；相似三角形的判定與性質．【分析】根據題意，先設CE=x，S△BEF=a，再求出S△ADF的表達式，利用四部分的面積和等于正方形的面積，得到x與a的關系，那么兩部分的面積比就可以求出來．【解答】解：設CE=x，S△BEF=a，∵CE=x，BE：CE=2：1，∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，又∵∠BFE=∠DFA；∴△EBF∽△ADF∴S△BEF：S△ADF===，那么S△ADF=a．∵S△BCD﹣S△BEF=S四邊形EFDC=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，∴x2﹣a=9x2﹣×3x?2x﹣，化簡可求出x2=；∴S△AFD：S四邊形DEFC=：=：=9：11，故答案為9：11．三、解答題（本大題共6小題，共36分）19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y=與直線y=﹣2x+2交于點A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求該雙曲線與直線y=﹣2x+2另一個交點B的坐標．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【分析】（1）將A坐標代入一次函數解析式中即可求得a的值，將A（﹣1，4）坐標代入反比例解析式中即可求得m的值；（2）解方程組，即可解答．【解答】解：（1）∵點A的坐標是（﹣1，a），在直線y=﹣2x+2上，∴a=﹣2×（﹣1）+2=4，∴點A的坐標是（﹣1，4），代入反比例函數y=，∴m=﹣4．（2）解方程組解得：或，∴該雙曲線與直線y=﹣2x+2另一個交點B的坐標為（2，﹣2）．20．如圖，一位同學想利用樹影測量樹高（AB），他在某一時刻測得高為1m的竹竿影長為0.9m，但當他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上（CD），他先測得留在墻上的影高（CD）為1.2m，又測得地面部分的影長（BC【考點】相似三角形的應用．【分析】先求出墻上的影高CD落在地面上時的長度，再設樹高為h，根據同一時刻物高與影長成正比列出關系式求出h的值即可．【解答】解：設墻上的影高CD落在地面上時的長度為xm，樹高為hm，∵某一時刻測得長為1m的竹竿影長為0.9m，墻上的影高CD為∴=，解得x=1.08（m），∴樹的影長為：1.08+2.7=3.78（m），∴=，解得h=4.2（m）．答：測得的樹高為4.2米．21．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，過點A，D兩點的⊙O與BC邊相切于點E，求⊙O的半徑．【考點】切線的性質；垂徑定理．【分析】首先連接OE，并反向延長交AD于點F，連接OA，由在矩形ABCD中，過A，D兩點的⊙O與BC邊相切于點E，易得四邊形CDFE是矩形，由垂徑定理可求得AF的長，然后設⊙O的半徑為x，則OE=EF﹣OE=8﹣x，利用勾股定理即可得：（8﹣x）2+36=x2，繼而求得答案．【解答】解：連接OE，并反向延長交AD于點F，連接OA，∵BC是切線，∴OE⊥BC，∴∠OEC=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四邊形CDFE是矩形，∴EF=CD=AB=8，OF⊥AD，∴AF=AD=×12=6，設⊙O的半徑為x，則OE=EF﹣OE=8﹣x，在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2，則（8﹣x）2+36=x2，解得：x=6.25，∴⊙O的半徑為：6.25．22．一個盒子里有標號分別為1，2，3，4，5，6的六個小球，這些小球除標號數字外都相同．（1）從盒中隨機摸出一個小球，求摸到標號數字為奇數的小球的概率；（2）甲、乙兩人用這六個小球玩摸球游戲，規則是：甲從盒中隨機摸出一個小球，記下標號數字后放回盒里，充分搖勻后，乙再從盒中隨機摸出一個小球，并記下標號數字．若兩次摸到小球的標號數字同為奇數或同為偶數，則判甲贏；若兩次摸到小球的標號數字為一奇一偶，則判乙贏．請用列表法或畫樹狀圖的方法說明這個游戲對甲、乙兩人是否公平．【考點】游戲公平性；列表法與樹狀圖法．【分析】（1）直接利用概率公式進而得出答案；（2）畫出樹狀圖，得出所有等可能的情況數，找出兩次摸到小球的標號數字同為奇數或同為偶數的情況數，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）∵1，2，3，4，5，6六個小球，∴摸到標號數字為奇數的小球的概率為：=；（2）畫樹狀圖：如圖所示，共有36種等可能的情況，兩次摸到小球的標號數字同為奇數或同為偶數的有18種，摸到小球的標號數字為一奇一偶的結果有18種，∴P（甲）==，P（乙）==，∴這個游戲對甲、乙兩人是公平的．23．如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線，E是AC的中點，過E作MN交AD于M，交BC于N．（1）求證：AM=CN；（2）若∠CEN=90°，EN：AB=2：3，EC=3，求BC的長．【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質．【分析】（1）證明△AME≌△CNE，即可得出結論；（2）證明△CEN∽△CBA，得出對應邊成比例．即可求出BC的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，B=90°，∴∠MAE=∠NCE，∠AME=∠CNE，∵E是AC的中點，∴AE=CE，在△AME和△CNE中，，∴△AME≌△CNE（AAS），∴AM=CN；（2）解：∵∠CEN=∠B=90°，∠ECN=∠BCA，∴△CEN∽△CBA，∴=，即，解得：BC=4.5．24．如圖1，反