凸函數的判斷題目和答案1.判斷函數\(f(x)=x^2\)是否為凸函數，并給出理由。答案：函數\(f(x)=x^2\)是一個凸函數。理由如下：-凸函數的定義是：對于函數\(f\)的定義域內的任意兩點\(x_1\)和\(x_2\)以及任意\(\lambda\in[0,1]\)，都有\(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)。-對于函數\(f(x)=x^2\)，我們可以計算\(f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\)：\[f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)=(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)^2=\lambda^2x_1^2+2\lambda(1-\lambda)x_1x_2+(1-\lambda)^2x_2^2\]-同時計算\(\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\)：\[\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)=\lambdax_1^2+(1-\lambda)x_2^2\]-比較兩者，我們可以看到：\[f(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)=\lambda^2x_1^2+2\lambda(1-\lambda)x_1x_2+(1-\lambda)^2x_2^2\leq\lambdax_1^2+(1-\lambda)x_2^2=\lambdaf(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\]因為\(2\lambda(1-\lambda)x_1x_2\leq0\)對于所有的\(\lambda\in[0,1]\)和任意的\(x_1,x_2\)都成立，所以\(f(x)=x^2\)滿足凸函數的定義。2.判斷函數\(g(x)=-x^2\)是否為凸函數，并給出理由。答案：函數\(g(x)=-x^2\)不是凸函數，實際上是凹函數。理由如下：-根據凸函數的定義，我們需要檢查\(g(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\)是否小于等于\(\lambdag(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)\)。-對于函數\(g(x)=-x^2\)，我們可以計算\(g(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)\)：\[g(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)=-(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)^2=-(\lambda^2x_1^2+2\lambda(1-\lambda)x_1x_2+(1-\lambda)^2x_2^2)\]-同時計算\(\lambdag(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)\)：\[\lambdag(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)=-\lambdax_1^2-(1-\lambda)x_2^2\]-比較兩者，我們可以看到：\[g(\lambdax_1+(1-\lambda)x_2)=-(\lambda^2x_1^2+2\lambda(1-\lambda)x_1x_2+(1-\lambda)^2x_2^2)\geq-\lambdax_1^2-(1-\lambda)x_2^2=\lambdag(x_1)+(1-\lambda)g(x_2)\]因為\(-2\lambda(1-\lambda)x_1x_2\geq0\)對于所有的\(\lambda\in[0,1]\)和任意的\(x_1,x_2\)都成立，所以\(g(x)=-x^2\)滿足凹函數的定義，而不是凸函數。3.判斷函數\(h(x)=e^x\)是否為凸函數，并給出理由。答案：函數\(h(x)=e^x\)是一個凸函數。理由如下：-凸函數的二階導數測試表明，如果一個函數的二階導數在其定義域內非負，則該函數是凸函數。-對于函數\(h(x)=e^x\)，其一階導數為\(h'(x)=e^x\)，二階導數為\(h''(x)=e^x\)。-由于\(e^x>0\)對于所有的\(x\)都成立，所以\(h''(x)\)非負，因此\(h(x)=e^x\)是凸函數。4.判斷函數\(k(x)=\ln(x)\)在其定義域內是否為凸函數，并給出理由。答案：函數\(k(x)=\ln(x)\)在其定義域\((0,+\infty)\)內不是凸函數，實際上是凹函數。理由如下：-同樣使用二階導數測試，對于函數\(k(x)=\ln(x)\)，其一階導數為\(k'(x)=\frac{1}{x}\)，二階導數為\(k''(x)=-\frac{1}{x^2}\)。-由于\(-\frac{1}{x^2}<0\)對于所有的\(x>0\)都成立，所以\(k''(x)\)為負，因此\(k(x)=\ln(x)\)是凹函數。5.判斷函數\(m(x)=x^4-4x^2+4\)是否為凸函數，并給出理由。答案：函數\(m(x)=x^4-4x^2+4\)是一個凸函數。理由如下：-首先，我們可以將\(m(x)\)重寫為\(m(x)=(x^2-2)^2\)，這是一個平方項，顯然非負。-由于\(m(x)\)可以表示為一個非負函數的平方，它在其整個定義域內都是非負的，因此\(m(x)\)是凸函數。6.判斷函數\(n(x)=\frac{1}{x}\)在其定義域內是否為凸函數，并給出理由。答案：函數\(n(x)=\frac{1}{x}\)在其定義域\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)內不是凸函數，實際上是凹函數。理由如下：-對于函數\(n(x)=\frac{1}{x}\)，其一階導數為\(n'(x)=-\frac{1}{x^2}\)，二階導數為\(n''(x)=\frac{2}{x^3}