電大大專高等數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數(shù)中，在x=0處連續(xù)的是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=x^4

2.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.f'(a)=0

B.f'(a)=lim(x→a)[f(x)-f(a)]/(x-a)

C.f'(a)=lim(x→a)[f(a)-f(x)]/(x-a)

D.f'(a)=lim(x→a)[f(x)-f(a)]/[a-x]

3.下列極限中，當(dāng)x→0時(shí)，極限值為0的是（）

A.lim(x→0)(sinx)/x

B.lim(x→0)(x^2)/x

C.lim(x→0)(x^3)/x

D.lim(x→0)(x^4)/x

4.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，則f'(x)=（）

A.3x^2-3

B.3x^2+3

C.3x^2-6

D.3x^2+6

5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值至少有一個(gè)在（）

A.a或b處取得

B.(a,b)內(nèi)取得

C.(a,b)內(nèi)或端點(diǎn)處取得

D.端點(diǎn)處取得

6.下列積分中，正確的是（）

A.∫(0to1)x^2dx=1/3

B.∫(0to1)x^3dx=1/4

C.∫(0to1)x^4dx=1/5

D.∫(0to1)x^5dx=1/6

7.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2+2x+1，則f'(x)=（）

A.2x+2

B.2x

C.2x+1

D.2x-1

8.下列級數(shù)中，收斂的是（）

A.∑(n=1to∞)1/n^2

B.∑(n=1to∞)1/n

C.∑(n=1to∞)n^2

D.∑(n=1to∞)n

9.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.f'(a)>f'(b)

B.f'(a)<f'(b)

C.f'(a)=f'(b)

D.f'(a)與f'(b)無法比較

10.下列函數(shù)中，可導(dǎo)的是（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=x^4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)的有（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

2.下列極限中，正確的有（）

A.lim(x→0)(sinx)/x=1

B.lim(x→0)(1-cosx)/x=0

C.lim(x→0)(sinx)^2/x^2=1

D.lim(x→0)(x-sinx)/x^3=1/6

3.下列積分中，正確的是（）

A.∫(0toπ)sinxdx=2

B.∫(0toπ)cosxdx=0

C.∫(0to1)x^2dx=1/3

D.∫(0to1)x^3dx=1/4

4.下列級數(shù)中，收斂的有（）

A.∑(n=1to∞)1/n^2

B.∑(n=1to∞)(1/n)ln(n)

C.∑(n=1to∞)n^(-1/2)

D.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2

5.下列函數(shù)中，可導(dǎo)的有（）

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

E.f(x)=ln(x)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)=_______。

2.極限lim(x→0)(sinx)/x的值為_______。

3.函數(shù)f(x)=e^x的積分∫(0to1)e^xdx的結(jié)果為_______。

4.級數(shù)∑(n=1to∞)1/n^2的收斂半徑R為_______。

5.在區(qū)間[0,π]上，函數(shù)f(x)=sinx的定積分∫(0toπ)sinxdx的值為_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算定積分∫(0toπ)(sinx)^2dx。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1在x=2處的切線方程。

3.解微分方程dy/dx=2x-y。

4.求函數(shù)f(x)=e^(-x^2)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。

5.計(jì)算級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n^3的前n項(xiàng)和S_n。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.A

2.B

3.A

4.A

5.C

6.C

7.A

8.A

9.A

10.E

二、多項(xiàng)選擇題答案：

1.AB

2.AB

3.ABC

4.AD

5.ABDE

三、填空題答案：

1.3x^2-6x+9

2.1

3.e-1

4.1

5.2

四、計(jì)算題答案及解題過程：

1.解：利用三角恒等式sin^2(x)=(1-cos(2x))/2，得到：

∫(0toπ)(sinx)^2dx=∫(0toπ)(1-cos(2x))/2dx

=[x/2-sin(2x)/4]from0toπ

=(π/2-0/4)-(0-0/4)

=π/2

2.解：首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-12x+9，然后代入x=2得到f'(2)=3*2^2-12*2+9=-9。

切線方程為y-f(2)=f'(2)(x-2)，代入f(2)=2^3-6*2^2+9*2-1=1，得到：

y-1=-9(x-2)

y=-9x+18+1

y=-9x+19

3.解：分離變量得到dy=(2x-y)dx，然后積分兩邊得到：

∫dy=∫(2x-y)dx

y=∫2xdx-∫ydx

y=x^2-(1/2)y^2+C

y=(2x^2-C)/(1+2C)

4.解：求導(dǎo)數(shù)f'(x)=-2xe^(-x^2)，二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=(2x^2-2)e^(-x^2)。

f'(x)=0時(shí)，得到x=0，f''(0)=2>0，所以x=0是極小值點(diǎn)。

f''(x)=0時(shí)，得到x=±1，f'(±1)=0，但f''(±1)=0，所以±1是拐點(diǎn)。

5.解：級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)^n/n^3是交錯(cuò)級數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，它是收斂的。

設(shè)S_n為前n項(xiàng)和，則S_n=1/1^3-1/2^3+1/3^3-...+(-1)^(n-1)/(n-1)^3+(-1)^n/n^3。

S_n=(1-1/8)+(1/27-1/64)+...+[(-1)^(n-1)/(n-1)^3-(-1)^n/n^3]

=1-1/8+1/27-1/64+...+(-1)^(n-1)/(n-1)^3-(-1)^n/n^3

=1-1/8*(1-1/3^n)/(1-1/3)

=1-1/8*(3^n-1)/(3^n-3)

=1-3/8*(1-1/3^n)

當(dāng)n→∞時(shí)，S_n→1-3/8=5/8。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.導(dǎo)數(shù)和微分：包括導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)法則、高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)等。

2.極限：包括極限的定義、四則運(yùn)算法則、無窮小、無窮大、無窮小的比較等。

3.積分：包括不定積分、定積分、反常積分、積分技巧、積分表等。

4.級數(shù)：包括級數(shù)的收斂與發(fā)散、交錯(cuò)級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級數(shù)等。

5.微分方程：包括一階微分方程、二階微分方程、線性微