6/61.1.7柱、錐、臺和球的體積（一）教學目標：了解柱、錐、臺的體積的計算方法教學重點：了解柱、錐、臺的體積的計算方法教學過程：（一）祖暅原理：祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖沖之的兒子，他的活動時期大約在公元504—526年．祖氏父子在數學和天文學上都有杰出的貢獻．祖暅的主要工作是修補編輯祖沖之的《綴術》．他推導球體積公式的方法非常巧妙．根據中國算書《九章算術》中李淳風的注釋，下面我們使用現代的術語，并將原來的圖形略加修改，把祖暅當時推導球體積公式的方法介紹如下：作一個幾何體V1．底面OABC是一個正方形，邊長為r(圖2-18)．高取一點S，過點S與底面平行的截面為SPQR，設它的邊長為a，OS為h，則截面面積a2=r2-h2．另取一個邊長為r的正方體V2(圖2-19)，連結O′D′，O′C′，O′A′，錐體O′-A′B′C′D′記作V3，V2-V3是正方體O′D′挖去錐體O′-A′B′C′D′剩下的幾何體．下面來證明V1=V2-V3．設平行于底面與底面距離為h的平面，截V2的截面是正方形P′TS′M，面積等于r2，截V3的截面是正方形Q′TR′N，面積等于h2(因為Q′T=O′T=h)，所以這兩個正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M，它的面積等于r2-h2．比較V1與V2-V3在等高(h)處的截面，它們的面積都是r2-h2，因此體積相等，即V1=V2-V3．祖暅原理的原文是“冪勢既同，則積不容異．”“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．意思是：兩個同高的幾何體，如果與底等距離的截面積總相等，那么幾何體的體積相等．這就是現在說的：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．積為V4(是未知數)．和V1比較，在高h處的截面積C″EF是以a為半祖暅提出的“冪勢既同，則積不容異”，及“體積之比等于對應截面積之比”，在這里是當作公理使用．提法“冪勢既同，則積不容異”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches，Prinzip)．卡瓦列利[米蘭Milan(現意大利城市)人]在他的名著《連續不可分幾何》中提出這一原理，這本書出版于1635年．（二）長方體的體積（三）利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的長方體與柱體的體積相等，故柱體的體積為：（四）利用祖暅原理可以說明：等底面積等高的錐體的體積均相等（五）三棱住可以分割成三個體積相等的錐故錐體的體積為（六）利用兩個錐體做差可得臺體的體積公式（七）例子：(1)長方體的三個面的面積分別為2、6和9，則長方體的體積為[](2)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，在從B點出發的三條棱上分別取其中點E、F、G，則棱錐B-EFG的體積是平行六面體體積的[](3)如果一個正四面體的體積為9dm3，則其表面積S的值為[]棱錐的體積是[](5)設正三棱柱的外接圓柱體體積為V1，內切切圓柱體積為V2，則[]A．V1∶V2=∶1B．V1∶V2=2∶1C．V1∶V2=4∶1D．V1∶V2=8∶1課堂練習：教材第32頁練習A1.2、B1.2.3小結：本節課應了解：祖暅原理以及柱錐臺的體積計算公式課后作業：1.1.7柱、錐、臺和球的體積（二）教學目標：了解球的體積的計算方法教學重點：了解球的體積的計算方法教學過程：由上節祖暅原理所述知球的體積公式例子1、有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角，在容器內放入一個半徑為R的球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，這時容器中水的深度是[]2、如果球的體積是V球，它的外切圓柱的體積是V圓柱，外切等邊圓錐的體積是V圓錐，那么這三個幾何體體積之比是____3、圖中所示的圓及其外切正方形繞圖中由虛線表示的對稱軸旋轉一周生成的幾何體稱為圓柱容球。在圓柱容球中，球的體積是圓柱體積的，球的表面積也是圓柱全面積的.解：設圓的半徑為R，球的體積與圓柱的體積分別為V球及V柱，球的表面積與圓柱的全面積分別為S球