初中數學名校資源6/7第二十一章一元二次方程《根與系數的關系》學歷案【學習主題】根與系數的關系【學習課時】1課時【課標要求】了解一元二次方程的根與系數的關系（不要求應用這個關系解決其他問題）.【學習目標】1.在理解的基礎上掌握一元二次方程根與系數的關系式.2.已知一元二次方程的一個根，能運用根與系數的關系求出另一個根與未知系數.3.會用根與系數的關系，求關于兩根的一些對稱式和簡單的非對稱式的值.4.通過根與系數的關系的教學過程，使學生經歷觀察、猜想、證明等數學活動過程，發展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養學生的創新意識和創新精神.【評價任務】標準方式理解的基礎上利用從特殊到一般的思想猜想并推導出一元二次方程根與系數之間的關系式活動一、活動二已知一元二次方程的一個根，能運用根與系數之間的關系求出另一個根與未知系數活動三+達標檢測3、4能用兩根表示出方程的系數，并用這一結論解決問題能力提升8會用根與系數之間的關系，求關于兩根的一些對稱式和簡單的非對稱式的值活動四+達標檢測1、2+能力提升2-5、7【學習過程】【資源與建議】1.本節課的教學對象是初中三年級學生，他們對事物的認識多是直觀、形象的，所注意的多是事物外部的、直接的、具體的特征，可以在教學初始，出示一些學生所熟悉和感興趣的事物（如介紹數學家韋達和他的成就）.一元二次方程根與系數關系的推導是在求根公式的基礎上進行的.它深化了兩根的和與積同系數之間的關系，是我們今后繼續研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎.推導一元二次方程根與系數的關系的過程中，向學生展示認識事物的一般規律，提倡積極思維、勇于探索的精神，借此鍛煉學生觀察、分析、歸納以及推理論證的能力.2.本主題的學習流程：創設情境，引入新知→探究一般結論→應用遷移，發展能力→拓展延伸，加深理解→總結提升3.重點：理解的基礎上掌握一元二次方程根與系數之間的關系.難點:能根據具體方程的根發現一元二次方程根與系數之間的關系，用語言表述，并進行證明；能用根與系數的關系求關于根的非對稱式的值.一、學習準備1.復習回顧一元二次方程的求根公式，兩根有什么特點.2.通過預習，找到根與系數的關系存在的疑問.二、學習新知活動一創設情境，引入新知（指向目標1）問題1：在方程（a≠0）中的值與根有什么關系呢？兩根怎么求？問題2：同學們可知道a，b，c的取值與一元二次方程的根還有其他關系？今天我們進步研究一元二次方程中的這種關系.（1）請同學們完成下表：方程+（2）若，為關于x的方程（p，q為常數，）的兩個根，結合上表說明+，與p，q有何關系.請你寫出關系式，并證明這種關系.活動二探究一般結論（指向目標1、4）問題1：上述都是些二次項系數為1的元二次方程，它們的根與系數存在著這樣的關系，那么是不是任意的一元二次方程的根與系數都有一定的數量關系？是一種什么樣的關系呢？又如何證明這種關系呢？（1）把方程（a≠0，≥0）轉化成二次項是1的方程，設方程的兩根是，，根據活動一，可以得到什么結論？（2）一元二次方程（a≠0，≥0）的兩根，分別是________________________________________________________________________________________（3）利用方程的兩根驗證+，的值.（4）利用文字語言描述得到的結論.活動三應用遷移，發展能力（指向目標2）問題：（目標2）已知方程的一個根是-2，求另一個根及k的值.【分析】本題可以使用根與系數的關系來求解，也可以利用根的概念，將-2代入原方程求解.活動四拓展延伸，加深理解（指向目標3）問題1：（目標3）若，是方程的兩個根，試求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現復雜的計算.這里，可以利用根與系數的關系來解答.問題2：（目標3）已知α，β是關于x的方程的兩根，求的值.【分析】本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會非常復雜，我們可以利用根的概念將原方程中的x用α，β代換，則可以得到兩個關于m，α和m，β的代數式，再進一步觀察這兩個代數式與所求代數式的聯系，即可求解問題3：（目標3）已知α，β為方程的兩個根，求的值.【分析】我們仍然可以使用根的概念，將方程中的x用α代換，得到關于α的一個代數式，通過降次（即將高次代數式用低次代數式來表示）可以得到一個關于α，β的一次代數式，進而求解，問題4：（目標3）已知a，b是不相等的實數，且，，求的值.【分析】我們可以將關于兩根的一元二次方程中的a，b求出來，然后代人所求的代數式中求值，但這種方法計算量很大。我們仔細觀察已知條件中給定的兩個等式，將第2個變形為，形式上與第一個等式完全相同.此時，逆用方程根的概念，可得a，b是方程的兩個不相等的實數根，然后再利用韋達定理求解即可.活動五總結提升（目標1）1.通過本節課的學習，你在知識上有哪些收獲？2.你在研究數學問題的方法上有哪些收獲？【達標檢測】1.（目標3）若，是一元二次方程的兩個根，則的值為（）A.-7B.-1C.-1+D.-1-2.（目標3）已知一元二次方程與，則兩方程所有根的乘積等于()A.-18B.18C.-3D.33.（目標2）如果關于x的方程的兩個實數根互為倒數，那么實數m的值為（）A.B.C.2D.-24.（目標2）已知一元二次方程的一個根為-2，則另一個根是，m=.【能力提升】1.（目標2）如果關于x的方程的一個實數根的倒數恰是它本身，那么p的值是（）A.1B.±1C.2D.2（目標3）若，是一元二次方程的兩個根，則代數式的值為（）A.6B.4C.3D.3.（目標3）若一元二次方程的兩根為α，β，那么代數式的值是（）A.15B.-3C.3D.以上答案都不對4.（目標3）已知α，β是方程的兩個實數根，則的值是（）A.B.C.3D.5.（目標3）若m，n是方程的兩個實數根，則的值是__________________.6.（目標2）已知，是方程的兩根，且，則m的值為.7.（目標3）若，是關于x的方程的兩個根，且，則m=.8.（目標1）求作一個方程，使它的兩根分別為，-3.（寫出滿足條件的一個即可.）【拓展延伸】1.已知關于x的一元二次方程，問：是否存在實數m，使方程的兩個實數根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.2.已知關于x的方程.（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數根？（2）設方程的兩實數根分別為，，當時，求m的值.【學后反思】1.本節課學習的知識要點是：