吉林省2025年初中考試

數(shù)學試題

數(shù)學試卷共6頁，包括三道大題，共22道小題．全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．考

試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．

注意事項：

1．答題前，考生務必將姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域

內．

2．答題時，考生務必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內作答，在草稿紙、試卷上答題無

效．

一、選擇題（下列各題的四個選項中，只有一項最符合題意．每小題3分，共18分）

1.如圖，點A表示的數(shù)是1．若將點A向左移動3個單位長度得到點A，則點A表示的數(shù)為（）

A.3B.2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點距離計算，用點A表示的數(shù)減去移到的距離即可得到答案．

【詳解】解；∵點A表示的數(shù)是1．將點A向左移動3個單位長度得到點A，

∴點A表示的數(shù)為132，

故選：B．

2.一個正方體的展開圖如圖所示，把它折疊成正方體后，有“的”字一面的相對面上的字為（）

A.我B.中C.國D.夢

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了正方體表面展開圖，根據(jù)特點作答即可．

【詳解】A、“我”字一面的相對面上的字為“夢”，不符合題意；

B、“中”字一面的相對面上的字為“夢”，不符合題意；

C、“的”字一面的相對面上的字為“國”，不符合題意；

D、“夢”字一面的相對面上的字為“我”或“中”，不符合題意；

故選：C．

3

3.計算2a2的結果為（）

A.2a5B.2a6C.8a5D.8a6

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了積的乘方運算及冪的乘方運算，熟練掌握積的乘方運算及冪的乘方運算是解題的關

鍵．根據(jù)積的乘方法則及冪的乘方運算，逐步計算即可．

33

【詳解】解：2a223a28a6．

故選：D．

4.不等式x32的解集為（）

A.x5B.x5C.x1D.x1

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題關鍵．

解一元一次不等式，通過移項即可求解．

【詳解】解：不等式為x32，

移項，得：x23，

不等式x32的解集為x5．

故選：A．

5.如圖，風力發(fā)電機的葉片在風的吹動下轉動，使風能轉化為電能．圖中的三個葉片組成的圖形繞著它的

中心旋轉角后，能夠與它本身重合，則角的大小可以為（）

A.90B.120C.150D.180

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了求旋轉角，把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖

形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：由題意得，整個圖形由三個葉片組成，則相鄰葉片之間的夾角為3603120，

∴該葉片圖案繞中心至少旋轉120后能與原來的圖案重合，

∴角的大小可以為120，

故選：B．

6.如圖，在VABC中，B45,AACBB．尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點B為圓心，適當長

為半徑畫弧，分別交邊BA，BC于點M，N；（2）以點C為圓心，BN長為半徑畫弧，交邊CB于點N；

再以點N為圓心，MN長為半徑畫弧，與前一條以點C為圓心的弧相交于三角形內部的點M；（3）過點M

畫射線CM交邊AB于點D．下列結論錯．誤．的為（）

A.BDCBB.BDC=90C.DBDCD.ADDCBC

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了等角對等邊，三角形內角和定理，大角對等邊，作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖，

由作圖方法可得BDCB45，則由三角形內角和定理和等邊對等角得到BDC=90，BDDC，

由大角對大邊得到BCAB，再由ADDCADBDAB可得ADDCBC．

【詳解】解：由作圖方法可得BDCB45，故A結論正確，不符合題意；

∴∠BDC180BDCB90，BDDC，故B、C結論都正確，不符合題意；

∵AACBB，

∴BCAB，

∵ADDCADBDAB，

∴ADDCBC，故D結論錯誤，符合題意；

故選：D．

二、填空題（每小題3分，共15分）

7.因式分解：a2ab______．

【答案】aab

【解析】

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．

用提公因式的方法分解因式即可．

【詳解】解：a2abaab，

故答案為：aab．

8.計算：312__．

【答案】33

【解析】

【分析】本題考查的是二次根式的加減運算，先化簡，再合并同類二次根式即可．

【詳解】解：31232333，

故答案為：33．

9.《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道題：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步．問車幾何？其譯文為：

有若干人乘車，若每3人同乘一車，最終剩余2輛空車；若每2人同乘一車，最終剩下9人因無車可乘而

步行．問有多少輛車？為解決此問題，設共有x輛車，可列方程為________．

【答案】3x22x9

【解析】

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關

鍵．

根據(jù)人數(shù)不變，即可得出關于x的一元一次方程，即可求解．

【詳解】解:依題意，得：3x22x9，

故答案為：3x22x9．

10.如圖，正五邊形ABCDE的邊AB，DC的延長線交于點F，則F的大小為________度．

【答案】36

【解析】

【分析】本題主要考查了正多邊形外角和定理，三角形內角和定理，多邊形外角和為360度，據(jù)此可求出

行FBC、FCB的度數(shù)，再利用三角形內角和定理求解即可．

【詳解】解：五邊形ABCDE是正五邊形，

360

∴∠FBC∠FCB72，

5

∴∠F180∠FBC∠FCB36，

故答案為：36．

3

11.如圖，在平面直角坐標系中，過原點O的直線與反比例函數(shù)y的圖象交于A，B兩點，分別以點

x

A，點B為圓心，畫半徑為1的A和B．當A，B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，連

接AC，BD，則陰影部分圖形的面積和為________．（結果保留）

1

【答案】##

33

【解析】

【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點的問題，考查了切線的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特

征，解直角三角形，扇形的面積，解題的關鍵是求得OAC60，根據(jù)題意得到ACBD1，則A點

的縱坐標為1，代入解析式求得A的坐標，進而求得OAC60，再利用扇形的面積公式即可求得兩個

象限中扇形的面積，進一步求得陰影部分圖形的面積之和．

【詳解】解：當A，B分別與x軸相切時，切點分別為點C和點D，

∴ACx軸，BDx軸，

∵半徑為1，

∴ACBD1，

∴A點的縱坐標為1，

3

把y1代入y，求得x3，

x

∴A3,1，

∴OC3，AC1，

OC

∴tanOAC3，

AC

∴OAC60，

6012

∴第一象限中陰影的面積S，

13606

同理，第三象限中陰影的面積S，

26

∴S陰影．

3

故答案為：．

3

三、解答題（本題共11小題，共87分）

aa21

12.先化簡，再求值：.，其中a2025．

a1a

【答案】a1，2026

【解析】

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把第二個分式的分子分解因式，再計算分式乘法化簡，最后

代值計算即可得到答案．

aa21

【詳解】解；.

a1a

aa1a1

.

a1a

a1，

當a2025時，原式202512026．

13.在“健康中國2030”與“體重管理年”的行動引領下，某校田徑社團開展了“2025健康長跑”活動．由

于參加的人數(shù)較多，場地空間有限，活動需分A，B，C三組進行，每人只能被隨機分配到其中一組，分組

工作由計算機軟件完成．請用畫樹狀圖或列表的方法，求參與者小順和小利被分配到同一組的概率．

1

【答案】

3

【解析】

【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的結果數(shù)，再找到參與者

小順和小利被分配到同一組的結果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．

【詳解】解：列表如下：

小順

ABC

小利

AA,AB,AC,A

BA,BB,BC,B

CA,CB,CC,C

由表格可知，一共有9種等可能性的結果數(shù)，其中參與者小順和小利被分配到同一組的結果數(shù)有3種，

31

∴參與者小順和小利被分配到同一組的概率為．

93

14.吉林省長白山盛產(chǎn)人參．為促進我省特色經(jīng)濟的發(fā)展，某公司現(xiàn)將人參加工成甲、乙兩種盒裝的商品出

售，甲、乙兩種商品的售價分別為每盒25元和20元．某游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元．求

該游客購買甲種商品和乙種商品的盒數(shù)．

【答案】游客購買甲種商品6盒，購買乙種商品4盒

【解析】

【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應用，正確理解題意是解題的關鍵．

設游客購買甲種商品x盒，購買乙種商品y盒，根據(jù)“游客購買了甲、乙兩種商品共10盒，花費230元”

建立方程組求解即可．

【詳解】解：設游客購買甲種商品x盒，購買乙種商品y盒，

xy10

由題意得：，

25x20y230

x6

解得：，

y4

答：游客購買甲種商品6盒，購買乙種商品4盒．

15.如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE,DF，BAECDF．

（1）求證：△ABE≌△DCF．

（2）當AB12，DF13時，求BE的長．

【答案】（1）見解析（2）5

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握各知識點并靈活運用是

解題的關鍵．

（1）根據(jù)矩形得到ABCD,BC90，再結合已知條件由ASA即可證明全等；

（2）根據(jù)全等三角形得到AEDF13，再由勾股定理即可求解．

【小問1詳解】

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴ABCD,BC90，

∵BAECDF，

∴ABE≌DCFASA；

【小問2詳解】

解：∵△ABE≌△DCF，

∴AEDF13，

∵DB=90°，AB12，

∴BEAE2AB25．

16.圖①、圖②均是66的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點VABC內接于⊙O，且點A，B，C，

O均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．

（1）在圖①中找一個格點D（點D不與點C重合），畫出ADB，使ADBACB．

（2）在圖②中找一個格點E，畫出AEC，使AECABC180．

【答案】（1）見解析（答案不唯一）

（2）見解析（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題主要考查了圓周角定理以及圓的內接四邊形對角互補的性質．

（1）取格點D，連接AD,BD，根據(jù)ABAB得到ADBACB；

（2）取格點E，連接AE,CE，根據(jù)圓內接四邊形對角互補即可得到AECABC180．

【小問1詳解】

解：如圖，點ADB即為所求：

【小問2詳解】

解：如圖，AEC即為所求：

17.端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日．某食品公司為迎接端午節(jié)的到來，組織了“濃情端午，粽葉飄香”的包粽子

比賽，規(guī)定：粽子質量為1509克時，其質量等級為合格；粽子質量為1503克時，其質量等級為優(yōu)

秀．共有甲、乙兩個小組參加比賽，他們在相同時間內分別包了220個和200個粽子．質檢員小李從甲、

乙兩個參賽小組所包粽子中各隨機抽檢10個，分別對它們的質量整理和分析，得到如下信息：

被抽檢粽子的質量（單位：克）分布

甲組144146147148150152152152154155

乙組146147147150150151153154155

被抽檢粽子質量的平均數(shù)和眾數(shù)（單位：克）統(tǒng)計

參賽小組平均數(shù)眾數(shù)

甲組150152

乙組150147

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）在被抽檢粽子的質量分布表中，有一個數(shù)據(jù)缺失，通過計算說明缺失數(shù)據(jù)對應的粽子的質量等級是否

為優(yōu)秀？

（2）此次比賽規(guī)定：相同時間內所包粽子中質量等級為優(yōu)秀的個數(shù)較多的小組獲得獎勵．估計甲、乙兩個

參賽小組哪組能獲得獎勵，并說明理由．

【答案】（1）是優(yōu)秀（2）乙參賽小組能獲得獎勵，見解析

【解析】

【分析】本題主要考查眾數(shù)、樣本估計總體，解題的關鍵是掌握眾數(shù)的定義，并利用樣本估計總體求出兩

個小組優(yōu)秀等級個數(shù)．

（2）根據(jù)眾數(shù)的定義求解即可；

（2）利用樣本估計總體求出甲、乙小組優(yōu)秀等級的個數(shù)即可．

【小問1詳解】

解：因為乙組質量的眾數(shù)為147，

所以缺失的數(shù)據(jù)為147，且1471503，質量登記為優(yōu)秀；

【小問2詳解】

解：乙參賽小組能獲得獎勵，理由如下：

甲組抽檢的優(yōu)秀為：147,148,150,152,152,152，

6

∴甲組優(yōu)秀個數(shù)為：220132（個），

10

甲組抽檢的優(yōu)秀為：147,147,147,150,150,151,153

7

∴乙組優(yōu)秀個數(shù)為：200140(個)，

10

∵140132，

∴乙參賽小組能獲得獎勵．

18.綜合與實踐：確定建筑物的3D打印模型的高度項目提出：圖是某城市規(guī)劃展覽館．樹人中學的3D打

印社團為展示城市文化，準備制作該城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型，需要測量并計算展覽館高度，為制作

3D打印模型提供數(shù)據(jù)．

項目報告表時間：2025年5月29日

活動目

項

測量該城市規(guī)劃展覽館的實際高度并換算其3D打印模型的高度

標

目

分測量工

測角儀、皮尺

析具

以下是測得的相關數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的測量草圖．

1．測出測角儀的高CD1.4m．

2．利用測角儀測出展覽館頂端A的仰角ACE61．

3．測出測角儀CD底端D處到展覽館AB底端B處之間的距離

DB42m．

任務一

測量數(shù)

據(jù)

項

目

實

施

任務二

根據(jù)上述測得的數(shù)據(jù)，計算該城市規(guī)劃展覽館AB的高度．（結果精確到

計算實

1m）（參考數(shù)據(jù)：sin610.875，cos610.485，tan611.804）

際高度

任務三

將該城市規(guī)劃展覽館AB的高度按1:400等比例縮小，得到其3D打印模

換算模

型的高度約為________cm．（結果精確到1cm）

型高度

項目結果為社團制作城市規(guī)劃展覽館的3D打印模型提供數(shù)據(jù)

請結合上表中的測量草圖和相關數(shù)據(jù)，幫助該社團完成任務二和任務三．

【答案】該城市規(guī)劃展覽館AB的高度為77m；3D打印模型的高度約為19cm

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，比例的基本性質，正確理解題意是解題的關鍵．

任務一：先由矩形BECD得到BECD1.4m，CEBD42m，然后解Rt△AEC即可；

任務二：由比例尺等于圖上距離比上實際距離求解即可．

【詳解】解：任務一：由題意得BECD為矩形，

∴BECD1.4m，CEBD42m，

AE

∵在Rt△AEC中，tanACE

CE

∴AECEtan61421.80476m，

∴ABAEBE761.477m，

答：該城市規(guī)劃展覽館AB的高度為77m；

任務二：設3D打印模型的高度約為xcm，

x1

則由題意得：，

7700400

解得：x19cm，

答：3D打印模型的高度約為19cm．

19.如圖，在VABC中，AB32，BC5，BAC45．動點P從點A出發(fā)，沿邊AC以每秒1個

單位長度的速度向終點C勻速運動．當點P出發(fā)后，以AP為邊作正方形APDE，使點D和點B始終在邊

AC同側．設點P的運動時間為xs(x0)，正方形APDE與VABC重疊部分圖形的面積為y（平方單

位）．

（1）AC的長為_______．

（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

（3）當正方形APDE的對稱中心與點B重合時，直接寫出x的值．

1

x2,0x3

2

【答案】（1）7（2）y

32

x710.5,3x7

8

（3）x6

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形問題，正方行的性質、三角形相似、勾股定理等知識，解題的關

鍵是添加輔助線利用數(shù)形結合的思想進行求解；

（1）當B,D重合時，通過勾股定理分別求出AP,CP即可求解；

（2）將正方形APDE與VABC重疊部分圖形的面積分割成一個三角形的面積和直角梯形的面積之和來求

解即可；

（3）根據(jù)正方形APDE的對稱中心與點B重合時，得出AD2AB62，再利用勾股定理求解即可．

【小問1詳解】

解：當B,D重合時，如下圖：

BAC45，以AP為邊作正方形APDE，

APD是等腰直角三角形，

APBP,AB2AP2DP2，

即182AP2，

解得：AP3（負的舍去），

QBC5，DPC90，

PCBC2BP252324，

ACAPPC347，

故答案為：7；

【小問2詳解】

解：當D在線段AB上運動時，

11

yAPBPx2,(0x3)，

22

當D在線段AB的延長線上運動時，即點P在線段PC上運動，如下圖：

APx,PPx3,CP7x,CP4,BP3，

QFP∥BP，

CFPCBP,CPFCPB，

VCFP∽VCBP，

CPFP

，

CPCB

7xFP

，

43

213x

解得：FP，

4

213x

3

，

12432

ySS梯形3x3x710.5,(3x7)

APDPP'FB228

1

x2,0x3

2

y；

32

x710.5,3x7

8

【小問3詳解】

解：當正方形APDE的對稱中心與點B重合時，

AD2AB62，

APDP,AP2DP2AD2，

即2AP272，

解得：AP6，

x6．

20.【知識鏈接】實驗目的：探究浮力的大小與哪些因素有關

實驗過程：如圖①，在兩個完全相同的溢水杯中，分別盛滿甲、乙兩種不同密度的液體，將完全相同的兩

個質地均勻的圓柱體小鋁塊分別懸掛在彈簧測力計A，B的下方，從離桌面20cm的高度，分別緩慢浸入到

甲、乙兩種液體中，通過觀察彈簧測力計示數(shù)的變化，探究浮力大小的變化．（溢水杯的杯底厚度忽略不計）

實驗結論：物體在液體中所受浮力的大小，跟它浸在液體中的體積有關、跟液體的

密度有關．物體浸在液體中的體積越大、液體的密度越大，浮力就越大．

總結公式：當小鋁塊位于液面上方時，F(xiàn)拉力=G重力；

當小鋁塊浸入液面后，F(xiàn)拉力G重力F浮力．

【建立模型】在實驗探究的過程中，實驗小組發(fā)現(xiàn)：彈簧測力計A，B各自的示數(shù)F拉力N與小鋁塊各自

下降的高度xcm之間的關系如圖②所示．

【解決問題】

（1）當小鋁塊下降10cm時，直接寫出彈簧測力計A和彈簧測力計B的示數(shù)．

（2）當6≤x≤10時，求彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關于x的函數(shù)解析式．

（3）當彈簧測力計A懸掛的小鋁塊下降8cm時，甲液體中的小鋁塊受到的浮力為mN，若使乙液體中

的小鋁塊所受的浮力也為mN，則乙液體中小鋁塊浸入的深度為ncm，直接寫出m，n的值．

【答案】（1）彈簧測力計A的示數(shù)為2.8，彈簧測力計B的示數(shù)為2.5；

（2）F拉力0.3x5.86x10；

（3）m0.6，n1.6．

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用．

（1）直接根據(jù)圖②作答即可；

（2）設當6≤x≤10時，彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關于x的函數(shù)解析式為F拉力k1xb1，別將6,4，

10,2.8代入F拉力k1xb1計算即可；

（3）由題意可知小鋁重為4N，將x8代入F拉力0.3x5.8得F拉力3.4，將F拉力G重力F浮力變形

即可求出m0.6，求出當6≤x≤10時，彈簧測力計B的示數(shù)F拉力關于x的函數(shù)解析式為

325

F拉力x6x10，將F拉力3.4代入計算即可．

84

【小問1詳解】

解：由圖②可知，當小鋁塊下降10cm時，彈簧測力計A的示數(shù)為2.8，彈簧測力計B的示數(shù)為2.5；

【小問2詳解】

解：設當6≤x≤10時，彈簧測力計A的示數(shù)F拉力關于x的函數(shù)解析式為F拉力k1xb1，

由圖可知F拉力k1xb1經(jīng)過6,4，10,2.8

分別將6,4，10,2.8代入F拉力k1xb1得：

6k1b14

，

10k1b12.8

k10.3

解得：，

b15.8

∴F拉力0.3x5.86x10；

【小問3詳解】

解：由題意可知小鋁重為4N，

將x8代入F拉力0.3x5.8得F拉力3.4，

則F浮力G重力F拉力43.40.6N，即m0.6；

則使乙液體中的小鋁塊所受的浮力為0.6N，

∴F拉力G重力F浮力40.63.4N，

設當6≤x≤10時，彈簧測力計B的示數(shù)F拉力關于x的函數(shù)解析式為F拉力k2xb2，

由圖可知F拉力k2xb2經(jīng)過6,4，10,2.5

分別將6,4，10,2.5代入F拉力k2xb2得：

6k2b24

，

10k2b22.5

25

b

24

解得：，

3

k

28

325

即F拉力x6x10，

84

325

將F拉力3.4代入得：x3.4，

84

38

解得：x，

5

38

∴深度為n61.6．

5

21.【問題背景】在學習了平行四邊形后，某數(shù)學興趣小組研究了有一個內角為60的平行四邊形的折疊問

題．其探究過程如下：

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在平行四邊形ABCD中，A60，ABAD，E為邊AD的中點，點F在邊DC

上，且DFDE，連接EF，將DEF沿EF翻折得到△GEF，點D的對稱點為點G．小組成員發(fā)現(xiàn)四

邊形DEGF是一個特殊的四邊形，請判斷該四邊形的形狀，不需要說明理由．

【探究證明】取圖①中的邊BC的中點M，點N在邊AB上，且BNBM，連接MN，將BMN沿MN

翻折得到△HMN，點B的對稱點為點H．連接FH，GN，如圖②．求證：四邊形GFHN是平行四邊形．

AD

【探究提升】在圖②中，四邊形GFHN能否成為軸對稱圖形．如果能，直接寫出的值；如果不能，說

AB

明理由．

【答案】[探究發(fā)現(xiàn)]：四邊形DEGF是菱形，理由見解析；[探究證明]：四邊形GFHN是平行四邊形；[探

AD12

究提升]：四邊形GFHN為軸對稱圖形時，的值為或，理由見解析

AB23

【解析】

【分析】本題考查四邊形綜合應用，涉及到平行四邊形，矩形，菱形、等邊三角形等知識，解題的關鍵是

掌握菱形的判定定理，平行四邊形的判定定理；

[探究發(fā)現(xiàn)]由將△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DEGE，DFGF，而DFDE，故

GEDEDFGF，即c；

[探究證明]同探究發(fā)現(xiàn)可知四邊形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E為邊AD的中點，M為邊BC的

中點，四邊形ABCD是平行四邊形，即可得DEBM，AD∥NH，又DEFG，F(xiàn)G∥AD，故

FGDEBMHN，F(xiàn)G∥NH，從而四邊形GFHN是平行四邊形；

[探究提升]若四邊形GFHN為軸對稱圖形，則四邊形GFHN是矩形或菱形，分兩種情況進行討論：當四

邊形GFHN是矩形時，過G作GKAB于K，過E作ETAB于T，設ATx，則AE2x，可得

AD2AE4x，DEAE2x，求出ABATTKKNBNx2x3x2x8x，即可得

AD13AD2

；當四邊形GFHN是菱形時，延長FG交AB于W，設ADy，求出ABy，即可得．

AB22AB3

【詳解】[探究發(fā)現(xiàn)]：解：四邊形DEGF是菱形，理由如下：

將△DEF沿EF翻折得到△GEF，

DEGE，DFGF，

DFDE，

GEDEDFGF，

四邊形DEGF是菱形；

[探究證明]：證明：如圖：

將△BMN沿MN翻折得到△HMN，

BNHN，BMHM，

BNBM，

HNBNBMHM，

四邊形BMHN是菱形，

NH∥BC，

E為邊AD的中點，M為邊BC的中點，

11

DEAD，BMBC，

22

四邊形ABCD是平行四邊形，

ADBC，AD∥BC，

DEBM，AD∥NH，

四邊形DEGF是菱形，

DEFG，F(xiàn)G∥AD，

FGDEBMHN，F(xiàn)G∥NH，

四邊形GFHN是平行四邊形；

[探究提升]：解：四邊形GFHN能成為軸對稱圖形，理由如下：

由[探究證明]知，四邊形GFHN是平行四邊形，若四邊形GFHN為軸對稱圖形，則四邊形GFHN是矩形

或菱形，

當四邊形GFHN是矩形時，過G作GKAB于K，過E作ETAB于T，如圖：

A60，

AET30，

1

ATAE，

2

設ATx，則AE2x，

ETAE2AT23xGK，

E為AD中點，

AD2AE4x，DEAE2x，

四邊形DEGF是菱形，

EGDE2xTK，

四邊形GFHN是矩形，

GNH90，

ADNH，A60，

HNBA60，

GNK180GNHHNB180906030，

KN3GK33x3x，

11

BNBMBCAD2x，

22

ABATTKKNBNx2x3x2x8x，

AD4x1

；

AB8x2

當四邊形GFHN是菱形時，延長FG交AB于W，如圖：

1

設ADy，則DEDFEGGFBNBMHMNHy，

2

四邊形GFHN是菱形，

1

GFFHNHGNy，

2

EG∥CD∥AB，GF∥AD，

四邊形AEGW是平行四邊形，GWNA60，

11

AWEGy，GWAEy，

22

GWGN，

△GWN是等邊三角形，

1

WNGWy，

2

1113

ABAWWNBNyyyy，

2222

ADy2

3；

ABy3

2

AD12

綜上所述，四邊形GFHN為軸對稱圖形時，的值為或．

AB23

22.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線yx2bx1經(jīng)過點2,1．點P在此拋物線上，

其橫坐標為m，連接PO并延長至點Q，使OQ2PO．當點P不在坐標軸上時，過點P作x軸的垂線，

過點Q作y軸的垂線，這兩條垂線交于點M．

（1）求此拋物線對應的函數(shù)解析式．

（2）PQM被y軸分成的兩部分圖形的面積比是否保持不變．如果不變，直接寫出這個面積比；如果變

化，說明理由．

（3）當PQM的邊MQ經(jīng)過此拋物線的最低點時，求點Q的坐標．

（4）當此拋物線在PQM內部的點的縱坐標y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍．

【答案】（1）yx22x1

5

（2）面積比保持不變?yōu)椋碛梢娫斀?/p>

4

（3）Q(23-2,-2)或Q(-23-2,-2)

22

（4）m1或-＃m1-2或＃m1+2

22

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和

性質，利用一元二次方程解決幾何問題，拋物線中動點問題，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，并發(fā)展

空間想象能力，分情況研究動點問題．

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)題意，利用相似三角形的性質求出面積之比即可；

（3）QM經(jīng)過最低點，即經(jīng)過頂點，畫出示意圖，先求出頂點坐標，再利用相似三角形的判定和性質求出

m的值，最后分兩種情況求出點Q的坐標即可；

（4）根據(jù)題意，分三種情況進行分析，畫出圖形找出臨界點，利用相似三角形的性質列出一元二次方程，

然后進行求解即可．

【小問1詳解】

解：將2,1代入yx2bx1得，

-1=4+2b-1，

解得b2，

∴拋物線的解析式為yx22x1；

【小問2詳解】

5

解：如圖所示，面積比保持不變?yōu)?/p>