高數上冊期末考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\ln(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\)答案：A2.若\(f(x)=x^2\)，則\(f'(1)\)等于（）A.1B.2C.3D.4答案：B3.\(\intx\mathrmvnyqfgyx=\)（）A.\(\frac{1}{2}x^{2}+C\)B.\(x^{2}+C\)C.\(\frac{1}{3}x^{3}+C\)D.\(2x+C\)答案：A4.函數\(y=\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{2}\)處的切線斜率是（）A.0B.1C.-1D.\(\frac{1}{2}\)答案：A5.\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.-1答案：B6.設\(y=e^{x}\cosx\)，則\(y'\)是（）A.\(e^{x}\cosx-e^{x}\sinx\)B.\(e^{x}\cosx+e^{x}\sinx\)C.\(-e^{x}\sinx\)D.\(e^{x}\sinx\)答案：A7.\(\int_{0}^{1}x^{2}\mathrm9sirfkcx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.3答案：A8.函數\(y=x^{3}-3x^{2}+1\)的單調遞增區間是（）A.\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)B.\((0,2)\)C.\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)D.\((1,3)\)答案：A9.下列函數中是奇函數的是（）A.\(y=x^{2}+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^{x}\)答案：C10.\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\lnx}{x}=\)（）A.0B.1C.\(+\infty\)D.\(-\infty\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數在\(x=0\)處連續的是（）A.\(y=\frac{\sinx}{x}\)B.\(y=x^{2}+1\)C.\(y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x<0\end{cases}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：ABC2.下列求導正確的是（）A.\((x^{3})'=3x^{2}\)B.\((\sin2x)'=2\cos2x\)C.\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)D.\((e^{-x})'=e^{-x}\)答案：ABC3.下列積分正確的是（）A.\(\int\cosx\mathrm4l8lgwbx=\sinx+C\)B.\(\inte^{x}\mathrmgwlc34cx=e^{x}+C\)C.\(\int\frac{1}{x}\mathrmtd89fctx=\ln|x|+C\)D.\(\intx^{n}\mathrmlquipmdx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)答案：ABCD4.函數\(y=f(x)\)在點\(x_{0}\)處可導的必要條件是（）A.函數在\(x_{0}\)處連續B.函數在\(x_{0}\)處有極限C.函數在\(x_{0}\)的某鄰域內有定義D.函數在\(x_{0}\)處的左右導數相等答案：ABC5.下列函數中，在區間\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\sinx\)答案：ABC6.設\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，則復合函數\(y=f(g(x))\)的求導公式為（）A.\(y'=f'(u)g'(x)\)B.\(y'=\frac{\mathrmafsbbqzy}{\mathrm1ofivj6u}\cdot\frac{\mathrm8we9uvwu}{\mathrmmbbansxx}\)C.\(y'=f(g(x))g'(x)\)D.\(y'=f'(g(x))\)答案：AB7.下列關于定積分性質正確的是（）A.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]\mathrmh9xtvmlx=\int_{a}^f(x)\mathrmffa6oc6x+\int_{a}^g(x)\mathrmdiftf5rx\)B.\(\int_{a}^kf(x)\mathrma0ykcm1x=k\int_{a}^f(x)\mathrm1mrwhlzx(k為常數)\)C.\(\int_{a}^f(x)\mathrm09tlbzex=\int_{a}^{c}f(x)\mathrmdndpbtjx+\int_{c}^f(x)\mathrmazfqlegx(a<c<b)\)D.\(\int_{a}^{a}f(x)\mathrmc955qmix=f(a)\)答案：ABC8.函數\(y=\frac{1}{x}\)的漸近線有（）A.\(x=0\)B.\(y=0\)C.\(x=1\)D.\(y=1\)答案：AB9.若\(y=f(x)\)是偶函數，則（）A.\(f(-x)=f(x)\)B.\(y=f(x)\)的圖象關于\(y\)軸對稱C.\(f'(x)\)是奇函數D.\(\int_{-a}^{a}f(x)\mathrmfnfhx2gx=2\int_{0}^{a}f(x)\mathrmeed4p2kx\)答案：ABCD10.設\(y=\arctanx\)，則（）A.\(y'=\frac{1}{1+x^{2}}\)B.函數在\((-\infty,+\infty)\)上單調遞增C.函數是奇函數D.\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=\frac{\pi}{2}\)答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數\(f(x)\)在\(x=a\)處可導，則\(f(x)\)在\(x=a\)處連續。（）答案：對2.\(\inte^{x}\sinx\mathrmcjhcnt4x\)不能用分部積分法求解。（）答案：錯3.函數\(y=\sqrt{x}\)在\(x=0\)處的導數不存在。（）答案：對4.若\(f(x)\)是周期為\(T\)的函數，則\(\int_{a}^{a+T}f(x)\mathrm1hg4os5x=\int_{0}^{T}f(x)\mathrms26agz6x\)。（）答案：對5.函數\(y=x^{3}\)是奇函數。（）答案：對6.若\(y=f(x)\)在\((a,b)\)內單調遞增，則\(f'(x)>0\)在\((a,b)\)內恒成立。（）答案：錯7.\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\tanx}{x}=1\)。（）答案：對8.\(\int_{0}^{\pi}\sinx\mathrmtp7b5xwx=0\)。（）答案：錯9.函數\(y=\frac{1}{x^{2}}\)的二階導數\(y''=\frac{6}{x^{4}}\)。（）答案：對10.若\(f(x)\)在\(x_{0}\)處的左右極限都存在，則\(f(x)\)在\(x_{0}\)處極限存在。（）答案：錯四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^{3}-3x^{2}+2\)的極值。答案：先求導\(y'=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)，令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x<0\)時，\(y'>0\)；當\(0<x<2\)時，\(y'<0\)；當\(x>2\)時，\(y'>0\)。所以極大值為\(y(0)=2\)，極小值為\(y(2)=-2\)。2.計算\(\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\mathrmouuriehx\)。答案：\(\int\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\mathrmd60ui6qx=\int\frac{x^{2}+1-1}{1+x^{2}}\mathrm2oph1inx=\int(1-\frac{1}{1+x^{2}})\mathrm50kosh5x=x-\arctanx+C\)。3.求曲線\(y=\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{4}\)處的切線方程。答案：\(y'=\cosx\)，當\(x=\frac{\pi}{4}\)時，\(y'=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(y=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。切線方程為\(y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{\pi}{4})\)，即\(y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}\pi}{8}\)。4.簡述函數連續與可導的關系。答案：可導一定連續，連續不一定可導。例如\(y=|x|\)在\(x=0\)處連續但不可導。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在區間\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)上的單調性。答案：\(y'=-\frac{1}{x^{2}}\)，在\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)上\(y'<0\)，所以函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調遞減。2.討論定積分\(\int_{-1}^{1}x^{3}\mathrm5p6dz0sx\)的值。答案：因為\(y=x^{3}\)是奇函數，根據定積分性質\(\int_{-a}^{a}f(x)\mathrmsbhzdjxx=0\)（\(f(x)\)為奇函數），所以\(\int_{-1}^{1}x^{3}\mathrml11nklpx=0\)。3.討論函數\(y=e^{x}-x-1\)的零點個數。答案：求導得\(y'=e^{x}-1\)，令\(y'=0\