第9章

軸對稱、平移與旋轉

9.5圖形的全等

七年級下

HS1.了解并掌握全等圖形、全等多邊形、全等三角形的概念和性質.2.能找出全等多邊形、全等三角形的對應元素，會利用圖形的全等解決一些簡單的問題.學習目標

我們已經學過了軸對稱、平移、旋轉三種基本變換，觀察下圖，這三種基本變換有什么共同特征呢？

雖然位置發生了改變，但變換前后的兩個圖形的對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀和大小并沒有改變.新課引入軸對稱平移旋轉新知學習

要想知道兩個圖形的形狀和大小是否完全相同，可以通過軸對稱、平移與旋轉這些圖形的變換，把兩個圖形疊合在一起，觀察它們是否重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.你知道生活中有哪些全等的圖形？讀一讀

軸對稱、平移與旋轉都是實際生活中抽象得到的一些基本變換，它們保證了變換過程中，任意兩點之間的距離不變，從而保證了圖形的形狀與大小都不發生變化，反映了圖形之間的全等關系.這種運用動態變換研究圖形之間關系的方法，是一種重要而且有效的方法.做一做

圖中給出了8個圖形，你能發現哪兩個圖形是全等圖形嗎？動手試試看.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2)與(4)、(3)與(6)是全等圖形.一個圖形經過軸對稱、平移與旋轉等變換所得到的新圖形一定與原圖形重合；反過來，兩個全等圖形經過上述變換后一定能夠互相重合.例1

下列說法正確的是()A.

兩個面積相等的圖形一定是全等圖形B.

兩個長方形是全等圖形C.

兩個全等圖形形狀一定相同D.

兩個正方形一定是全等圖形C思考觀察圖中的兩對多邊形，每對中的其中一個可以經過怎樣的變換和另一個圖形重合？

兩對多邊形都是全等圖形，也稱為全等多邊形.兩個全等的多邊形，經過變換而重合，相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角.如下圖中的兩個五邊形是全等的，記作五邊形

ABCDE≌

五邊形

A′B′C′D′E′(這里，符號“≌”表示全等，讀作“全等于”).點

A

與點

A′、點

B

與點

B′、點

C

與點

C′、點

D

與點

D′、點

E

與點

E′分別是對應頂點.用“≌”表示兩個全等多邊形，則可根據字母的對應位置來確定邊、角的對應關系，因此書寫時一定要按照字母的對應位置來寫.全等三角形的性質：全等三角形的對應邊、對應角分別相等；三角形全等的定義（判定方法）：如果兩個三角形的邊、角分別相等，那么這兩個三角形全等.全等多邊形的性質：全等多邊形的對應邊、對應角分別相等；全等多邊形的定義（判定方法）：如果兩個多邊形的邊、角分別對應相等，那么這兩個多邊形全等.

如圖，△ABC

≌△DEF，且∠A

=∠D，∠B

=∠E.

你能指出它們之間其他的對應頂點、對應角和對應邊嗎？解：對應頂點：點

A

與點

D，點

B

與點

E，點

C

與點

F；

對應邊：AB

與

DE，BC

與

EF，CA

與

ED；

對應角：∠C

與∠F.AB=DE，AC=DF，BC=FE，∠C=∠F.ABEDCF找全等三角形對應元素的常用方法：(1)兩個全等三角形中，一對最長(或最短)的邊是對應邊；一對最大(或最小)的角是對應角；公共邊(或角)往往是對應邊(或角)；對頂角一般是對應角；(2)用“≌”表示的兩個全等圖形，可根據字母的對應位置來確定對應邊、對應角.歸納總結例2如圖，△ABC

沿著

BC的方向平移至△DEF，∠A

=

80°，∠B

=

60°，求∠F

的度數.ABCDEF解：由圖形平移的特征，可知△ABC

與△DEF

的形狀與大小相同，即△ABC

≌△DEF.∴∠D=∠A=80°(全等三角形的對應角相等).同理∠DEF=∠B=60°.又∵∠D+∠DEF+∠F=180°(三角形的內角和等于180°)，∴∠F=180°-∠D-∠DEF=180°-80°-60°=40°.當兩個三角形全等，但對應角或對應邊不能確定時，注意分類討論對應角和對應邊.變式練習

已知△ABC與△DEF全等，若∠A=∠D=40°，∠B=60°，則∠E的度數為__________.分析：∵∠A=∠D=40°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°，①若∠E與∠B為對應角，則∠E=∠B=60°，②若∠E與∠C為對應角，則∠E=∠C=80°.60°或80°1.下列說法正確的是()①用一張相紙沖洗出來的10張1寸相片是全等圖形；②我國國旗上的4顆小五角星是全等圖形；③所有的正方形是全等圖形；④全等圖形的面積一定相等.A.1個B.2個C.3個D.4個C隨堂練習2.在下列給出的四組條件中，能判定△ABC≌△DEF的是(

)A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠DB.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EFC.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FD.AB=DE，BC=EF，△ABC的周長等于△CDA的周長D(1)(5)(9)(2)(6)(10)(3)(4)(7)(8)(11)(12)(1)與(8)、(2)與(12)、(4)與(9)、(5)與(11)是全等圖形.3.下列圖中有哪些是全等圖形？4.已知△ABC≌△DEF，△ABC的周長是40cm，AB=10cm，BC=16cm，求

DF

的長度.解：∵△ABC≌△DEF(已知)∴AC=DF(全等三角形的對應邊等)∵△ABC的周長是40cm，AB=10cm，BC=16cm，(已知)∴AC=40-10-16=14(cm)，∴DF=14cm.ABCDEF解：∵△ABC≌△EBD，∴∠A=∠E.在△AOF和△EOB中

，∴∠A+∠AOF+∠1=180°，∴∠E+∠EOB+∠2=180°(三角形的內角和等于180°).又∵∠AOF=∠EOB(對頂角相等)，∴∠1=∠2(等式的性質).5.如圖，△ABC≌△EBD，證明：∠1=∠2.BAEDCOF12課堂小結圖形的全等全等圖形全等多邊形全等三角形性質：兩個全等圖