第8章

多邊形

8.3用正多邊形鋪設(shè)地面

七年級(jí)下

HS學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解用相同的正多邊形鋪設(shè)地面的原理，會(huì)用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌.2.知道哪些正多邊形能無空隙的鋪設(shè)地面.3.知道哪些正多邊形能組合在一起鋪滿地面.情境學(xué)新知

小賀的家正在裝修，打算用正多邊形的地磚來鋪地面，要想不裁剪地磚且不留一點(diǎn)空隙鋪滿地面，他應(yīng)該選用哪種圖形？你能幫助小賀解決這個(gè)問題嗎？問題1：用地磚來鋪設(shè)地面有什么要求？嚴(yán)絲合縫不多（不重疊）不少（無縫隙）鋪設(shè)地面（平面鑲嵌）：用若干類相同圖形無間隙不重疊的覆蓋平面的一部分叫做這幾類圖形能鋪設(shè)地面（平面鑲嵌）.方案一：用一種正多邊形鋪設(shè)地面60°60°60°60°60°正三角形60°60°60°60°60°60°60°60°6×60°=360°√90°90°4×90°=360°90°正四邊形90°90°90°90°90°90°90°90°√問題2：若只選一種圖形來鋪滿整個(gè)地面，可以選哪一種呢？正五邊形3×108°=324°108°108°108°108°108°×正六邊形120°3×120°=360°120°120°120°120°√正七邊形×正八邊形135°135°135°135°3×135°=405°×圖形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能否鋪滿平面一個(gè)頂點(diǎn)周圍正多形個(gè)數(shù)正三角形正四邊形正五邊形正六邊形正七邊形正八邊形60°能690°能4108°不能120°能3不能135°不能怎樣才能鋪滿地面呢？鋪滿地面的關(guān)鍵：能湊成360°使用給定的某種正多邊形，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就可以鋪滿地面.若要鋪滿地面，則正n邊形的內(nèi)角必須整除360，結(jié)果即為需要的正n邊形的個(gè)數(shù).用一種正多邊形鋪地板時(shí)，只有三種：正三角形、正方形和正六邊形.例1鋪設(shè)一間長6m、寬3.5m的客廳地面需要同樣規(guī)格的正方形地板磚，現(xiàn)有“40cm×40cm”“30cm×30cm”“50cm×50cm”和“60cm×60cm”的地板磚，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一下，要想全部鋪滿，不鋸破且不留一點(diǎn)空隙，選哪一種規(guī)格？為什么？需要多少塊？解：選“50cm×50cm”規(guī)格的.理由：∵6m=600cm，3.5m=350cm，600，350都是50的倍數(shù)，∴選“50cm×50cm”規(guī)格的.需要7×12=84（塊）.問題3：小賀計(jì)劃用兩種正多邊形進(jìn)行組合鋪設(shè)自己的浴室，他有多少種選擇呢？60°正三角形90°正四邊形3×60°+2×90°=360°√60°60°60°90°90°①正三角形與其他正多邊形方案二：用兩種正多邊形鋪設(shè)地面60°正三角形正六邊形4×60°+1×120°=360°√120°2×60°+2×120°=360°60°60°120°120°120°120°60°60°60°60°60°60°60°60°√思考

正三角形還能與哪些正多邊形可以鋪設(shè)呢？你能借助式子計(jì)算嗎？設(shè)用n個(gè)正三角形，另外一種正多邊形的內(nèi)角為α，個(gè)數(shù)為m，則即只要上述結(jié)果滿足m為正整數(shù)，則此時(shí)的多邊形即可和正三角形鋪設(shè).90°正四邊形90°+120°≠360°正六邊形1×90°+2×135°=360°√120°×90°正四邊形135°90°135°135°135°135°正八邊形②正四邊形與其他正多邊形思考:還有其他正多邊形可以鋪設(shè)嗎？問題4：若選三種多邊形來鋪，有多少種選擇呢？①正三角形、正四邊形（正方形）、正六邊形1×60°+2×90°+1×120°=360°②正三角形、正四邊形（正方形）、正十二邊形2×60°+1×90°+1×150°=360°③正四邊形（正方形）、正六邊形、正十二邊形1×90°+1×120°+1×150°=360°④正四邊形（正方形）、正五邊形、正十二邊形1×90°+1×108°+1×162°=360°方案三：用三種正多邊形鋪設(shè)地面思考：多種正多邊形應(yīng)該滿足什么樣的條件才能鋪滿地面？關(guān)鍵：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多種正多邊形的內(nèi)角之和為360o.模型：正多邊形1的個(gè)數(shù)×正多邊形1的內(nèi)角度數(shù)+

正多邊形2的個(gè)數(shù)×正多邊形2的內(nèi)角度數(shù)+…=360o注：有時(shí)幾種正多邊形的組合能圍繞一點(diǎn)拼成周角，但不能擴(kuò)展到整個(gè)平面，即不能鋪滿平面.如：正五邊形與正十邊形的組合.隨堂練習(xí)1.

用一種正多邊形可以進(jìn)行平面鋪設(shè)的條件是

()A.每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是整數(shù)B.每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)能整除

180°C.每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)能整除

360°D.邊數(shù)是

3

的倍數(shù)C2.

若用規(guī)格相同的正六邊形地磚鋪地面，則圍繞在一個(gè)頂點(diǎn)處的地磚的塊數(shù)為(

)A.3

B.4

C.5

D.6A3.

在下列正多邊形組合中，不能鋪滿地面的是()A.正八邊形和正方形

B.正五邊形和正八邊形C.正六邊形和正三角形

D.正三角形和正方形B4.

一幅美麗的圖案，在某個(gè)頂點(diǎn)處由四個(gè)邊長相等的正多邊形鋪滿，其中的三個(gè)分別為正三角形、正方形、正六邊形，那么另外一個(gè)為(

)A.正三角形

B.正方形C.正五邊形

D.正六邊形B5.

利用邊長相等的正三角形和正六邊形的地磚鑲嵌地面時(shí)，在每個(gè)頂點(diǎn)周圍有

a

塊正三角形和

b

塊正六邊形的地磚

(ab≠

0)，則

a

+

b

的值為

()A.3

或

4

B.4

或

5C.5

或

6

D.4B課堂小結(jié)使用給定的某種正多邊形，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就可以鋪滿地面.1.某種正多邊形密鋪地面的條件是什么？2.單獨(dú)用哪種正多邊形可以鋪滿