試卷第=page1212頁，共=sectionpages1212頁圖形的初步認識章末九大題型總結培優【題型1

直線、射線、線段、角的相關概念辨析】【題型2

根據線段間的關系判斷結論】【題型3

根據線段間的關系求線段長度】【題型4

鐘表中的角度計算】【題型5

根據角與角之間的關系判斷結論】【題型6

根據角與角之間的關系求角度】【題型7

線段中的分類討論思想問題】【題型8

角度中的分類討論思想問題】【題型9

對頂角】【題型1

直線、射線、線段、角的相關概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年級河南省實驗中學校考期中）1．下列語句正確的有(

)（1）線段就是、兩點間的距離；（2）畫射線；（3），兩點之間的所有連線中，最短的是線段；（4）在直線上取，，三點，若，，則．A．個 B．個 C．個 D．個【變式1-1】（2023上·黑龍江牡丹江·七年級統考期末）2．如圖，線段條數為，小于平角的角的個數為，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-2】（2023上·天津北辰·七年級統考期末）3．如圖，辰辰同學根據圖形寫出了四個結論：①圖中有兩條直線；②圖中有5條線段；③射線和射線是同一條射線；④直線經過點．其中結論正確的結論是．【變式1-3】（2023上·七年級單元測試）4．如圖,已知A、B、C、D四點,根據下列要求畫圖:(1)畫直線AB、射線AD；(2)畫∠CDB；(3)找一點P，使點P既在AC上又在BD上.【題型2

根據線段間的關系判斷結論】【例2】（2023上·浙江杭州·七年級統考期末）5．如圖，D、E順次為線段上的兩點，，C為AD的中點，則下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式2-1】（2023上·湖北咸寧·七年級統考期末）6．如圖，點C是線段AB上的一個動點（不與A，B重合），點D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點，下列結論：①圖中的點D，P，C，E都是動點；②ADBE；③AB=2DE；④當AC=BC時，點P與點C重合．其中正確的是．（把你認為正確結論的序號都填上）【變式2-2】（2023上·湖北武漢·七年級統考期末）7．如圖所示，在線段上，且，是線段的中點，是的三等分點，則下列結論：①，②，③，④，其中正確結論的有（

）A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式2-3】（2023上·福建泉州·七年級校聯考期末）8．如圖，AB=30，C為射線AB上一點，BC比AC的4倍少20，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為t秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結論：①BC=2AC；②運動過程中，QM的長度保持不變；③AB=4NQ；④當BQ=PB時，t=12，其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型3

根據線段間的關系求線段長度】【例3】（2023上·河南省直轄縣級單位·七年級校聯考期末）9．如圖，已知線段，，點是的中點．

(1)求線段的長；(2)在上取一點，使得，求線段的長．【變式3-1】（2023上·河北承德·七年級統考期末）10．根據題意，補全解題過程．如圖，已知點為線段的中點，為線段上一點，且，若，求線段的長度．

解：設，∵，∴______，∴______=______，∵C為的中點，∴______=______，∴____________，∵，∴______，∴______．【變式3-2】（2023上·河南南陽·七年級校考期末）11．如圖，線段，點M、N分別是線段、的中點，且，求的長．

【變式3-3】（2023上·四川成都·七年級統考期末）12．（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點．若，，求的長；（2）設，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），①如圖2，M，N分別是，的三等分點，即，，求的長；②若M，N分別是，的n等分點，即，，直接寫出的值．【題型4

鐘表中的角度計算】【例4】（2023上·浙江金華·七年級統考期末）13．閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個大格，每個大格分成5個小格，所以每個大格對應的是角，每個小格對應的是角，時針每分鐘轉過的角度是0.5度，分針每分針轉過的角度是6度．(1)解決問題：當時鐘的時刻是8：30時，求此時分針與時針所夾的銳角的度數．(2)8：00開始幾分鐘后分針第一次追上時針．(3)設在8：00時，分針的位置為，時針的位置為，運動后的分針為，時針為．問：在8：00~9：00之間，從8：00開始運動幾分鐘，，，這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？【變式4-1】（2023上·福建寧德·七年級統考期末）14．如圖，鐘表的秒針因故障停滯不動，時針與分針正常運行．小晶發現3點整時，秒針正好是時針與分針夾角的角平分線，經過m分鐘后，秒針又一次成為時針與分針夾角的角平分線，則m的最小值是．

【變式4-2】（2023上·江蘇鎮江·七年級統考期末）15．七年級學生小聰和小明完成了數學實驗《鐘面上的數學》后，制作了一個模擬鐘面，如圖所示，點O為模擬鐘面的圓心，M、O、N在一條直線上，指針、分別從出發繞點O轉動，順時針轉動，逆時針轉動，運動速度為每秒轉動，運動速度為每秒轉動，設轉動的時間為t秒（），請你試著解決他們提出的下列問題：(1)當秒時，求的度數；(2)當與第三次重合時，求的度數；(3)在與第四次重合前，當___________時，直線平分．【變式4-3】（2023上·山東濟南·七年級統考期末）16．如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；(3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時刻的時針與分針，∠AOB＝60°，在時針與分針轉動過程中，OM始終平分∠AOB，則經過多少分鐘后，∠BOM的度數第一次等于50°．【題型5

根據角與角之間的關系判斷結論】【例5】（2023上·湖北襄陽·七年級統考期末）17．如圖，在內部，且，是的平分線，，則下列結論：①；②；③；④．其中正確結論有（寫序號）．

【變式5-1】（2023上·江蘇蘇州·七年級校聯考期末）18．如圖，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列結論中錯誤的是（）A．OB、OC分別平分、B．C．D．【變式5-2】（2023上·貴州銅仁·七年級統考期末）19．如圖，已知O為直線上一點，將直角三角板的直角頂點放在點O處，若是的平分線，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．【變式5-3】（2023上·福建福州·七年級統考期末）20．如圖，已知射線在內部，平分，平分，平分，現給出以下4個結論：①；②；③；④其中正確的結論有（填寫所有正確結論的序號）．【題型6

根據角與角之間的關系求角度】【例6】（2023上·黑龍江大慶·七年級校考期末）21．已知，從的頂點引出一條射線，射線在的內部，將射線繞點逆時針旋轉形成．

(1)如圖1，若，求和大小；(2)作射線，射線為平分線，設．①如圖2，當，若射線好平分，求度數；②當時，請探究與間的數量關系．【變式6-1】（2023上·遼寧大連·七年級統考期末）22．如圖，平分，，，，求的度數．【變式6-2】（2023下·山東泰安·七年級統考期末）23．點為直線上一點，在直線同側任作射線，，使得．

(1)如圖1，過點作射線，使平分，當時，的度數為多少？(2)如圖2，過點作射線，當恰好為的角平分線時，求出與的數量關系．【變式6-3】（2023上·河南南陽·七年級統考期末）24．閱讀材料并回答問題．數學課上，老師提出了如下問題：已知點在直線上，，在同一平面內，過點作射線，滿足．當時，如圖1所示，求的度數．

甲同學：以下是我的解答過程（部分空缺）解：如圖2，∵點O在直線上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴．乙同學：“我認為還有一種情況．”請完成以下問題：(1)請將甲同學解答過程中空缺的部分補充完整．(2)判斷乙同學的說法是否正確，若正確，請在圖1中畫出另一種情況對應的圖形，并求的度數，寫出解答過程；若不正確，請說明理由．(3)將題目中“”的條件改成“”，其余條件不變，當在到之間變化時，如圖3所示，為何值時，成立？請直接寫出此時的值．【題型7

線段中的分類討論思想問題】【例7】（2023上·江西吉安·七年級校考期末）25．在同一直線上有不重合的四個點，，則的長為．【變式7-1】（2023上·山西晉城·七年級統考期末）26．如圖，點是線段的中點，點是線段的中點，且．

(1)圖中共有___________條線段；(2)求的長；(3)若點在直線上，且，直接寫出的長．【變式7-2】（2023上·湖北武漢·七年級校考期末）27．已知，直線上線段、線段點A在點B的左側，點C在點D的左側．(1)若線段，則線段；(2)如圖，點P、Q分別為、的中點，求線段的長度；(3)若線段從點B開始以個單位秒的速度向右運動，同時，點M從點A開始以個單位秒的速度向右運動，點N是線段的中點，若，求線段運動的時間．【變式7-3】（2023上·河北張家口·七年級統考期末）28．如圖，有公共端點的兩條線段，組成一條折線，若該折線上一點把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點叫做這條折線的“折中點”．

（1）若，點與重合（填、、）；（2）若為線段中點，，，則的長為．【題型8

角度中的分類討論思想問題】【例8】（2023上·河北唐山·七年級統考期末）29．如圖，點為直線上一點，，平分．

(1)求的度數；(2)作射線，使，求的度數；(3)在（2）的條件下，作，使射線在的內部，若，直接寫出的度數．【變式8-1】（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末）30．已知，，則的度數是．【變式8-2】（2023上·廣東肇慶·七年級統考期末）31．在同一平面內，，，，，求的度數．【變式8-3】（2023上·廣東珠海·七年級統考期末）32．已知是直線上的一點，是直角，平分．

(1)在圖1中，若，求的度數；(2)在圖1中，若，求的度數（用含的代數式表示）；(3)將圖1中的繞頂點順時針旋轉至圖2的位置，且保持射線在直線上方，在整個旋轉過程中，當的度數是多少時，？【題型9

對頂角】【例9】（2023下·陜西渭南·七年級統考期末）33．如圖，直線和相交于點O，把分成兩部分，且，平分．(1)的對頂角為，的鄰補角為；(2)若，求度數．【變式9-1】（2023下·上海虹口·七年級上外附中校考期末）34．若的對頂角是，的鄰補角是，的余角是，若，則．【變式9-2】（2023下·安徽淮北·七年級校聯考期末）35．觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角）、鄰補角．(1)如圖1，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；(2)如圖2，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；(3)如圖3，共有___________對對頂角，____________對鄰補角；(4)根據（1）-（3）中直線的條數與對頂角、鄰補角的對數之間的關系，探究：若有條直線相交于一點，則可形成多少對對頂角？多少對鄰補角？【變式9-3】（2022下·云南曲靖·七年級統考期末）36．直線相交于點O，于點O，作射線，且在的內部．(1)①當在如圖1所示位置時，若，求的度數；②當在如圖2所示位置時，若平分，證明：平分；(2)若，請直接寫出與之間的數量關系．答案第=page3232頁，共=sectionpages3333頁參考答案：1．A【分析】根據兩點之間距離的定義可以判斷A、C，根據射線的定義可以判斷B，據題意畫圖可以判斷D．【詳解】∵線段AB的長度是A、B兩點間的距離，∴（1）錯誤；∵射線沒有長度，∴（2）錯誤；∵兩點之間，線段最短∴（3）正確；∵在直線上取A，B，C三點，使得AB=5cm，BC=2cm，當C在B的右側時，如圖，AC=5+2=7cm當C在B的左側時，如圖，AC=5-2=3cm，綜上可得AC=3cm或7cm，∴（4）錯誤；正確的只有1個，故選：A．【點睛】本題考查了線段與射線的定義，線段的和差，熟記基本定義，以及兩點之間線段最短是解題的關鍵．2．D【分析】根據線段的定義和小于平角的角的性質得出m，n的值，再代入求解即可．【詳解】由題意得故故答案為：D．【點睛】本題考查了線段和平角的問題，掌握線段的定義和平角的定義是解題的關鍵．3．①③【分析】根據直線、射線、線段的定義結合圖形即可分析判斷求解．【詳解】解：①直線是沒有端點，向兩邊無限延伸，圖中有兩條直線，分別是：直線BC和直線BD，故①說法正確；②直線上兩點及兩點之間的部分是線段，圖中有6條線段，分別是：線段AB、線段BC、線段BD、線段AC、線段CD、線段AD，故②說法錯誤；③射線和射線是同一條射線，都是以點A為端點，同一方向的射線，故③說法正確；④直線和直線BC相交于點B，直線經過點B，不經過點，故④說法錯誤，故答案為：①③．【點睛】本題考查直線、射線、線段的定義，解題的關鍵是熟練掌握并區分相關定義．4．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用直線以及射線的定義畫出圖形即可；（2）利用角的定義作射線DC，DB即可；（3）連接AC，與BD的交點即為所求．【詳解】解：（1）如圖所示：直線AB、射線AD即為所求；（2）如圖所示：∠CDB即為所求；（3）如圖所示：點P即為所求．【點睛】此題主要考查了直線、射線以及角的定義，正確把握相關定義是解題關鍵．5．D【分析】先利用中點的含義及線段的和差關系證明再逐一分析即可得到答案.【詳解】解：C為AD的中點，，則故A不符合題意；，則同理：故B不符合題意；，則同理：故C不符合題意；，則同理：故D符合題意；故選D【點睛】本題考查的是線段的和差關系，線段的中點的含義，掌握“線段的和差關系即中點的含義證明”是解本題的關鍵6．①③④【分析】①由題意可知隨著C的運動，D、P、E都在動，故正確；②可以推得當C點在AB中點左邊（不含中點）運動時，AC<BC，故錯誤；③由題意及中點的性質可知正確；④由題意，當AC=BC時，C為DE中點，根據已知，P也為DE中點，所以點P與點C重合．【詳解】解：①∵點C是線段AB上的一個動點（不與A，B重合），點D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點，∴D、E隨著C的運動而運動，點P隨著D、E的運動而運動，因此，隨著C的運動，D、P、E都在動，∴本選項正確；②∵∴當C點在AB中點左邊（不含中點）運動時，由于AC<BC，∴AD<BE，本選項錯誤；③由題意可知：，∴，即AB=2DE，∴本選項正確；④由③可知，當AC=BC時，DC=EC，所以C為DE中點，又P也為DE中點，∴點P與點C重合，∴本選項正確．故答案為①③④．【點睛】本題考查中點的應用，熟練掌握中點的意義和性質并靈活應用是解題關鍵．7．D【分析】根據題中的已知條件，結合圖形，對結論進行一一論證，從而選出正確答案．【詳解】解：是的三等分點，，，，，，，，故①正確；，，，，是線段的中點，，，，故②正確；，，，，，故③正確；，，，，，故④正確；綜上，正確的有①②③④，故選：D．【點睛】本題考查了兩點間的距離，中點的定義，用幾何式子正確表示相關線段，結合圖形進行線段的和差計算是解題的關鍵．8．C【分析】根據AB=30，BC比AC的4倍少20可分別求出AC與BC的長度；分別表示出BM、BQ，由QM=BM+BQ即可得QM的值；由N為QM的中點得NQ=QM可得NQ的值；當BQ=PB時，可得30-2t=t，此時t=10秒，綜上所述即可得結論．【詳解】∵AB=30，BC比AC的4倍少20，∴AC=10，BC=20，∴BC=2AC，①正確；∵P、Q兩點的運動速度分別為2單位/秒和1單位/秒的速度，∴BP=30-2t，BQ=t，∵M為BP的中點，N為QM的中點，∴PM=MB=15-t，MQ=MB+BQ=15，NQ=7.5，∴運動過程中，QM的長度保持不變，AB=4NQ，②③正確；∵PB=30-2t，BQ=t，當BQ=PB時，，∴30-2t=t，解方程得：t=10，④錯誤；∴①②③項結論正確．故選C．【點睛】本題考查線段中點的性質，兩點間的距離，解題的關鍵是運用數形結合的思想推出相關線段之間的關系式.9．(1)(2)的長度是【分析】（1）根據線段的和差關系，可得，根據點M是AC的中點，可得；（2）由，求得,根據點M是AC的中點，求得，根據即可求解．【詳解】（1）解：線段，，∴，又∵點是的中點．∴，即線段的長度是；（2）解：∵，，∴，又∵點是的中點，，∴，∴，即的長度是．【點睛】本題考查了線段和差的計算，線段中點的定義，數形結合是解題的關鍵．10．；；；或；；；；2；14【分析】根據線段之間的關系按照推理過程即可解答．【詳解】設，∵，∴，∴，∵C為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；；；或；；；；2；14．【點睛】本題考查了兩點間的距離以及推理過程的完整書寫，解題的關鍵是正確理解題干中的信息和把握圖中的線段關系．11．【分析】根據等式的性質，可得與的關系，與的關系，根據線段中點的性質，可得與的關系，與的關系，根據線段的和差，可得的長，根據線段的和差，可得答案．【詳解】解：∵，∴，．∵點M、N分別是線段、的中點，，．∵，，∴．解得．∴．【點睛】本題考查了線段的和差，線段中點的性質，熟練的利用線段的和差倍分關系建立方程解題是關鍵．12．（1）6；（2）①；②【分析】本題考查線段的中點、線段的和差，解題的關鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．（1）由中點的定義可得，然后根據求解即可；（2）①由，可得，然后根據求解即可；②仿照（2）的過程求解即可．【詳解】解：（1），分別是，的中點（2）①；②．13．(1)(2)分鐘(3)分鐘或分鐘或48分鐘【分析】（1）根據8：30時，時針與分針的夾角是2.5個大格，可得所夾的銳角的度數；（2）計算出8：00時時針與分針所夾鈍角的度數，設x分鐘后分針第一次追上時針，利用追擊問題列方程，即可求解；（3）分平分，平分，平分三種情況，利用角的和、差、倍數關系列方程，即可求解．【詳解】（1）解：8：30時，時針與分針的夾角是2.5個大格，，即分針與時針所夾的銳角的度數是．（2）解：設x分鐘后分針第一次追上時針．8：00時，時針與分針所夾鈍角是8個大格，，由題意，，解得，即8：00開始分鐘后分針第一次追上時針．（3）解：設運動m分鐘后，，，這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線．分三種情況：如圖①，當平分時，，∴，解得；如圖②，當平分時，，∴，解得；如圖③，當平分時，，∴，解得；綜上，運動分鐘或分鐘或48分鐘后，，，這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，以及角平分線的定義，能夠計算出任一時刻時針與分針之間的角度是解題的關鍵．14．【分析】根據題意可得當分針轉一圈再回到秒針左側時，秒針再次平分時針與分針夾角，此時經過的時間最少，分針每分鐘走，時針每分鐘走，根據題意得：，經過m分鐘后，，，列出方程，即可得出答案．【詳解】解：

∵3點整時，秒針正好是時針與分針夾角的角平分線，分針在秒針的左側，秒針不動，∴當分針轉一圈再回到秒針左側時，秒針再次平分時針與分針夾角，此時經過的時間最少，分針每分鐘走，時針每分鐘走，根據題意得：，經過m分鐘后，，，∵平分，∴，∴，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，角平分線的定義，正確理解題意列出方程是解題的關鍵．15．(1)(2)(3)18或54秒【分析】（1）根據，求出、即可．（2）設t秒后第三次重合，由題意得，解方程求出t，進一步即可求出的度數．（3）先用t的代數式表示和，然后根據求出t的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：當秒時，∴，，∴；（2）解：設t秒后第三次重合，由題意得，解得，．答：的度數為；（3）解：在與第一次重合前，直線不可能平分；在與第一次重合后第二次重合前，，依題意有，解得；在與第二次重合后第三次重合前，直線不可能平分；在與第三次重合后第四次重合前，，，依題意有，解得．故當或秒時，直線平分．故答案為：18或54秒．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．16．(1)30°(2)(3)分鐘【分析】（1）根據角平分線的定義即可得出答案；（2）根據題意分類討論，分為射線OC在∠AOB內部和外部兩種情況計算即可；（3）根據鐘表轉動求出時針和分針轉動的速度，再根據分針轉動的角度-時針轉動的角度=∠AOB增加的度數，建立方程解出答案即可．【詳解】（1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴；（2）當射線OC在∠AOB內部時，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴，∴；當射線OC在∠AOB外部時，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴，∴；綜上所述，∠MON的度數為；（3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°∴設經過x分鐘后，∠BOM的度數第一次等于50°，∵分針OB的運動速度為每分鐘轉動：，時針OA的運動速度為每分鐘轉動：，∴，解得，所以經過分鐘后，∠BOM的度數第一次等于50°．【點睛】本題考查了角平分線的定義，分類討論思想，一元一次方程的應用之行程問題，分類討論思想和方程思想是本題的關鍵．17．①②④【分析】根據，，得到，進而得到，根據是的平分線，得到，再根據角之間的和差，倍數關系，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴；故①正確；∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，故②正確；∵，，∴，∴，∵，∴，故③錯誤；∵，，∴；故④正確；故答案為：①②④．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角度之間的和差，倍數關系，是解題的關鍵．18．C【分析】根據角平分線的定義和角的和差逐一進行判斷即可．【詳解】A、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴OB、OC分別平分∠AOC、∠BOD，故正確；B、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∴∠AOD=∠AOB+∠AOC，故正確；C、∵∠BOC═∠AOC-∠AOB，∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=∠AOD，∴∠BOC=∠AOD-∠AOB，故錯誤；D、∵∠AOB=∠COD，∴∠COD=∠AOD-∠BOC-∠AOB，∴2∠COD=∠AOD-∠BOC，∴∠COD=(∠AOD-∠BOC)，故正確，故選C．【點睛】本題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義和角的和差是解題的關鍵．19．B【分析】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，熟練的運用角的和差關系探究角與角之間的關系是解本題的關鍵．先求解利用角平分線的定義再求解從而可得答案．【詳解】解：平分故選：B．20．①②④【分析】①根據平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結論；②根據角度之間的關系得出，得出，即可得出結論；③無法證明；④根據，得出，，即可得出結論．【詳解】解：①∵平分，平分，平分，∴，，，，，即，∴，故①正確；②∵，∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯誤；④根據解析②可知，，∴，∵，∴，故④正確；綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查了角平分線的有關計算，根據角度之間的關系得出，是解題的關鍵．21．(1)，(2)①；②【分析】本題考查了角平分線的定義，角的計算，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．（1）根據，求解即可；（2）①根據角平分線的定義可得，，根據列方程，求出的值，再根據計算即可；②分兩種情況：當時，當時，分別根據角平分線的定義，角的和差計算即可．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，又；（2）①恰好平分，，，為的平分線，，，，，，；②分情況討論：當時，

，，為的平分線，，，；當時，

，，為的平分線，，，；綜上所述，．22．【分析】由余角的定義可求得，再由角平分線的定義可得，即可求的度數．【詳解】解：，，，平分，，，．【點睛】本題主要考查余角，角平分線的定義，解答的關鍵是結合圖形分析清楚各角之間的關系．23．(1)(2)【分析】（1）由已知得出，由角平分線定義得出，，即可得出答案；（2）由已知得出，由角平分線定義得出，即可得出答案．【詳解】（1）∵，∴，∵為的角平分線，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵為的角平分線，∴，即，∴，即．【點睛】本題考查了角的計算以及角平分線定義；弄清各個角之間的關系是解題的關鍵．24．(1)180，140，70，160(2)正確，理由見解析，或(3)或【分析】（1）根據平角定義和角平分線的定義補充即可；（2）由題意，還有在的外部時的情況，根據平角定義求解即可；（3）由題意，，，分在的內部和在的外部，由求出即可．【詳解】（1）解：∵點O在直線上，∴，∵，∴，，∴平分，∴，∵，，∴，故答案為：180；140；70；160；（2）解：正確，理由如下：當在的外部時，如圖所示：

∵點O在直線上，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，綜上所述，或；（3）解：∵，，∴，，當在的內部時，如圖，

∵，∴平分，∴，即∴，解得：；當在的外部時，如圖，

∵，∴，∵，∴，解得：，綜上，或．【點睛】本題考查角的運算、角平分線的有關計算、平角定義，能根據圖形進行角度運算，能利用分類討論思想解決問題是解答的關鍵．25．6或10或16【分析】由于沒有圖形，故四點相對位置不確定，分：點C在B的左側、右側，點D在C的左側、右側等，不同情況畫圖分別求解即可．【詳解】解：I．當點C在B的右側，點D在C的左側時，如圖：

，，，，II．當點C在B的右側，點D在C的右側時，如圖：

，III．當點C在B的左側，點D在C的左側時，如圖：

，點A、D重合，不合題意，IV．當點C在B的左側，點D在C的右側時，如圖：

，點A、D重合，不合題意，綜上所述：的長為6或10或16故答案為：6或10或16．【點睛】本題主要考查兩點間的距離，解題的關鍵是根據點的不同位置進行分類討論、利用線段之間的和差關系得到的長度．26．(1)6(2)6.75cm(3)3.75cm或9.75cm【分析】（1）根據線段的定義找出線段即可；（2）根據線段的中點和兩條線段的和的定義，求出結果；（3）由于點在直線上的具體位置不確定，故應分點在點的左邊和點在點的右邊兩種情況分別求解．【詳解】（1）圖中有6條線段，它們是線段，，，，，．故答案為：6．（2）點是線段的中點，，，點是線段的中點，，（3）當點在點的左邊，，，當點在點的右邊，，故答案為：3.75cm或9.75cm．【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，線段中點的定義和線段和差的定義，熟練掌握各線段之間的和差以及倍數關系是解本題的關鍵．27．(1)或9(2)；(3)線段運動的時間為或．【分析】（1）①當點C在點B的左側時，②當點C在點B的右側時，根據線段的和差即可得到結論；（2）設，則，根據線段中點的定義得到，，于是得到結論；（3）線段運動的時間為t，則，，列方程即可得到結論．【詳解】（1）解：①當點C在點B的左側時，∵，∴，∴；②當點C在點B的右側時，∵，∴，∴線段或9；故答案為：7或9；（2）解：設，則，∵點P、Q分別為、的中點，∴，，∴；（3）解：線段運動的時間為t，則，∴或，，∵點N是線段的中點，∴，∵，∴或，解得：或．故線段運動的時間為或．【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，依據線段的和差關系列方程是解決問題的關鍵．28．C6或14【分析】（1）由折中點的含義、線段和差關系，可得，即可確定答案；（2）分兩種情況：點D在線段上與點D在線段上，利用中點的意義及折中點的含義即可求解．【詳解】（1）解：由折中點含義得：，而，，∴，∴，即點D與點C重合；故選：C；（2）解：當點D在線段上時，則，∴；∵E為線段中點，，∴，∴；當點D在線段上時，如圖，

則，∴；∵E為線段中點，，∴，∴；綜上，的長為或；故答案為：6或14．【點睛】本題考查了線段的和差運算，線段中點，新定義折中點等知識，分類討論，結合圖形利用線段的和差倍分關系是解題的關鍵．29．(1)(2)的度數為24°或120°(3)170°或140°【分析】（1）根據角平分線的定義即可求解；（2）分情況討論當射線在上方和下方，即可求解；（3）【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴；（2）解：①如圖1，當射線在上方時，，

∵，∴，∴；②如圖2，當射線在下方時，，

∵，∴，∴；∴的度數為24°或120°．（3）解：170°或140°．【點睛】本題考查了角平分線的定義，角的倍數關系等．根據題意進行分類討論是解題關鍵．30．或【分析】分兩種情況討論：①當在的內部時；②當在的外部時，分別求解即可得到答案．【詳解】解：①如圖，當在的內部時，

，，，；②如圖，當在的外部時，

，，，；綜上可知，的度數為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了角度的和差計算，利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．31．或或【分析】分當在外部，在內部時，當在外部，在外部時，當在內部，在外部時，三種情況畫出圖形求解即可．【詳解】解：如圖所示，當在外部，在內部時，，，，，；如圖所示，當在外部，在外部時，，，，，；如圖所示，當在內部，在外部時，，，，，；綜上所述，的度數