矩陣試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設矩陣\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(B\)為\(3\times2\)矩陣，則下列運算可行的是（）A.\(AB\)B.\(BA\)C.\(A+B\)D.\(A-B\)2.若矩陣\(A\)的秩\(r(A)=2\)，\(A\)是\(4\times3\)矩陣，則（）A.\(A\)的所有二階子式都不為零B.\(A\)的所有二階子式都為零C.\(A\)至少有一個二階子式不為零D.\(A\)至少有一個三階子式不為零3.設\(A\)，\(B\)為同階可逆矩陣，則（）A.\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)B.\((AB)^{T}=A^{T}B^{T}\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\(AB=BA\)4.單位矩陣\(E\)滿足（）A.\(AE=A\)，\(EA=A\)（\(A\)為任意矩陣）B.\(AE=E\)，\(EA=E\)C.\(AE=A\)，\(EA=E\)D.\(AE=E\)，\(EA=A\)5.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的伴隨矩陣\(A^{}\)為（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}4&-3\\-2&1\end{pmatrix}\)6.設\(A\)是\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）元素對應成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）元素全為零D.\(A\)的行向量組線性無關7.若矩陣\(A\)經過初等行變換化為矩陣\(B\)，則（）A.\(A\)與\(B\)相似B.\(A\)與\(B\)合同C.\(r(A)=r(B)\)D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)8.設\(A\)為\(n\)階對稱矩陣，則（）A.\(A^{T}=-A\)B.\(A^{T}=A\)C.\(A^{-1}=A\)D.\(A^{2}=A\)9.矩陣\(A\)的特征值\(\lambda\)滿足（）A.\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)B.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)C.\(\vert\lambdaA-E\vert=0\)D.\(\vertE-\lambdaA\vert=0\)10.設\(A\)為正交矩陣，則\(\vertA\vert\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(1\)或\(-1\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關于矩陣運算正確的是（）A.\((A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)B.\((kA)^{T}=kA^{T}\)（\(k\)為常數）C.\((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)D.\(A^{T}A\)是對稱矩陣2.下列矩陣中，可逆的是（）A.單位矩陣\(E\)B.對角矩陣\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)C.秩為\(n\)的\(n\)階方陣D.滿秩矩陣3.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(r(A)+r(B)\leqn\)D.\(A\)與\(B\)至少有一個不可逆4.矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)具有以下性質（）A.\(0\leqr(A)\leq\min(m,n)\)（\(A\)是\(m\timesn\)矩陣）B.\(r(A^{T})=r(A)\)C.若\(A\)可逆，則\(r(AB)=r(B)\)D.若\(A\)經過初等變換化為\(B\)，則\(r(A)=r(B)\)5.關于矩陣的特征值與特征向量，下列說法正確的是（）A.不同特征值對應的特征向量線性無關B.一個特征值可以對應多個線性無關的特征向量C.特征值\(\lambda\)滿足\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)D.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應的特征向量，則\(A\xi=\lambda\xi\)6.設\(A\)為\(n\)階方陣，下列條件中能推出\(A\)可對角化的是（）A.\(A\)有\(n\)個不同的特征值B.\(A\)的特征向量線性無關C.\(A\)的每一個特征值的幾何重數等于代數重數D.\(A\)是實對稱矩陣7.下列屬于矩陣的初等變換的是（）A.交換矩陣的兩行B.用一個非零常數乘以矩陣的某一行C.將矩陣某一行的\(k\)倍加到另一行D.交換矩陣的兩列8.若\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.\(r(A)=r(B)\)D.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項式9.對于實對稱矩陣\(A\)，以下說法正確的是（）A.實對稱矩陣\(A\)的特征值都是實數B.實對稱矩陣\(A\)一定可以正交相似對角化C.實對稱矩陣\(A\)對應不同特征值的特征向量正交D.實對稱矩陣\(A\)的秩等于其非零特征值的個數10.設\(A\)，\(B\)，\(C\)為同階矩陣，且滿足\(AB=AC\)，則（）A.當\(A\)可逆時，\(B=C\)B.當\(r(A)=n\)（\(n\)為矩陣階數）時，\(B=C\)C.若\(A\)為零矩陣，則\(B\)不一定等于\(C\)D.當\(A\)不可逆時，\(B\)一定不等于\(C\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)和\(B\)滿足\(AB=BA\)，則\(A\)和\(B\)一定是同階方陣。（）2.零矩陣的秩為\(0\)。（）3.若\(A\)為可逆矩陣，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^{}\)也可逆。（）4.兩個矩陣\(A\)和\(B\)，如果\(r(A)=r(B)\)，則\(A\)與\(B\)等價。（）5.矩陣\(A\)的特征向量一定是非零向量。（）6.若\(A\)為正交矩陣，則\(A^{T}A=E\)。（）7.一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的。（）8.若\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^{2}=A\)，則\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。（）9.矩陣的初等列變換不改變矩陣的秩。（）10.若\(A\)與\(B\)合同，則\(A\)與\(B\)有相同的秩。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，或\(r(A)=n\)，或\(A\)與單位矩陣\(E\)等價，或\(A\)可以表示為有限個初等矩陣的乘積。2.如何求矩陣的秩？答案：可通過對矩陣進行初等行變換化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數就是原矩陣的秩。也可通過計算矩陣的子式，其最高階非零子式的階數即為矩陣的秩。3.什么是矩陣的相似？答案：設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，若存在可逆矩陣\(P\)，使得\(P^{-1}AP=B\)，則稱矩陣\(A\)與\(B\)相似。相似矩陣有相同的特征多項式、特征值等。4.簡述實對稱矩陣的性質。答案：實對稱矩陣特征值為實數；不同特征值對應的特征向量正交；一定可正交相似對角化，即存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^{-1}AQ\)為對角矩陣；實對稱矩陣的秩等于其非零特征值的個數。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的初等變換在求解線性方程組中的應用。答案：將線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為行最簡形矩陣。從行最簡形矩陣可直接判斷方程組是否有解，有唯一解還是有無窮多解。有解時能方便地求出方程組的解，把行最簡形對應方程組回代求解。2.分析矩陣可逆性在矩陣運算中的重要性。答案：可逆矩陣在矩陣運算中非常關鍵。可逆矩陣可用于求解矩陣方程，如\(AX=B\)，當\(A\)可逆時\(X=A^{-1}B\)。在求逆運算、行列式計算等方面也有重要作用，比如\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)。而且可逆矩陣可分解為初等矩陣乘積，便于研究矩陣的性質和運算。3.探討矩陣的特征值與特征向量在實際問題中的應用。答案：在實際中，如在物理的振動問題、經濟的投入產出模型、圖像處理的主成分分析等方面有應用。特征值和特征向量能幫助分析系統的穩定性、主要因素等。例如在圖像處理中，利用特征值和特征向量可進行圖像壓縮、去噪等操作。4.論述如何判斷一個矩陣是否可對角化。答案：可從幾個方面判斷：若矩陣有\(n\)個不同特征值，則一定可對角化；若每個特征值的幾何重數等于代數重數可對角化；實對稱矩陣一定可對角化。還可通過判斷特征向量能否構成\(n\)維線性空間的一組基來判斷，若能則可對角化。答案一、單項選擇題1.A