工程流體力學

主講：馮進

長江大學機械工程學院

§2流體靜力學

流體靜止包括兩種情況：一是流體對絕對坐標系（地球）整體

是靜止的：另一種情況是流體整體對絕對坐標系是運動的，但流體內

部沒有相對運動，稱為相對靜止。研究絕對靜止和相對靜止液體的平

衡狀況，這是本章討論的內容。

§2.1液體靜壓強及其特點

一、壓強

在靜止或相對靜止的流體中，單位面積上沿內法線方向的表面

力稱為壓強。從靜止液體中，取一微元體（如圖），作用于上

沿的內法線方向的作用力為，則根據定義

二、靜壓強有兩個特點

1）.靜壓強的方向永遠沿著作用面的內法線方向，理由如

T：

Q）如果靜壓強不垂直于作用面，則可分解為正應力和切

應力。根據流體的特點，切應力存在必然引起相對運動，這與靜止液

體假設矛盾，故切應力必須為零。壓強垂直于作用面。

（2）正應力有拉應力和壓應力之分，假如壓強方向與作用面

外法線方向一致，那么流體受到拉力，根據流體特性，流體不能承受

拉應力，只能承受壓應力，故壓強方向與作用面內法線方向一致。

2）.靜止流體的某一點壓強大小與作用面的方位無關，任意一點

的靜壓強在各個方向上相等。

在靜止流體中，任取一四面體，則各面受力情況如圖示：

斜面BCD的壓力，如果質量力它在三個方向上的

分量為：，

。根據立體幾何知四面體的體積為：，

若流體的密度為P,根據理論力學可以寫出四面體上諸力對各坐標軸

的平衡方程式為：

§2.2靜止流體平衡微分方程

一、平衡微分方程

在靜止流體中圍繞某一點A取一六面體，A點的壓強為p,表面力

中只有沿內法線方向作用在六個面上的壓力，各個面上的壓強如圖示。

六面體的質量在坐標上的分量為：

首先，沿X方向建立平衡方程，即：

整理得：

(4)

同理在Y和Z方向上分別有：

(5)

(6)

因此，用矢量表示：

二、流體靜止時質量力必須滿足的條件

靜止流體的平衡微分方程可以寫成：

兩邊取旋度，有：

三、質量力有勢

對于靜止的不可壓縮均值流體，其密度P等于常數，靜止流

體的平衡微分方程可寫成：

兩邊取旋度，有：

上式說明對于靜止的不可壓縮均值流體，質量力有勢C

四、等壓面和等壓面方程

1.等壓面定義

若某連續(xù)曲面上各點的壓強相等，則稱為該曲面為等壓面。

不同流體的分界面等皆為等壓面，如自由界面、不同液體的分界面。

2.等壓面方程

按照多元函數全微分的定義，有：

故：

當某個面上壓強等于常數時，dp=Oo這時可以得到等壓面方程：

上式表明質量力沿等壓面移動，其做功為零，也說明質量力垂直于

等壓面，這是等壓面重要的性質。如果已知質量力方向，可求等壓面

的幾何形狀c當質量力僅為重力時，等壓面必定為水平面c互不摻混

的兩種流體的分界面也是等壓面。

§2.3絕對靜止液流體的壓強分布

一、絕對靜止流體的壓強基本方程

1.不可壓縮均值流體

絕對靜止液體所受到的質量力只有重力，取坐標軸如下圖所示，

則單位質量流體的質量力為：

根據平衡微分方程，有：

解得：

對于點1和2的關系，則有：

若質量力僅為重力，根據等壓面方程：

則有：

這說明絕對靜止流體的等壓面為水平面，自由界面上各點的壓力相等,

所以自由面為等壓面。

2.可壓縮流體

可壓縮流體的密度是隨壓強變化的，故不能象不可壓縮流體那樣

進行簡單積分，只有知道密度變化關系后才能積分。假設可壓縮流體

為氣體，對完全氣體的等溫過程，有：

Pu為等壓面2=2。面上的壓強。

二、測量標準

壓強的度量有兩種標準，一是絕對壓強標準，它以真空

為起點，物理真空情況下壓強為零。另一個是表壓強，它是以大氣壓

強為起點，把壓強等于一個大氣壓作為零。正值叫表壓強，負值叫真

空度。

壓強除了用pa的單位表示外，也常用液柱高度來表示，即：

代表某點的壓強所對應的液柱高度。常見有水銀柱壓力表和酒精柱

壓力表。

三、液柱式測壓儀器

測量壓強的儀表叫壓力表，利用液柱高度測量壓強稱為液

柱壓力表。之間的作用力在作用面上的表現。

L氣壓計

故，。因此,

2.測壓管

3.U形管壓力表

建立等壓面1?1,在等壓面上建立平衡方程：

4.U形管差壓計

建立等壓面1-1,在等壓面上建立平衡方程：

§2.4相對靜止流體

相對靜止是指流體整體對絕對坐標系（地球）有相對運動，但液

體內部各部分彼此間沒有相對運動。對于這樣的相對靜止流體，其壓

強和等壓面又是怎樣的呢？現在我們討論這個問題。

一、等加速直線運動容器中的液體

1.任意點的壓強

設盛有液體的容器沿水平面以加速度a作等加速直線運動，除受

到垂直向下的重力外，還受到慣性力的影響。慣性力大小等于液體的

質量乘以運動加速度，方向與運動方向相反。即有：

此時，壓強增量的全微分方程為：

枳分得：

積分常數C這樣選定，取坐標點（0,H）,即：

2.等壓面方程

根據等壓面方程，積分得：

由上式可見，C取不同的常數，代表不同的等壓面。等壓面很多，但

我們最關心的是自由面，即。自由面方程為：

二、等角速度旋轉容器中的液體

1.任意一點的壓強

.‘設表器以等角速度繞Z軸旋轉，此時流體相對于容器沒有相對運

動，同時流體之間也沒有相對運動，因此，作用于流體上的力有重力

和水平離心力。

2.等壓面方程

根據等壓面方程，積分得：

當r=0時，z=zo,p=po,為自由界面，故:

例：如圖示，有一圓柱形敞口容器，半盛以水，若已

知D=300mm,H=500mm,h=300mm。當此容器繞其立軸等角

速旋轉時，問當轉速n多大時，水面恰好達到容器的邊緣？作用在容

器底面上的靜水總壓力與旋轉前相比有什么不同？為什么？

§2.5平面上的液體總壓力

工程上進行結構設計時，如果這些結構與液體相接觸,

常常需要計算作用在面上的總壓力及其位置，總壓力的作用

點在流體力學中稱為壓力中心。現在通過下例來說明計算液

體作用在平面上的總壓力的一般原理。

如圖，平面AB是一個垂直于紙面并與水平面成的斜面，其面積為

S,根據靜壓強的物理性質。①某點的壓強在各個方向上相等，②

作用方向與作用面的內法線方向一致。故作用在平面上各點的力的方

向是相同的，屬于平行力系。因此，可根據力學原理來求液體的總壓

力的大小和作用點。

一、平面與液體接觸側的總壓力及其作用點

L總壓力的大小

設液面上受到的大氣壓強為Pa，平面的一側與液體接觸，另側與

大氣接觸或不接觸。當另側與大氣接觸時也受到大氣壓強的作用。現

在討論與液體接觸側斜面上的壓力。在點（0,y）處，壓強有：

2,總壓力的作用點（壓力中心）

總壓力的作用點在流體力學上稱為壓力中心。根據力學上平行力

系的力矩原理，諸分力對某軸的力矩之和等于合力對該軸的力矩。對

X軸求力矩有：

二、平面與大氣接觸側的總壓及作用點

當平面的另一側與大氣接觸時，作用于該側面的總壓力

為：

對X軸的力矩。

當平面的另一側與大氣不接，有：

三、平面受到的總壓力及其壓力中心

當平面另一側未受到大氣作用時，總壓力P=Pg壓力中心Y產YD內。

當平面外側受到大氣壓作用時，總壓力為：

壓力中心為：

例1：如圖示，一直徑為1ID的園形平板閘閥與水平面成夾角a=30°,

用較鏈連于。點，Ho=5叫閘門質量1000kg。背面暴露在大氣中，求

①閘閥受到的液體總壓力和壓力中心；②為保持閘門關閉，水平力F

應為多大？

解1）求作用在閘門上的總壓力

液面上作用有大氣壓，閘門背面也作用有大氣壓，故在

計算時可以不考慮大氣壓強的影響。總壓力為：

2）求壓力中心

3）求F

根據力矩平衡原理，作用在閘板的諸力對錢結點的力矩和為零。

故：

2

對于圓來說形心必在圓心，yc=R，S=nRe對通過形心的X軸的慣性

矩。

例2：如圖示，有一圓柱形容器，直徑D=l,2m,頂蓋上在ro=O.43m處

開一小孔，安裝敞口測壓管。完全充滿水，當此容器繞其立軸旋轉時

測壓管中的水位y=0.5m。問多大轉速n下使頂蓋受到的靜水總壓力

為零？

§2.6曲面上的液體總壓力

在平面上由于各點的壓強方向相互平行且成線性變化，因此，求

解總壓力是比較容易的。而在曲面上，由于各點隨深度的變化不是直

線變化，且方向也不相同，這樣就增加了分析問題的復雜性。為了方

便起見，以1/4園柱面為例來分析，所得結論將同樣適合于空間曲面。

這里僅研究液體與曲面接觸側的壓力。

例：貯水容器上有三個半球形的蓋，設D=0.5m,h=l.5m,H=2.5m。

試求作用在每個蓋上的總壓力的大小。

§2.7物體在絕對靜止液體中的受力

一、浮體和潛體

在靜止流體中的物體存在兩種狀態(tài)，一種情況是物體部分

淹沒在液體中，另一部分暴露在氣體中，這時把物體稱為浮體。另一

種情況是物體完全淹沒在液體中，這時把物體稱為潛體。無論是浮體

或潛體，要受到液體對它的作用力，其合力稱之為浮力，方向與重力

方向相反。

二、物體受到的浮力

1.絕對靜止液體中任意點的壓強

2.物體在絕對靜止液體中受到的作用力

上式表明物體在絕對靜止液體中受到的浮力方向向上，其大小等于被

物體排開的液體的重量。

三、物體在絕對靜止液體中受到的浮力矩

浮力對坐標原點的力矩可表示為：

四、物體在絕對靜止液體中的平衡及其穩(wěn)定性

1.物體在絕對靜止液體中的平衡

物體在絕對靜止液體處于平衡位置時，必須滿足：重力與浮力的

平衡，重力對某點的力矩與浮力對同一點的力矩的平衡。根據平衡條

件，要求重力與浮力大小相等方向相反，且作用線重合。設物體的質

量為m,其質心坐標為（xc,Vc，zc）,則重力與浮力的平衡關系

有：

重力對坐標原點的力矩為：

則重力與浮力的力矩平衡關系有：

故：

因此，重心C（