18.4整數指數冪

(課時1)第十八章分式人教版(2024)素養目標1.探索負整數指數冪的意義，掌握整數指數冪的運算性質；2.能熟練運用整數指數冪的運算性質進行計算.隨著我們認識的數的范圍不斷擴大，數的運算也在不斷推廣.例如，加法運算從非負整數范圍推廣到非負有理數范圍，再到有理數范圍.同樣地，對于冪的運算a,

是否也可以從正整數指數冪推廣到更大的范圍呢?新知導入■溯源冪的符號的演變經歷了漫長的時間，

a2,a3,a?的一些表示如圖所示：Aq,Acu,Aqq哈里奧特(Harriot,1560

1621)a2,a3,a?韋達(Vietè,1540—1603)16世紀3世紀丟番圖笛卡兒1637年△'△aaa,

aaa,

aaaa,

K'

,17世紀探究新知1676年，牛頓提出了一個設想：“因為數學家將aa,aaa,aaaa,…,寫成a2,a3,a?.…,

所以我將1,1,1,

…

,

寫

成a1,a2,a33...”a

aaaaa【思考】你認為牛頓的這個設想合理嗎?即，如果am中的m可以是負整數，那么負整數指數冪am表示什么?把正整數指數冪的運算性質am÷a"=am-n(a≠0,m,n

都是正整數

，m>n)中的條件m>n去掉，即假設這個性質對于像a3÷a?的情形也能使用，則有a3÷a?=a3-5=a-2探究新知由分式的約分可知，當a≠0

時

，由上面兩式，如果規定

,就能使am÷a"=am-n這條性質也適用于像a3÷a?這樣的情形.am÷a"=am-n(a≠0,m,n

是正整數)

.可以m>n;可以m=n;可以m<n.探究新知a3÷a?=a3-5=a-2負整數指數冪的意義a-n(a≠0)

屬

于分式這

就

是

說

，a-n(a≠0)是

a”的倒數

.一般地，當

n

是正整數時，歸納總結探究新知引入負整數指數冪后，指數的取值范圍就擴充到全體整數.【思考】引入負整數指數和0指數后，正整數指數冪的運算性質am·an=am+n(m,n

是正整數)能否推廣到m,n是任意整數的情形?【總結】一般地，am

·a"=am+n這條性質對于m、n

是任意整數的情形仍然適用.a?3oa??ca(-3)+(-5)a?oa??ca?+(-5)a3oa??ca3+(-5)探究新知探究新知事實上，隨著指數的取值范圍由正整數推廣到全體整數，這些運算性質也推廣到整數指數冪.整數指數冪的運算性質：

(am)"=amn(m,n

是整數);(ab)”=ab”(n

是整數);am÷a"=am-n(a≠0,m,n是整數);

是

整

數

)

;am"·a"=am+n(m,n是

整

數

)

;例題練習計

算

:

(

1

)a-2÷a5

(2) (3)(a1b33(4)a“bo(a2b“).(4)a?2b2·(a2b-2)?3=a?2b2.解：(1)(2)根據整數指數冪的運算性質，當m,n

為整數時，am÷an=am-n,am·a-n=am+(-n)=am-n,因

此am÷a"=am

·a-n即同底數冪的除法am÷a”可以轉化為同底數冪的乘法am

·a-n探究新知D一b即商的乘方

可以轉化為積的乘方(aob?1)”.特別地

,所以探究新知■練

習

1

若

(x-1°+(2x-3)2

有意義，那么x

的取值范圍是(D)A.x≠0

B.x≠1

C.

解析：由題意得，x-1≠0,2x-3≠0,

即x≠1且

x≠

故選：D.

練

習

2

下列計算正確的是(D

)A.(-1)?=-1B.(-1)?1=1

D

解

析

：A、(-1)°=1,故本選項不符合題意；B

、(-1)?1=-1,

故本選項不符合題意；,故本選項不符合題意；故本選項符合題意，故選：

D.解

析

：A、

當a≠0時，有a?=1,

故

A錯

誤

；B、x?÷x2=x2,故

B錯

誤

；

,故C

錯

誤

；D

、

,故D

正確.故選：D.X練

習

3下列各式計算正確的是(D

)A.a?=1

B.x?÷x2=x?D練

習

4若

,則

a,b,c,d

的大小關系為(A

)A.d>c>a>b

B.d>a>c>bC.a>b>c>dD.c>b>a>d解析

因力0A.a<b<d<c

B.a<b<c<dC.b<a<d<cD.a<c<b<d,所以a<b<d<c.故選A.練習5

若a=-22,b=2-2,解析。因力a=2,

則(A

)練

習

6計算.

(1)解(1)舊(2)原式[(2-a)(2+a)]=3(2-a)+(a+2)=6-3a+a+2=8-2a.練習7計算：(1)x?÷x3·x?;

(2)x?-(x2x3);

(4)

角解(1)原式一

(2)原式=x?÷(3)原式

=m1?÷m?·m1=m1?-0+(-1)=m1?(

4

)

原

式

=(

-xy)?3÷(xy)??=-(xy)-3+?=-xy.(2)(m2)3÷m?;(4)(-mn)?÷(-mn)?3.(2)原式

(4)原式=(-mn)?-(-3)=(-mn)?=m?n?

.練習8計算：(1)x2÷x?;(3)y?2÷y°·y?;解：(1)原式=x2-(-5)=x?(

3

)

原0整數指數冪