第十五章

軸對稱

15.3等腰三角形15.3.1等腰三角形第2課時

等腰三角形的判定學習目標學習重難點

難點重點理解和運用等腰三角形的判定定理.1.掌握等腰三角形的判定定理.2.能運“等腰三角形的判定定理”進行證明和計算.3.培養論證幾何圖形問題的能力，體會證明的必要性.探索并掌握等腰三角形的判定的過程，并用以解決實際問題.復習導入

1.等腰三角形是怎樣定義的？有兩條邊相等的三角形,叫作等腰三角形.①等腰三角形是軸對稱圖形.③等腰三角形底邊上的中線、高及頂角平分線重合(簡寫成“三線合一”).②等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)

.2.等腰三角形有哪些性質？既是性質又是判定ABCD新課講授知識點1等腰三角形的判定

思考

我們知道，如果一個三角形有兩條邊相等，那么它們所對的角相等.反過來，如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊有什么關系？猜想

如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊相等.你能證明這個結論嗎？已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C．求證：AB=AC．如圖，作△ABC的角平分線AD.

在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴AB=AC.

證明：ACBD你能得到什么結論呢？知識要點等腰三角形的判定有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡寫成“等角對等邊”）.幾何語言：如圖，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴

AB=AC．ABC應用“等角對等邊”的前提條件是在同一個三角形中.這又是一個判定兩條線段相等的根據之一

即△ABC為等腰三角形.ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對等邊）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對等邊）.錯，因為都不是在同一個三角形中.如圖,下列推理正確嗎?辨一辨“等邊對等角”與“等角對等邊”的區別：等腰三角形的性質：兩邊相等這兩邊所對的角相等（等邊對等角）等腰三角形的判定：兩角相等這兩角所對的邊相等（等角對等邊）總結例1求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.分析：要證明AB=AC，可先證明∠B=∠C.因為∠1=∠2.所以可以設法找出∠B，∠C與∠1，∠2的關系.已知：如圖，AD是△ABC的外角∠CAE的平分線，AD//BC.求證：AB=AC.ABCDE12例題解讀證明：∵AD//BC，

∴∠1=∠B,（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠C.（兩直線平行，內錯角相等）又AD平分∠CAE，∴∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC.（等角對等邊）．ABCDE12AB//CD，∠1=∠2∠1=∠B,∠2=∠C∠B=∠CAB=

AC變式

如圖，已知OC是∠AOB的平分線，CD//OB交OA于點D.

求證：△DOC是等腰三角形.證明：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，∵CD∥OB，∴∠DCO=∠BOC，∴∠AOC=∠DCO，∴OD=CD,∴△DOC是等腰三角形.角平分線+平行線可以推出等腰三角形.解：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°.∵∠DBC=36°，∴∠2=∠ABC-∠DBC=36°.∴∠1=∠A+∠2=72°，∴∠A=∠2，∠ABC=∠C=∠1，∴AD=BD=BC，AB=AC.圖中的等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD.1.如圖,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分別計算∠1,∠2的度數,并說明圖中有哪些等腰三角形.21ACDB練一練作法：如圖.（1）作線段AB=a.（2）作線段AB的垂直平分線MN，與AB相交于點D.（3）在MN上取一點C，使得DC=h.（4）連接AC，BC.則△ABC就是所求作的等腰三角形.例2尺規作圖：已知等腰三角形的底邊長為a，底邊上的高的長為h，求作這個等腰三角形.ahABCDMN小結等腰三角形的判定等角對等邊注意是在同一個三角形中有兩個角相等的三角形是等腰三角形定義1．下列條件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是()A．BC＝3，AC＝3，AB＝4B．BC∶AC∶AB＝2∶3∶4C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2B隨堂小測2．（教材P81練習T1變式）如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，∠ABD＝36°，∠C＝72°，則圖中的等腰三角形有

個．33．（教材P81練習T3變式）如圖，已知AC和BD相交于點O，AB∥DC，OA＝OB＝4.若OC＝3，則BD的長為()A．5B．6C．7D．8C4．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于點M，交AC于點N.若BM＋CN＝8，則線段MN的長為

．85．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于點E，ED⊥AB于點D.求證：AD＝BD.6．作圖題．（要求：用直尺和圓規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）已知：線段a和∠α（如圖）．求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠A＝∠α.解：如圖．7．（2024·遵義期末）如圖，已知∠AOB＝50°，點C，D分別在OA，OB上，OC＝OD.進行如下操作：①分別以C，D為圓心，大于CD的長為半徑畫弧交于點P；②點E在OA上，以E為圓心，EO為半徑畫弧，交射線OP于點F，連接EF.則∠EFO的度數為()A．20°B．25°C．30°D．45°B8．如圖，在四邊形ABCD中，BA＝BC，對角線BD是∠ADC的平分線．若∠ADC＝60°，DC＝3，∠ABD＝3∠CBD，則AD＝

．69．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE相交于點O，給出下列三個條件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三個條件中，由哪兩個條件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序號寫出所有成立的情形）(2)請選擇(1)中的一種情形，寫出證明過程.解：(1)①②；①③；(2)選擇①③.證明如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠EBO＝∠DCO，∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．（選擇①②，證明過程略）10．

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點D為AB的中點，已知點P在線段BC上由點B出發向終點C運動，同時點Q在線段CA上由點C出發向終點A運動，設運動時間為ts.(1)若點P的速度是3cm/s，用含t的式子表示線段BP＝

cm，CP＝

cm；(2)若點P的速度是3cm/s，點Q的速度是acm/s，且△BPD和△CPQ恰好全等，求出相對應的a和t的值；(3)若點P比點Q的運動速度每秒快1cm，請直接寫出t為何值時，△BPD是以∠B為頂角，△CPQ是以∠C為頂角的等腰三角形．解：(1)3t

(8－3t)

(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD和△CPQ全等有兩種情況：當△B