第25課時(shí)衛(wèi)星變軌問題雙星模型目標(biāo)要求1.會(huì)處理人造衛(wèi)星的變軌和對(duì)接問題。2.掌握雙星、多星系統(tǒng)，會(huì)解決相關(guān)問題。3.會(huì)應(yīng)用萬(wàn)有引力定律解決星球“瓦解”和黑洞問題。考點(diǎn)一衛(wèi)星的變軌和對(duì)接問題1.衛(wèi)星發(fā)射模型人造衛(wèi)星的發(fā)射過程一般要經(jīng)過多次方可到達(dá)預(yù)定軌道，如圖所示。(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向先發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有GMmr12＝(2)在A點(diǎn)(近地點(diǎn))點(diǎn)火加速，由于速度變大，所需向心力變大，GMmr12<mvA2(3)在橢圓軌道B點(diǎn)(點(diǎn))，GMmr22>mvB2r2，將做近心運(yùn)動(dòng)，再次點(diǎn)火加速，使G若使在軌道Ⅲ運(yùn)行的宇宙飛船返回地面，應(yīng)如何操作？2.變軌過程中幾個(gè)物理量的大小比較(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點(diǎn)和B點(diǎn)速率分別為vA、vB，在A點(diǎn)加速，則vAv1，在B點(diǎn)加速，則v3vB，又因?yàn)関1v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都。同理，經(jīng)過B點(diǎn)加速度也。(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑為r1、r2(半長(zhǎng)軸)、r3。由開普勒第三定律r3T2＝k，可知有T1T2<(4)機(jī)械能：衛(wèi)星在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機(jī)械能分別為E1、E2、E3，從軌道Ⅰ到軌道Ⅱ、從軌道Ⅱ到軌道Ⅲ，都需要點(diǎn)火加速，則E1E2E3。(5)引力勢(shì)能：物體在萬(wàn)有引力場(chǎng)中具有的勢(shì)能叫作引力勢(shì)能，若取兩物體相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)的引力勢(shì)能為零，一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)距質(zhì)量為M的引力源中心為r時(shí)，其引力勢(shì)能為Ep＝－GMmr(G為引力常量)。設(shè)衛(wèi)星在A點(diǎn)、B點(diǎn)的引力勢(shì)能分別為EpA、EpB，則EpAEpB例1(2024·浙江杭州市期中)2022年11月，“天舟五號(hào)”貨運(yùn)飛船僅用2小時(shí)就與“天宮”空間站快速交會(huì)對(duì)接。飛船從預(yù)定軌道Ⅰ的A點(diǎn)第一次變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí)，再次變軌進(jìn)入空間站的運(yùn)行軌道Ⅲ，與空間站實(shí)現(xiàn)對(duì)接，假設(shè)軌道Ⅰ和Ⅲ都近似為圓軌道，不計(jì)飛船質(zhì)量的變化，則飛船()A.在軌道Ⅰ上的線速度大于第一宇宙速度B.在軌道Ⅰ上的運(yùn)行周期小于空間站的運(yùn)行周期C.第一次變軌需加速，第二次變軌需減速D.在圓軌道Ⅰ與橢圓軌道Ⅱ上A點(diǎn)的加速度不同例2(2025·江西撫州市模擬改編)北京時(shí)間2024年4月26日神舟十八號(hào)載人飛船與在軌飛行的天和核心艙順利實(shí)現(xiàn)徑向自主交會(huì)對(duì)接，整個(gè)交會(huì)對(duì)接過程歷時(shí)約6.5小時(shí)。為實(shí)現(xiàn)神舟十八號(hào)載人飛船與空間站順利對(duì)接，飛船安裝有幾十臺(tái)微動(dòng)力發(fā)動(dòng)機(jī)，負(fù)責(zé)精確地控制它的各種轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)。對(duì)接前飛船要先到達(dá)和空間站很近的相對(duì)靜止的某個(gè)停泊位置。為到達(dá)這個(gè)位置，飛船由慣性飛行狀態(tài)轉(zhuǎn)入發(fā)動(dòng)機(jī)調(diào)控狀態(tài)，下列說法正確的是()A.飛船先到空間站同一圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適位置減速靠近即可B.飛船先到與空間站圓周軌道垂直的同半徑軌道上運(yùn)動(dòng)，在合適位置減速靠近即可C.飛船先到空間站軌道下方圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適的位置減速即可D.飛船先到空間站軌道上方圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適的位置減速即可例32024年6月25日，嫦娥六號(hào)返回器準(zhǔn)確著陸于預(yù)定區(qū)域，實(shí)現(xiàn)世界首次月球背面采樣返回。嫦娥六號(hào)返回器從月球歸來初入大氣層時(shí)的速度可以接近第二宇宙速度，為避免高速帶來的高溫過載風(fēng)險(xiǎn)，采用了“半彈道跳躍式返回”減速技術(shù)。如圖所示，返回器從a點(diǎn)第一次進(jìn)入大氣層，調(diào)整返回器姿態(tài)，使其經(jīng)b點(diǎn)升高，再?gòu)腸點(diǎn)“跳”出大氣層，在太空中瀟灑地打個(gè)“水漂”，升高到距地面高度為h的d點(diǎn)后，再次從e點(diǎn)進(jìn)入大氣層返回地球。假設(shè)返回器從c點(diǎn)到e點(diǎn)的過程為無(wú)動(dòng)力飛行。已知地球表面重力加速度為g，地球的半徑為R，引力常量為G。結(jié)合以上信息，下列說法正確的是()A.從a點(diǎn)到c點(diǎn)的過程中，返回器機(jī)械能守恒B.在d點(diǎn)，返回器的速度大于第一宇宙速度C.在d點(diǎn)，返回器的加速度大小為gD.在e點(diǎn)返回器處于超重狀態(tài)考點(diǎn)二雙星或多星模型1.雙星模型(1)繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖所示。(2)特點(diǎn)①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，②兩星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩星的軌道半徑與它們之間的距離的關(guān)系為r1+r2＝L。(1)若兩星運(yùn)行的線速度大小分別為v1、v2，加速度大小分別為a1、a2，質(zhì)量分別為m1、m2，則v、a與軌道半徑r、兩星質(zhì)量的關(guān)系怎樣？(2)兩星之間的距離L、周期T與總質(zhì)量(m1+m2)的關(guān)系怎樣？例4(多選)(2025·河南安陽(yáng)市開學(xué)考)“雙星系統(tǒng)”由相距較近的兩顆恒星組成，每顆恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩顆恒星之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們?cè)谙嗷ラg的萬(wàn)有引力作用下繞某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。某一雙星系統(tǒng)如圖所示，A恒星的質(zhì)量為m1，B恒星的質(zhì)量為m2，A恒星的軌道半徑為r1，B恒星的軌道半徑為r2，A恒星的線速度大小為v1，B恒星的線速度大小為v2，它們中心之間的距離為L(zhǎng)，引力常量為G。則下列說法正確的是()A.A恒星與B恒星軌道半徑大小之比為rB.雙星系統(tǒng)的運(yùn)行周期為2πLLC.A恒星的軌道半徑為m2D.A恒星與B恒星線速度大小之比為v2.多星模型所研究星體所受萬(wàn)有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。常見的多星模型及其規(guī)律：常見的三星模型①Gm2(2R)②Gm2L2×cos30°×常見的四星模型①Gm2L2×cos45°×2+②Gm2L2×cos30°×2+例5(多選)太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可以忽略其他星體對(duì)它們的引力作用。已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式(如圖所示)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)這三顆星的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期相同，則()A.直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B.直線三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T＝4πRRC.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離L＝312D.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為1考點(diǎn)三星球“瓦解”問題黑洞問題1.星球的瓦解問題當(dāng)星球自轉(zhuǎn)越來越快時(shí)，星球?qū)Α俺嗟馈鄙系奈矬w的引力不足以提供向心力時(shí)，物體將會(huì)“飄起來”，進(jìn)一步導(dǎo)致星球瓦解，瓦解的臨界條件是“赤道”上的物體所受星球的引力恰好提供向心力，即GMmR2＝mω2R，得ω＝GMR3。當(dāng)ω>GMR2.黑洞黑洞是一種密度極大、引力極大的天體，以至于光都無(wú)法逃逸，科學(xué)家一般通過觀測(cè)繞黑洞運(yùn)行的天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律間接研究黑洞。當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的2倍)超過光速時(shí)，該天體就是黑洞。例62018年2月，我國(guó)500m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19ms。假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為()A.5×109kg/m3 B.5×1012kg/m3C.5×1015kg/m3 D.5×1018kg/m3例7科學(xué)研究表明，當(dāng)天體的逃逸速度(逃逸速度為其第一宇宙速度的2倍)大于光速時(shí)，該天體就是黑洞。已知某天體與地球的質(zhì)量之比為k，地球的半徑為R，地球的環(huán)繞速度(第一宇宙速度)為v1，光速為c，則要使該天體成為黑洞，其半徑應(yīng)小于()A.2v12Rkc

答案精析考點(diǎn)一1.變軌(2)離心運(yùn)動(dòng)(3)遠(yuǎn)地討論交流使飛船先減速進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)近地點(diǎn)時(shí)，使飛船再減速進(jìn)入近地圓軌道Ⅰ，之后再減速做近心運(yùn)動(dòng)著陸。2.(1)>>>(2)萬(wàn)有引力相同相同(3)<(4)守恒<<(5)<例1B[根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r，解得v＝GMr，地球第一宇宙速度等于衛(wèi)星在近地軌道繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，可知飛船在軌道Ⅰ的線速度小于第一宇宙速度，故A錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得GMmr2＝m4π2T2r，解得T＝4π2r3GM，由于軌道Ⅰ的半徑小于軌道Ⅲ的半徑，則飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)行周期小于空間站的運(yùn)行周期，故B正確；衛(wèi)星從低軌道變軌到高軌道，在變軌處需要點(diǎn)火加速，則第一次變軌需加速，第二次變軌也需加速，故C錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律可得GMmr2例2D[根據(jù)衛(wèi)星變軌時(shí)，由低軌道進(jìn)入高軌道需要點(diǎn)火加速，反之要減速，所以飛船先到空間站下方的圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適的位置加速靠近即可，或者飛船先到空間站軌道上方圓周軌道上同方向運(yùn)動(dòng)，在合適的位置減速即可，故選D。]例3C[嫦娥六號(hào)返回器從a點(diǎn)到c點(diǎn)的過程中，空氣阻力做功，機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)誤；嫦娥六號(hào)返回器經(jīng)過d點(diǎn)后做近心運(yùn)動(dòng)，有GMm(R+h)2>mv2R+h，即v<GMR+h，又因?yàn)榈谝挥钪嫠俣葹関1＝GMR，故v<v1，B錯(cuò)誤；在d點(diǎn)，由牛頓第二定律有GMm(R+h)考點(diǎn)二討論交流(1)由v＝ωr，m1ω2r1＝m2ω2r2，得v1v2＝r1r2＝m2m1，由a＝ω2r及m1ω(2)由Gm1m2L2＝m14π2T2r1＝m24π2T2r2及r1+r例4BD[對(duì)A、B分別由牛頓第二定律得Gm1m2L2＝m14π2T2r1，Gm1m2L2＝m24π2T2r2，又L＝r1+r2，聯(lián)立解得r1r2＝m2m1，T＝2πLL例5BC[直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度大小相同，方向相反，A錯(cuò)誤；直線三星系統(tǒng)中，對(duì)甲星(或丙星)有GM2R2+GM2(2R)2＝M4π2T2R，解得T＝4πRR5GM，B正確；