第3章

動態分析第一節

動態分析概述第二節輸入－輸出模型第三節非線性系統線性化第四節傳遞函數模型第五節過程動態分析第六節反饋控制過程動態響應第一節

動態分析概述

一、過程動態的原因

輸入變量變化設定值變化過程控制（PI，PID）二、內容

過程有無自衡能力（是否需要控制）受控變量響應的初始狀態達到新穩態所需時間新的穩態值響應隨時間的變化（超調量、衰減比）三、模型

偏差變量模型時域：輸入-輸出模型復數域：傳遞函數模型

明確過程的進、出、反應建立過程的動態方程建立過程的穩態方程建立過程的偏差變量方程求解該偏差變量方程方程的解即為該過程的輸入-輸出模型

輸入–輸入變量的偏差輸出–輸出變量的偏差輸入–輸出模型——描寫輸入偏差與輸出偏差之間的關系第二節

輸入–輸出模型一、建模步驟

輸入——輸入變量的偏差

輸出——輸出變量的偏差

輸入–輸出模型——描寫輸入偏差與輸出偏差之間的關系二、模型特點攪拌儲槽加熱器輸入–輸出模型1.示意圖蒸汽,FST,TSTqv,i,TiQqv,T

T

h例3.12.狀態變量模型(1)蒸汽,FST,TSTqv,i,TiQqv,T

Th

根據質量守恒原理，有即例3.1蒸汽,FST,TSTqv,i,TiQqv,T

T

h令基準溫度根據能量守恒原理，有，可得2.狀態變量模型(2)例3.1因可得狀態變量模型狀態變量：hT

輸出變量:hT輸入擾動：qvi

Ti

控制變量：qv

qvi

Q同時已知（質量守恒）且已知（能量守恒）2.狀態變量模型(3)例3.1因（式中：U為傳熱系數；At為傳

熱面積；

Tst為蒸汽溫度）且令，即可得（簡化狀態變量模型）式中狀態變量：T

輸出變量:T輸入擾動：

Ti

控制變量：Tst

2.狀態變量模型(4)例3.1可得穩態模型比較動態模型T=0時系統處在穩態令可得偏差變量方程3.偏差變量模型例3.1根據偏差變量方程通解為特解為4.輸入-輸出模型例3.1輸入偏差輸出偏差5.輸入-輸出模型示意圖例3.1第三節

非線性系統線性化一、步驟

建立過程的動態方程尋找動態方程的非線性項將非線性項在X0點Taylor展開舍去高次項獲得線性化表達式將線性化表達式代替原非線性項完成非線性系統線性化二、單變量系統線性化

建立過程的動態方程尋找動態方程的非線性項將非線性項在X0點Taylor展開舍去高次項獲得線性化表達式將線性化表達式代替原非線性項完成非線性系統線性化h

明確過程的進、出、反應建立過程的動態方程建立過程的線性動態方程建立過程的線性穩態方程建立過程的線性偏差變量方程對方程進行拉普拉斯變換獲得過程的傳遞函數模型第四節

傳遞函數模型一、步驟二、傳遞函數示意圖過程（時域）輸入f(t)輸出

y(t)G(s)（復數域）輸入f(s)輸出

y(s)三、拉普拉斯變換1.定義2.線性運算性質3.基本函數拉氏變換（1）t=00f(t)t斜坡函數t=00f(t)t正弦函數001f(t)指數函數tt=0t=A01/Af(t)t單位脈沖t=00f(t)t理想脈沖t=00f(t)t階躍函數3.基本函數拉氏變換（2）微分積分3.基本函數拉氏變換（3）四、傳遞函數

1.單輸入單輸出（SISO）過程動態方程傳遞函數初始穩態過程G1(s)偏差輸入f(t)偏差輸出y(t)偏差輸入拉普拉斯變換偏差輸出拉普拉斯變換2.

多輸入單輸出（MISO）過程動態方程偏差輸入f1(t)f2(t)偏差輸出y(t)傳遞函數過程G1(s)G2(s)初始穩態偏差輸入拉普拉斯變換偏差輸出拉普拉斯變換3.多輸入多輸出（MIMO）過程偏差輸入f1(t)f2(t)初始穩態過程偏差輸出y1(t)y2(t)動態方程拉氏變換G11G21G12G22傳遞函數傳遞矩陣4.零點與極點零點——多項式Q(s)的根極點——多項式P(s)的根連續攪拌反應釜1.傳遞矩陣初始穩態動態方程拉氏變換傳遞函數例3.52.零點與極點傳遞函數

極點（2個）

零點例3.53.示意圖G11G21G12G22G12G22例3.5五、拉普拉斯反變換(海維賽法)

1.概述對于復數域上的解1.展開成一次或二次分式的和2.計算C1

C2...Cn（分3種情況討論）3.對于各分式求拉氏反變換4.獲得函數在時域上的解2.P(s)有相異實根（1）若則P(s)有相異實根：+1,-1,+2可得令(s-1)=0兩邊乘(s-1)令(s+1)=0兩邊乘(s+1)令(s-2)=0兩邊乘(s-2)

將C1、C2、C3代入復數域函數表達式

查拉普拉斯反變換表

對函數各項求時域表達式2.P(s)有相異實根（2）3.P(s)有相異復根（1）若則P(s)有相異復根：12j可得令[s-(1+2j)]=0兩邊乘[s-(1+2j)]令[s-(1-2j)]=0兩邊乘[s-(1-2j)]

將C1、C2代入復數域函數表達式

查拉普拉斯反變換表

對函數各項求時域表達式3.P(s)有相異復根（2）4.P(s)有多重根（1）若則P(s)的根

p1=p2=p3=-1,p4=-2可得令(s+2)=0兩邊乘(s+2)令(s+1)3=0令s+1=0兩邊乘(s+1)3式(1)對s求導令s+1=0式(2)對s求導

將C1、C2、C3、C4代入復數域函數表達式

查拉普拉斯反變換表

對函數各項求時域表達式4.P(s)有多重根（2）第五節

過程動態分析一、定性分析1.目標受到擾動后過程能否穩定？（自動達到新的穩態或有界變化）不穩定ty(t)

穩定y(t)t

2.方法根據過程傳遞函數的極點在復平面上的位置因極點決定函數經拉氏反變換后在時域的數值例如

3.可能的極點

實軸

虛軸P3P1(P3)P5P4P4*(p4)(P4*)P2(1)p1

實軸

虛軸p1ty(t)0C1(2)

p2

實軸

虛軸p2ty(t)0C2

(3)p3若p3>0ty(t)0若p3=0ty(t)0ty(t)0若p3<0

虛軸(p3)p3

實軸

(4)

p4

虛軸(p4)(p4*)

實軸p4*p4ty(t)0若

>0ty(t)0若

<0若

=0ty(t)0

(5)

p5

實軸

虛軸p5ty(t)0C5

4.小結

若過程傳遞函數的極點在復平面虛軸左側，該過程是穩定的，在有外界擾動時，過程偏差會自動消失，或限制在一定范圍內。

若過程傳遞函數的極點在復平面虛軸右側或等于0，該過程是不穩定的，在有外界擾動時，過程偏差會不斷發散增大。

實軸

虛軸p3p1(p3)P5p4p4*(p4)(p4*)p2二、定量分析

1.一階系統一階微分線性過程偏差變量一階滯后

①傳遞函數拉氏變換傳遞函數一階滯后②時域函數單位階躍輸入拉氏反變換

一階滯后

傳遞函數

輸出響應

③動態分析單位階躍輸入012341.00.80.60.40.2穩態增益時間常數

拉氏反變換（2）純容量①傳遞函數拉氏變換傳遞函數純容量②時域函數單位階躍輸入拉氏反變換傳遞函數一階滯后輸出響應③動態分析單位階躍輸入

拉氏反變換

無自衡能力

須施加控制儲槽液位動態分析1.無泵輸出

原始模型

穩態模型偏差模型

線性變量

拉氏變換

動態模型一階滯后傳遞函數一階滯后例3.6

原始模型

穩態模型偏差模型出水量固定

拉氏變換傳遞函數純容量

動態模型純容量2.有泵輸出例3.6（3）一階系統小結一階滯后的特點：自衡，時間常數，穩態增益一階系統的變量：與質量、能量、動量有關的容量或阻力一階系統的分類：一階滯后，純容量一階系統的分析：單位階躍輸入純容量的特點：無自衡，積分器e一階系統

2.二階系統二階微分線性過程偏差變量

（1）傳遞函數二階系統拉氏變換傳遞函數（2）動態響應二階系統傳遞函數單位階躍動態響應特征多項式

極點值因C1/s的拉氏反變換為常數C1

，不會使y(t)發散，因而y(t)會否發散取決于p1、p2在復平面上的位置p1、p2為相異實根動態響應①動態響應p1、p2為相同實根②動態響應p1、p2為共軛復數③（3）二階系統小結二階系統的特點：過阻尼，臨界阻尼，欠阻尼二階系統的過程：多容過程，一階過程加控制器二階系統的分析：單位階躍輸入二階系統欠阻尼的特點：超調量、衰減比、振蕩周期、過渡時間

3.一階變二階（1）液槽間單向作用線性液阻動態模型偏差模型穩態模型傳遞函數變量替換線性液阻總傳遞函數儲槽2的液位相對于儲槽1的進水流量為二階過程h1h2qviqv1qv2No.1No.2R1R2無相互影響h1h2qviR1

qv1R1

qv2No.1No.2有相互影響線性液阻動態模型偏差模型穩態模型變量替換儲槽1與儲槽2的液位高度對于儲槽1的進水流量均為二階過程拉氏變換傳遞函數（2）液槽間雙向作用

（3）液位反饋控制動態模型偏差模型qviqv0PI控制器PI控制器控制方程拉氏變換傳遞函數儲槽因施加PI控制變為二階過程（4）小結過阻尼或臨界阻尼過阻尼欠阻尼過阻尼臨界阻尼第六節

反饋控制過程動態響應一、閉環系統1.開環響應

TiTstPI控制器熱電偶T給定值動態模型穩態模型偏差模型拉氏變換傳遞函數122.開環與閉環響應比較GP(s)Gd(s)++過程3.閉環響應（1）流程圖檢測器GC(s)Gm(s)Gf(s)+－GP(s)Gd(s)++過程控制器執行器GC(s)Gm(s)Gf(s)+－GP(s)Gd(s)++過程檢測器控制器執行器（2）閉環傳遞函數檢測器KCKmKv/(s+a)+－K/s+a(1/

)/(s+a)++過程控制器執行器傳遞函數輸入輸出（3）溫度動態分析

①輸入、輸出檢測器KCKmKv/(s+a)+－K/s+a(1/

)/(s+a)++過程控制器執行器②傳遞函數二、比例控制1.閉環傳遞函數GC(s)Gm(s)Gf(s)+－GP(s)Gd(s)++過程檢測器控制器執行器令閉環響應2.一階過程比例控制（1）階數一階過程偏差模型閉環響應一階過程傳遞函數Gp、Gd

為一階過程形式一階過程＋比例控制后，一階未變閉環過程傳遞函數Gd、Gsp

仍為一階過程形式一階過程＋比例控制后，時間常數變小，過程響應變快比較（2）時間常數變換閉環響應（3）余差分析閉環響應時域響應①設定值單位階躍,外界無擾動余差無控制比例控制ty(t)余差t余差

=1－Kp’,式中“1”表示設定值變化為單位階躍“1”，現經比例控制，輸出為Kp’，因此余差