湖南省永州市2024-2025學年高三下學期第三次模擬考試數學試卷1．已知集合A=xx2?6x+8<0，A．1,4 B．3,4 C．2,3 D．3,+2．若復數z滿足1?2iz=4?3iA．1,2 B．1,?2 C．2,?1 D．2,13．已知Sn為等差數列an的前n項和，且a1=1，A．40 B．45 C．50 D．554．已知tanα=43A．?2425 B．?1225 C．5．1?2x7A．?280 B．280 C．?560 D．5606．已知橢圓E：x24+y23=1，點FA．23 B．4 C．437．若函數fx=aex?A．3e B．12e3 C．128．如果數列an對任意的n∈N?，都有an+2+an>2an+1成立，則稱anA．62 B．63 C．64 D．659．下列說法中，正確的有（）A．具有相關關系的兩個變量x，y的相關系數r越大，則x，y之間的線性相關程度越強B．已知隨機變量ξ服從正態分布N2,σ2，且C．數據27，30，37，39，40，50的第30百分位數是30D．若一組樣本數據的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數據的平均數大于中位數10．已知函數fxA．fx的最小正周期為2π B．fx在區間C．曲線y=fx關于直線x=π2對稱11．已知平面內動點Px,y到定點F0,2的距離與到定直線l：y=4的距離之和等于6，其軌跡為曲線A．若y≤4，則點P的軌跡是以F0,2B．P點橫坐標的取值范圍是?4C．若過點F的直線與曲線C的y≥4部分圖象和y<4部分圖象分別交于A,D，則AFD．對給定的點T?2,t（t∈R），用mt表示PF+PT12．已知函數fx=xa?213．已知直線kx+y+1=0與圓C：x2+y2?2y?3=0交于A，B兩點，且14．已知四棱臺的底面為矩形，上底面積為下底面積的19，所有側棱長均為6.當該四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為15．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.且b2（1）求sinA的值；（2）若C=π4，a=3，求16．某學校為調查高三年級的體育開展情況，隨機抽取了20位高三學生作為樣本進行體育綜合測試，體育綜合測試成績分4個等級，每個等級對應的分數和人數如下表所示：等級不及格及格良優分數1234人數3953（1）若從樣本中隨機選取2位學生，求所選的2位學生分數不同的概率；（2）用樣本估計總體，以頻率代替概率.若從高三年級學生中隨機抽取n位學生，記所選學生分數不小于3的人數為X.（ⅰ）若n=3，求X的分布列與數學期望；（ⅱ）若n=20，當k為何值時，PX=k17．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=π3，（1）證明：AB⊥PD；（2）若直線AP與DF的夾角的余弦值為3618．已知雙曲線E：x2a2?y2b（1）求雙曲線E的標準方程：（2）過點M1,0的直線l與E的左、右兩支分別交于A，B兩點，點C2,3（ⅰ）證明：直線AN的斜率為定值：（ⅱ）記S1，S2分別為△MBC，△ABN的面積，求19．已知函數fnx=lnx?nx（1）證明：f1（2）證明：2ln（3）判斷數列an

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因為集合A=xx所以A∩B=x故答案為：B.【分析】解一元二次不等式，從而得出集合A，再根據交集的運算法則得出集合A∩B.2．【答案】D【解析】【解答】解：因為1?2iz=4?3i所以z=4?3i則z在復平面內對應的點為2,1.故答案為：D.【分析】根據復數的除法運算法則化簡復數z，再根據復數的幾何意義得出復數z在復平面內對應的點的坐標.3．【答案】B【解析】【解答】解：因為S5=15=5a1+則S9故答案為：B.【分析】利用a1=1，S54．【答案】C【解析】【解答】解：因為tanα=所以sin2α=故答案為：C.【分析】根據已知條件和二倍角的正弦公式、同角三角函數基本關系式，從而得出sin2α5．【答案】A【解析】【解答】解：1?2x7的展開式的第4項系數是C故答案為：A.【分析】利用二項式定理求出展開式的通項，再利用通項得出1?2x76．【答案】D【解析】【解答】解：因為橢圓E：x24+y2所以，點F(?1,0)為橢圓的左焦點，右焦點為(1,0)，又因為直線AB:x+λy?1=0恒過定點(1,0)，所以?ABF的周長為4a=8.故答案為：D.【分析】利用橢圓的長半軸長和橢圓中a，b，c三者的關系式以及橢圓的標準方程，從而得出橢圓的半焦距，進而得出橢圓的焦點坐標，再利用直線AB:x+λy?1=0恒過定點(1,0)結合三角形的周長公式，從而得出?ABF的周長.7．【答案】C【解析】【解答】解：已知f(x)=aex?因為f(x)在區間(1,3)上單調遞增，

所以f'(x)≥0在區間(1,3)上恒成立，

則ae移項可得a≥3x2ex在區間(1,3)上恒成立，

令g(x)=對g(x)=3x2ex令g'(x)=0，則3x(2?x)ex=0，

因為ex>0恒成立，

所以3x(2?x)=0當1<x<2時，g'(x)>0，g(x)單調遞增；

當2<x<3時，g'所以g(x)在x=2處取得極大值，也是最大值，

則g(2)=3×因為a≥g(x)max=12e2，故答案為：C．

【分析】先對函數f(x)求導，再利用函數單調性與導數的正負的關系，從而得到a的不等式，再通過構造法，令g(x)=3x28．【答案】B【解析】【解答】解：由題中條件an+2+an>2則數列an的相鄰兩項之差嚴格遞增，

要使得正整數k最大，則數列a需要讓相鄰兩項差值盡可能小，

則相鄰兩項差值構成公差為1的等差數列，因為a2?a1=3?1=2a4?a3=4>a3由累加法，得：a令ak=kk+12=2025，

則當k=63時，a63當k=64時，a64故答案為：B.

【分析】由題意可知數列an的相鄰兩項之差嚴格遞增，要使得正整數k最大，則需要讓相鄰兩項差值盡可能小，則相鄰兩項差值構成公差為1的等差數列，由此構造出“速增數列”的遞推關系an+1?an9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對于A，具有相關關系的兩個變量x，y的相關系數r越大，

則x，y之間的線性相關程度越強，故A不正確；對于B，因為隨機變量ξ服從正態分布N2,σ2所以Pξ≤0=Pξ≥4=1?0.8=0.2，對于C，因為6×30%=1.8，對于D，由對稱性知若頻率分布直方圖左右對稱，則平均數等于中位數，若頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，

則平均數大于中位數，故D正確.故答案為：BCD.

【分析】根據相關系數與x，y之間的線性相關程度的關系，則判斷出選項A；根據正態分布對應的概率密度函數的圖象的對稱性，從而得出P0<ξ<210．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，

因為f=sinx+12sin2x+1假設其最小正周期T∈0,2π，

則fx=f故當x=0時，f0=fT，

則當x=π時，fπ=fπ+T，

則當x=π2時，fπ2=fπ①②兩式相加得sin2T=0因為T∈0,2π，所以2T∈0,4π，

則2T=π或2T=2π或2T=3π，

所以T=π2或經檢驗，當T=π2或T=3π2時，①式不成立；

當所以，2π是fx對于B，當x∈?f=cos則fx在?對于C，因為fπ4=所以fπ4≠f3π4，

對于D，先證明sinx令gx=sinx?x,x∈0,π2，

則g則gx=sinx?x≤g0=0，

所以0≤sin當x>π2時，則當x≥0時，得sinx又因為y=sinx和y=x均為偶函數，

則sin則f≤x+1故答案為：ABD.

【分析】由fx+2π=fx得2π是fx的周期，再利用反證法證出2π是fx的最小正周期，則判斷出選項A；利用導函數判斷函數的單調性，則判斷出選項B；利用已知條件計算得出fπ411．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因為平面內動點Px,y到定點F0,2的距離與到定直線l：所以PF+y?4=6，

整理得軌跡為曲線C：x2對于A，若y≤4，則軌跡為曲線C化簡得x2則點P的軌跡是以F0,2對于B，若y≤4，則曲線C為x2=8y≥0，

可得0≤y≤4，

則若y>4，則軌跡為曲線C化簡得x2=96?16y≥0，

可得4<y≤6，綜上所述，可得x2∈0,32，解得?42≤x≤42，對于C，由選項B，可得曲線C的圖象如圖所示：設曲線的左右端點為M?4又因為F0,2，

所以k設直線AD的方程為y=kx+2，

則kFM≤k≤kFN，聯立y=kx+2x2=96?16y?x聯立y=kx+2x2=8y?x當0≤k≤24時，

則xA=?8k+8k2+1，xD=4k?4當?24≤k<0時，

則xA=?8k?8k2+1，xD綜上所述，AF=2對于D，如圖，設直線x=?2與曲線C的交點為E,G，當x=?2時，代入曲線C中，可得y=12或y=234，如圖1：當t≥234時，PF+則mt如圖2：當t≤12時，PF+則mt如圖3：當12因為EF>GF，

所以PF+PT>GF，

所以mt故答案為：ACD.【分析】根據已知條件確定動點Px,y滿足的方程為x2+y?22+y?4=6，整理可得軌跡為曲線C：x2=48?4y?12y?4，再根據曲線C分析，當y≤4時，則點P的軌跡是以F0,2為焦點的拋物線的一部分，從而判斷選項A；先討論y≤4，y>4時確定x2的取值范圍，從而可得點P的橫坐標的取值范圍，則可判斷選項B；先確定曲線C的端點，從而得出直線MF,NF的斜率，設直線AD的方程為y=kx+2，從而得出實數k的取值范圍，再聯立直線方程與曲線C方程，從而得出點A,D的橫坐標，進而確定AF,DF的關系式，則可判斷選項C；先確定直線x=?212．【答案】1【解析】【解答】解：因為函數fx=xa?所以f?x=fx，

所以a?2?x?2x所以a?1=0且1?a=0，

解得a=1.故答案為：1.【分析】根據題意結合偶函數的定義，則得到f?x=fx，從而得出(a?1)?13．【答案】±【解析】【解答】解：取AB中點D，連接CD，因為點D為AB中點，

所以CD⊥AB,AD所以AB?所以AB=23或又因為圓C：x2+y2?2y?3=0所以，圓心C0,1到直線kx+y+1=0的距離d=相交弦長AB=2r2?d2=23，故答案為：±3.

【分析】根據圓與直線相交的幾何性質結合數量積的幾何意義，從而得出相交弦長AB的值，再根據直線與圓相交弦長公式，從而列方程求解得出k14．【答案】54π【解析】【解答】解：由題意，設下底長、寬分別為3a,3b，

則上底邊長、寬為a,b，

如圖1，O,O1分別是上下底面的中心，連結OO1，O圖1則AA根據邊長關系，知該棱臺的高為?=6?則V≤13當且僅當a2=b此時棱臺的高?=6?上底面外接圓半徑r1=A1O1=1，下底面半徑r=AO=3；

設球的半徑為R，顯然球心M在OO1所在的直線上，顯然球心M在O圖2則O1M=2?x，0<x<2則r2+x2=解得x<0，舍去；

當棱臺兩底面在球心同側時，顯然球心M在線段O1O的延長線上，

如圖3，設圖3則O1M=2則r2+x2解得x=322此時，外接球的表面積為4πR故答案為：54π.

【分析】根據棱臺的性質，從而表示出棱臺的高與邊長之間的關系式，再根據棱臺的體積公式，則將體積函數式表示出來，再利用基本不等式求最值的方法，從而得出四棱臺的體積的最大值，進而得到棱臺的高，再利用外接球的球心一定在棱臺上下底面中心的連線及其延長線上，通過作圖，從而數形結合求出外接球的半徑，再利用球的表面積公式得出該四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積.15．【答案】（1）解：因為b2+c2?a2=6bcsinA，

由余弦定理得b2所以1?sin2A=9sin2又因為sinA>0，

所以sinA=10???????（2）解：因為C=π4，由正弦定理得31010=c2因為cosA=3sinA=31010，則ΔABC的面積為1【解析】【分析】（1）利用已知條件和余弦定理以及同角三角函數基本關系式、三角函數值在各象限的符號，從而得出角A的正弦值.（2）先利用正弦定理得出c的值，再利用已知條件和三角形內角和定理、誘導公式、兩角和的正弦公式，從而得出角B的正弦值，再利用三角形的面積公式得出ΔABC（1）因為b2+c2?a2所以1?sin2A=9因為sinA>0，所以sinA=10（2）因為C=π4，由正弦定理得31010=因為cosA=3sinA=31010則△ABC的面積為1216．【答案】（1）解：設事件M=“選取的2位學生分數不同”，

則PM=1?PM=1?C（2）解：（ⅰ）設A=“學生分數不小于3”，

則PA若n=3，則X的可能取值為0,1,2,3，

由題意可得X～B3,則PX=0=1?PX=2=C所以X的分布列為：X0123P2754368又因為X～B3,25，

（ⅱ）若n=20，則X～B20,所以P因為PX=k所以PX=k則20?k+1k又因為k∈N?且k∈0,20，

所以，當k=8【解析】【分析】（1）設事件M=“選取的2位學生分數不同”，根據對立事件求概率公式和組合數公式、互斥事件加法求概率公式以及古典概率公式，從而得出所選的2位學生分數不同的概率.（2）（ⅰ）當n=3時，X～B3,25，結合二項分布得出隨機變量X的概率分布列，再利用隨機變量的分布列求數學期望公式，從而得出隨機變量X的數學期望.

（ⅱ）當n=20時，X～B20,25，利用PX=k最大結合二項分布的概率計算公式，從而可得PX=k≥P（1）設事件M=“選取的2位學生分數不同”，則PM故所選的2位學生分數不同的概率為6995（2）設A=“學生分數不小于3”，則PA（ⅰ）若n=3，X的可能取值為0,1,2,3，由題意可得X～B3,又PX=0=1?PX=2=C所以X的分布列為：X0123P2754368由于X～B3,25（ⅱ）若n=20，則X～B20,所以PX=k由于PX=k所以PX=k即20?k+1k因為k∈N?，k∈0,20，所以k=817．【答案】（1）證明：記AB的中點為O，連接PO,OD,BD，

因為ABCD為菱形，∠BAD=π3，

所以?ABD為正三角形，

所以OD⊥AB由?PAB為正三角形，

可得PO⊥AB，因為OP,OD是平面POD內的兩條相交直線，

所以AB⊥平面POD，又因為PD?平面POD，

所以AB⊥PD.（2）解：由（1）知，AB⊥OD，過點O作Oz⊥平面ABCD，以OA,OD,Oz所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

因為AB⊥平面POD，

所以點P在坐標平面yOz內，

設∠POD=α，PO=OD=3，則P0,3所以AP=?1,3因為直線AP與DF的夾角的余弦值為36，

所以AP解得cosα=13，

因為α∈0,π，

所以sin所以AP=設平面PAB的法向量為n=則AP?n=?x+33y+2記直線PC與平面PAB所成角為θ，

則sinθ=【解析】【分析】（1）記AB的中點為O，利用正三角形的性質結合線面垂直判定定理，從而證出直線AB⊥平面POD，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，即證出AB⊥PD.（2）以OA,OD,Oz所在直線分別為x,y,z軸，從而建立空間直角坐標系，設∠POD=α，再根據線線角的向量表示和已知條件，從而求出點P的坐標，再利用兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而求出平面PAB的法向量，再利用數量積求向量夾角公式和誘導公式，從而得出直線PC與平面PAB所成角的正弦值.（1）記AB的中點為O，連接PO,OD,BD，因為ABCD為菱形，∠BAD=π3，所以△ABD為正三角形，所以由△PAB為正三角形可得PO⊥AB，因為OP,OD是平面POD內的兩條相交直線，所以AB⊥平面POD，因為PD?平面POD，所以AB⊥PD.（2）由（1）知，AB⊥OD，過點O作Oz⊥平面ABCD，以OA,OD,Oz所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，因為AB⊥平面POD，所以點P在坐標平面yOz內，設∠POD=α，PO=OD=3則P0,3cos所以AP=?1,3因為直線AP與DF的夾角的余弦值為36，所以AP解得cosα=13，因為α∈0,π所以AP=設平面PAB的法向量為n=則AP?n=?x+33記直線PC與平面PAB所成角為θ，則sinθ=18．【答案】（1）解：已知雙曲線E:x2a2?y2b2又因為離心率e=ca=233，且c2由ca=233，可得c=233a，

將其代入c2=a2（2）（ⅰ）證明：當斜率為0時，已知A(?3,0),B(3令x=3，則3×3?(2?3)y?3=0，

解得y=33+3則kAN當斜率不為0時，設直線AB方程x=ty+1，與x2?3y把x=ty+1代入x2?3y由韋達定理得y1+y因為直線交左右兩支，

所以t2?3≠0Δ=12(t因為直線BC方程為y?3=y2?3x2?2(x?2)，則kAN=y1?把y1+y2=?2tt先看分子：t=?2t+2t再看分母：t=?2此時kAN因為t2>3，?ty2+2≠0（ⅱ）解：當斜率為0時，

因為kAN=kCM=當斜率不為0時，

不妨設t>0，y1<0,y2>0，y則S1則y1y2+y2y1=(y因為t2>3，所以y1y2+y所以S1綜上所述，S1S2【解析】【分析】（1）根據雙曲線的虛軸長和雙曲線的離心率公式以及雙曲線中a，b，c三者的關系式，從而求出a、b的值，進而得到雙曲線的標準方程.（2）（i）設出直線l的方程，再將直線l的方程與雙曲線方程聯立，再利用韋達定理求出相關點的坐標關系，再利用兩點求斜率公式，從而證出直線AN的斜率為定值.（ii）根據三角形面積公式求出S1S2（1）已知雙曲線E:x2a2?y2又因為離心率e=ca=233，且由ca=233可得c=解得a2=3，所以雙曲線E的標準方程為（2）（ⅰ）當斜率為0時：已知A(?3,0),B(3令x=3，則3×3?(2?3)y?3=0，解得y=3kAN當斜率不為0時：設AB方程x=ty+1，與x2把x=ty+1代入x2?3y由韋達定理得y1+y因為直線交左右兩支，有t2?3≠0ΔBC方程y?3=y2?3x則kAN=y把y1+y2=先看分子：t=再看分母：t=此時kAN因為t2>3，?ty（ⅱ）當斜率為0時，因為kAN=k當斜率不為0時，不妨設t>0，y1<0,y2>0S1y1y2+y2y因為t2>3，所以y1y2所以S1綜上，S1S219．【答案】（1）證明：要證f1x≥2?2x設g(x)=lnx+1x?1，

當0<x<1，g'(x)<0，g(x)單調遞減；

當x>1，g'所以g(x)在x=1取最小值g(1)=ln1+11?1=0（2）證明：先證i=1n由（1）知，lnx≥1?1x，

則ln1a因為lnan?nan+1=0，

當n≥2，1a則i=1n1ai<1+2(2?1+?+再證i=1n由（1）lnx≥1?1x，

得lnan≥1?1an，

因為ln又因為lnx≤x?1，

所以lnn+2n+1<1所以i=1綜上所述，2ln（3）解：對函數求導，

因為導數f'n(x)=1x則fn(1)=1?n≤0，fn(n+1)=ln(n+1)+1n+1>0，

所以函數有唯一零點a設?(x)=xlnx+x，其導數?'(x)=2+lnx，

當因為anlnan+an<an+1lnan+1假設an,an+1,所以lnan+lnan+2=2lna又因為lnan=nan?1，ln進行通分整理，得出nan+n+2an+2=2(n+1)an+1，

通分得到設數列{an}的公比為q，

則