第57講正態(tài)分布鏈教材夯基固本激活思維1.(人A選必三P87練習(xí)T1)設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，則X的密度函數(shù)為__________________，P(X≤0)＝__________________，P(|X|≤1)≈___________________，P(X＞1)≈___________________．(精確到0.0001)2.(人A選必三P87練習(xí)T2)設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，22)，隨機(jī)變量Y～N(0，32)，則P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系是___________________．3.(人A選必三P87習(xí)題T2)某市高二年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170，52)，現(xiàn)隨機(jī)選擇一名該市高二年級(jí)的男生，則P(165≤X≤175)＝___________________．4.(人A選必三P87習(xí)題T3)若X～N(μ，σ2)，則X位于區(qū)域[μ，μ＋σ]內(nèi)的概率是__________________．5.(人A選必三P87習(xí)題T4)袋裝食鹽標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g，規(guī)定誤差的絕對(duì)值不超過4g就認(rèn)為合格．假設(shè)誤差服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取100袋食鹽，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4，可估計(jì)這批袋裝食鹽的合格率為___________________．聚焦知識(shí)1.定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ＞0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為__________________．2.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線__________________對(duì)稱；(2)曲線在___________________處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．3.3σ原則：假設(shè)X～N(μ，σ2)，則(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4.正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝__________________，D(X)＝_________________．研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題說法正態(tài)分布的性質(zhì)例1(多選)若X～N(μ，σ2)，則下列說法正確的是()A.P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)B.P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)C.P(X＜μ＋σ)不隨μ，σ的變化而變化D.P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)隨μ，σ的變化而變化(1)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定．曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示．(2)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．甲乙變式1設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()(變式1)A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.函數(shù)F(t)＝P(X＞t)在R上單調(diào)遞增D.P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)正態(tài)分布下的概率計(jì)算例2(2024·新高考Ⅰ卷)(多選)隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口．為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬元)情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值eq\x\to(x)＝2.1，樣本方差s2＝0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8，0.12)，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(eq\x\to(x)，s2)，則(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(Z＜μ＋σ)≈0.8413)()A.P(X＞2)＞0.2 B.P(X＞2)＜0.5C.P(Y＞2)＞0.5 D.P(Y＞2)＜0.8解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在μ＝0時(shí)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸才為x＝0.1.(2025·南京、鹽城期末)(多選)某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，設(shè)單個(gè)籃球的質(zhì)量為X(單位：g)．若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，則()A.P(X＜600)＝eq\f(1,2)B.P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606)C.P(X＜595)＝P(X＞605)D.σ越小，P(X＜598)越大2.(2024·唐山二模)某地區(qū)5000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X(單位：分)服從正態(tài)分布N(90，σ2)，且成績(jī)?cè)赱90，100]的學(xué)生人數(shù)約為1800，則估計(jì)成績(jī)?cè)?00分以上的學(xué)生人數(shù)約為()A.200 B.700C.1400 D.25003.(2025·濟(jì)南期初)(多選)已知在某市的一次學(xué)情檢測(cè)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(100，100)，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，下列說法正確的是()附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9974.A.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為100B.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的期望為100C.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率超過0.8D.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等正態(tài)分布的應(yīng)用例3(2024·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)單位面積穗數(shù)、穗粒數(shù)、千粒重是影響小麥產(chǎn)量的主要因素，某小麥品種培育基地在一塊試驗(yàn)田種植了一個(gè)小麥新品種，收獲時(shí)隨機(jī)選取了100個(gè)小麥穗，對(duì)每個(gè)小麥穗上的小麥粒數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如下統(tǒng)計(jì)表：穗粒數(shù)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60]穗數(shù)41056228其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表．從收獲的小麥粒中隨機(jī)選取5組，每組1000粒，分別稱重，得到這5組的質(zhì)量(單位：g)分別為38，46，42，40，44.(1)根據(jù)抽測(cè)，這塊試驗(yàn)田的小麥畝穗數(shù)為40萬，試估計(jì)這塊試驗(yàn)田的小麥畝產(chǎn)量(結(jié)果四舍五入到1kg)；(2)已知該試驗(yàn)田穗粒數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差．若小麥穗粒數(shù)不低于28粒的穗數(shù)超過總體的80%，則稱該小麥品種為優(yōu)質(zhì)小麥品種，試判斷該試驗(yàn)田中的小麥品種是否為優(yōu)質(zhì)小麥品種，并說明理由．附：畝產(chǎn)量＝畝穗數(shù)×樣本平均穗粒數(shù)×eq\f(樣本平均千粒重,1000).參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827.隨堂內(nèi)化1.(2024·煙臺(tái)、德州二模)若隨機(jī)變量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ＞4)＝0.2，則P(2＜ξ＜3)等于()A.0.2 B.0.3C.0.4 D.0.5.2.(2024·湛江期初摸底)(多選)若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，X的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))，則()A.X的密度曲線與y軸只有一個(gè)交點(diǎn)B.X的密度曲線關(guān)于x＝σ對(duì)稱C.2P(X＞μ＋3σ)＝P(|X－μ|＞3σ)D.若Y＝eq\f(X－μ,σ)，則E(Y)＝03.(2024·廣州二模)已知一批砂糖橘的果實(shí)橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(45，52)，其中果實(shí)橫徑落在[40，55]的砂糖橘為優(yōu)質(zhì)品，則這批砂糖橘的優(yōu)質(zhì)品率約為(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)()A.0.6827 B.0.8186C.0.8413 D.0.95454.(2024·汕頭二模)(多選)某校高三年級(jí)選考生物科的學(xué)生共1000名，現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分，已知等級(jí)分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30，100]，若等級(jí)分X～N(80，25)，則()參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.A.這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為25B.這次考試等級(jí)分超過80分的約有450人C.這次考試等級(jí)分在[65，95]內(nèi)的人數(shù)約為997D.P(70＜X≤75)＝0.13595.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，則P(X＞2.5)＝__________________．配套精練一、單項(xiàng)選擇題1.(2024·廈門四檢)已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，則P(X＜3)＝()A.0.2 B.0.3C.0.7 D.0.82.(2024·阜陽一測(cè))設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()(第2題)A.μ1＜μ2，σ1＜σ2 B.μ1＜μ2，σ1＞σ2C.μ1＞μ2，σ1＜σ2 D.μ1＞μ2，σ1＞σ23.(2024·石家莊二模)某市教育局為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織了一次摸底考試，共有50000名考生參加這次考試，數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f((x－90)2,2σ2)，x∈R且P(70≤X≤110)＝0.8，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過110分的考生人數(shù)約為()A.2000 B.3000C.4000 D.50004.(2024·金華義烏三模)某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考(總分150分)，假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布N(95，122)，并按照16%，34%，34%，16%的比例將考試成績(jī)從高到低分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)．若某同學(xué)考試成績(jī)?yōu)?9分，則該同學(xué)的等級(jí)為(參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.95)()A.A B.BC.C D.D二、多項(xiàng)選擇題5.已知隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))(x∈R)，則()A.當(dāng)x＝μ時(shí)，f(x)取得最大值eq\f(1,σ\r(2π))B.曲線y＝f(x)關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱C.x軸是曲線y＝f(x)的漸近線D.曲線y＝f(x)與x軸之間的面積小于16.(2024·聊城一模)在一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試中，某市高一全體學(xué)生的成績(jī)X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，規(guī)定測(cè)試成績(jī)不低于60分者為及格，不低于120分者為優(yōu)秀．令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|＜2σ)＝n，則()A.μ＝80，σ＝400B.從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該生測(cè)試成績(jī)及格但不優(yōu)秀的概率為eq\f(m＋n,2)C.從該市高一全體學(xué)生中(數(shù)量很大)依次抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生恰好有一名測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(1－n2,2)D.從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，在已知該生測(cè)試成績(jī)及格的條件下，該生測(cè)試成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(1－n,1＋m)三、填空題7.(2024·佛山二模)統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，簡(jiǎn)稱為3σ原則．假設(shè)某廠有一條包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(400，σ2)(單位：g)，某天生產(chǎn)線上的檢測(cè)員隨機(jī)抽取了一包食鹽，稱得其質(zhì)量大于415g，他立即判斷生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，要求停產(chǎn)檢修．由此可以得出，σ的最大值是_________________．8.(2024·蘇中蘇北八市三調(diào))已知隨機(jī)變量X～N(4，42).若P(X＜3)＝0.3，則P(3＜X＜5)＝___________________；若Y＝2X＋1，則Y的方差為___________________．9.(2024·荊州模擬)已知隨機(jī)變量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0＜x＜a)的最小值為___________________．四、解答題10.(2024·南昌二模)一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時(shí)，生產(chǎn)的電阻阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N(1000，52).(1)生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生