第45講拋物線鏈教材夯基固本激活思維1.(人A選必一P132例1改)拋物線y2＝4x的焦點坐標是()A.(0，2) B.(0，1)C.(2，0) D.(1，0)2.(人A選必一P133練習T3改)已知拋物線y＝eq\f(1,4)x2上一點A的縱坐標為4，則點A到拋物線焦點的距離為()A.eq\f(17,16) B.eq\f(1,16)C.6 D.53.(人A選必一P135例4改)已知直線l過拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是12，AB的中點到x軸的距離是4，則此拋物線的方程是()A.x2＝12y B.x2＝8yC.x2＝6y D.x2＝4y4.(人A選必一P135例4改)已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為3，則此拋物線的方程為___________________．5.(人A選必一P134例3改)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點M(3，t)與焦點F的距離|MF|＝p，則點M到坐標原點O的距離為___________________．聚焦知識1.拋物線的概念平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離__________________的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的___________________，直線l叫做拋物線的___________________．2.拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形對稱軸x軸y軸焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下研題型素養養成舉題說法拋物線的定義和標準方程例1(1)(2025·金華一模)已知F為拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點，點M(3，m)在拋物線C上，且|MF|＝4，則拋物線C的方程為()A.y2＝x B.y2＝2xC.y2＝4x D.y2＝6x(2)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，準線為l，點P在C上，過點P作準線l的垂線，垂足為A，若∠FPA＝eq\f(π,3)，則|PF|＝()A.1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.2(1)“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據定義獲得簡捷、直觀的求解．(2)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向．當焦點位置不確定時，分情況討論．拋物線的幾何性質視角1焦半徑例2-1已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，點P(x0，2)在C上，|PF|＝eq\f(5,2)，則直線PF的斜率為()A.±eq\f(3,2) B.±eq\f(2,3)C.±eq\f(4,3) D.±eq\f(3,4)拋物線y2＝2px(p＞0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．變式2-1已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的交點，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，則|FQ|＝()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)視角2焦點弦例2-2已知拋物線y2＝2px(p是正常數)上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦點為F.給出下列條件：①x1x2＝eq\f(p2,4)；②y1y2＝－p2；③eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)p2；④eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p).以上是“直線AB經過焦點F”的充要條件的個數為()A.0 B.1C.2 D.3設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角).(2)以弦AB為直徑的圓與準線相切．(3)過焦點且垂直于對稱軸的弦(通徑)的長為2p，通徑是過焦點最短的弦．變式2-2設拋物線C：y2＝2px(p＞0)，直線x－2y＋1＝0與C交于A，B兩點，且|AB|＝4eq\r(15)，則p＝__________________．視角3與拋物線有關的最值問題例2-3(2024·邯鄲三調)已知拋物線y2＝8x的焦點為F，P(x，y)為拋物線上一動點，點A(6，3)，則△PAF周長的最小值為()A.13 B.14C.15 D.16與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，根據“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決．轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為該點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決．變式2-3(2024·莆田二檢)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，點M在拋物線上．若點Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|MF|＋|MQ|的最小值為()A.5 B.4C.3 D.2直線與拋物線例3(2025·唐山期初)已知P(2，2eq\r(2))為拋物線C：y2＝2px(p＞0)上一點，經過點P且斜率為k的直線l與C的另一個交點為A，與l垂直的直線AB與C的另一交點為B.(1)若直線l經過C的焦點F，求直線l的方程；(2)若直線PA與直線PB關于x＝2對稱，求△PAB的面積．阿基米德三角形拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，如圖．性質1阿基米德三角形的底邊AB上的中線MQ平行于拋物線的軸．性質2若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內的定點C，則另一頂點Q的軌跡為一條直線，該直線與以C點為中點的弦平行．性質3若直線l與拋物線沒有公共點，則以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊AB過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(若直線l的方程為ax＋by＋c＝0，則定點的坐標為C\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)，－\f(bp,a))))).性質4底邊AB的長為a的阿基米德三角形的面積最大值為eq\f(a3,8p).性質5若阿基米德三角形的底邊AB過焦點，則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小值為p2.例4設拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，拋物線過點P(p，1).(1)求拋物線C的標準方程與其準線l的方程；(2)過點F作直線與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線的切線，證明：兩條切線的交點在拋物線C的準線l上．隨堂內化1.(2024·南通一調)已知直線y＝x－1與拋物線C：x2＝2py(p＞0)相切于點M，則M到C的焦點的距離為()A.1 B.2C.3 D.42.(2024·泉州三檢)已知拋物線C的頂點為坐標原點，對稱軸為坐標軸，準線為l.若C恰過(－2，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,4)))，(－2，－2)三點中的兩點，則C的方程為__________________；若過C的焦點的直線與C交于A，B兩點，且A到l的距離為4，則|AB|＝___________________．3.(2025·八省聯考)(多選)已知F(2，0)是拋物線C：y2＝2px的焦點，M是C上的點，O為坐標原點，則()A.p＝4B.|MF|≥|OF|C.以M為圓心且過點F的圓與C的準線相切D.當∠OFM＝120°時，△OFM的面積為2eq\r(3)配套精練A組夯基精練一、單項選擇題1.(2024·十堰4月調研)已知P(2，m)是拋物線C：x2＝2py(p＞0)上的一點，F為拋物線C的焦點，且|PF|＝2，則拋物線C的焦點坐標是()A.(1，0) B.(2，0)C.(0，1) D.(0，2)2.已知M為拋物線y2＝4x上的動點，F為拋物線的焦點，點P(1，1)，則|MP|＋|MF|的最小值為()A.2 B.4C.8 D.163.(2024·武漢2月調研)設拋物線y2＝2x的焦點為F，過拋物線上點P作其準線的垂線，設垂足為Q，若∠PQF＝30°，則|PQ|＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(\r(3),2)4.(2025·南京零模)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，點P在C上，點Q在l上．若|PF|＝2|QF|，PF⊥QF，則△PFQ的面積為()A.eq\f(25,4) B.25C.eq\f(55,2) D.55二、多項選擇題5.(2025·湛江期中)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝4x的焦點為F，A為C上第一象限的點，且|AF|＝2，過點F的直線l與C交于P，Q兩點，圓E：x2＋y2－4x＝0，則()A.|OA|＝eq\r(5)B.若|PQ|＝6，則直線l傾斜角的正弦值為eq\f(\r(3),3)C.若△OPQ的面積為6，則直線l的斜率為±eq\f(\r(2),4)D.過點A作圓E的兩條切線，則兩切點連線的方程為x－2y＋2＝06.(2024·新高考Ⅱ卷)設拋物線C：y2＝4x的準線為l，P為C上的動點，過點P作圓A：x2＋(y－4)2＝1的一條切線，Q為切點，過點P作l的垂線，垂足為B，則()A.l與圓A相切B.當P，A，B三點共線時，|PQ|＝eq\r(15)C.當|PB|＝2時，PA⊥ABD.滿足|PA|＝|PB|的點P有且僅有2個三、填空題7.若拋物線x2＝2py(p＞0)上一點M(1，m)到焦點的距離是2m，則p＝_________________．8.(2025·寧波期中)若拋物線C：y2＝4x的焦點為F，P為C上一點且|PF|＝3，O為坐標原點，則S△OPF＝_________________．四、解答題9.(2025·石家莊期中)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為2且位于x軸上方的點，點A到拋物線焦點的距離為eq\f(5,2).(1)求拋物線C的方程；(2)若過點F的直線l交拋物線C于B，D兩點(異于點O)，連接OB，OD，若S△OBF＝eq\f(1,2)S△ODF，求BD的長．10.(2025·杭州一模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p