第53講隨機(jī)事件與概率鏈教材夯基固本激活思維1.(人A必二P233練習(xí)T1)某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對(duì)立事件的是(D)A.至多一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都沒中靶【解析】對(duì)于A，“至多一次中靶”包含一次中靶、兩次都不中靶，“至少一次中靶”包含一次中靶、兩次都中靶，A不滿足條件；對(duì)于B，“兩次都中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系，B不滿足條件；對(duì)于C，“只有一次中靶”與“至少一次中靶”是包含關(guān)系，C不滿足條件；對(duì)于D，“兩次都沒中靶”與“至少一次中靶”對(duì)立，D滿足條件．2.(人A必二P243習(xí)題T3(2))拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A＝“第一枚硬幣正面朝上”，事件B＝“第二枚硬幣反面朝上”，下列結(jié)論正確的是(D)A.A與B互為對(duì)立事件 B.A與B互斥C.A與B相等 D.P(A)＝P(B)【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).事件A包含的結(jié)果有(正，正)，(正，反)，事件B包含的結(jié)果有(正，反)，(反，反)，顯然事件A，事件B都含有“(正，反)”這一結(jié)果，即事件A，事件B能同時(shí)發(fā)生，因此，事件A與事件B既不互斥也不對(duì)立，故A，B錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀，事件B中有不同的結(jié)果，所以事件A與事件B不相等，故C錯(cuò)誤；由古典概型知，P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，所以P(A)＝P(B)，故D正確．3.(人A必二P242練習(xí)T1)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3.(1)如果B?A，那么P(A∪B)＝_0.5_，P(AB)＝_0.3_；【解析】如果B?A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3.(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝_0.8_，P(AB)＝_0_．【解析】如果A，B互斥，那么A∩B＝?，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0.4.(人A必二P243習(xí)題T8)從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是_eq\f(3,10)_．【解析】該試驗(yàn)的樣本空間可表示為Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)}，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中能構(gòu)成三角形的樣本點(diǎn)有(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)，共3個(gè)，故所求概率P＝eq\f(3,10).5.(人A必二P239練習(xí)T3)從0～9這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為1的概率是_eq\f(1,5)_；這個(gè)數(shù)的四次方的個(gè)位數(shù)字為1的概率是_eq\f(2,5)_．【解析】從0～9這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，共有10種可能，其樣本空間可表示為Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．若一個(gè)數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為1，則該數(shù)為1或9，共2個(gè)，故其概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)；若一個(gè)數(shù)的四次方的個(gè)位數(shù)字為1，則該數(shù)平方的個(gè)位數(shù)為1或9，所以該數(shù)為1，3，7，9，共4個(gè)，故其概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).聚焦知識(shí)1.樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的_基本結(jié)果_稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的_子集_稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．②表示：大寫字母A，B，C，….③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件．2.兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生_A?B_相等關(guān)系B?A且A?B_A＝B_并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生_A∩B＝?_，_A∪B＝Ω_3.古典概型(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有_有限個(gè)_；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性_相等_．4.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率為P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n(A),n(Ω))，其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．5.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝_P(A)＋P(B)_．性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_1－P(B)_．性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝_P(A)＋P(B)－P(A∩B)_．研題型素養(yǎng)養(yǎng)成舉題說法隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算視角1事件關(guān)系的判定例1-1(1)口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取出3個(gè)球，則下列是互斥而不對(duì)立的事件是(D)A.“至少有1個(gè)紅球”與“至少有1個(gè)黑球”B.“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”C.“至少有1個(gè)紅球”與“至多有1個(gè)黑球”D.“恰有1個(gè)紅球”與“恰有2個(gè)紅球”【解析】對(duì)于A，不互斥，如“取出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)黑球”不是互斥事件，所以A不符合題意；對(duì)于B，“至少有1個(gè)紅球”與“都是黑球”不能同時(shí)發(fā)生，且必有其中之一發(fā)生，所以為互斥事件，且為對(duì)立事件，所以B不符合題意；對(duì)于C，不互斥，如“取出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球”與“至多有1個(gè)黑球”不是互斥事件，所以C不符合題意；對(duì)于D，“恰有1個(gè)紅球”與“恰有2個(gè)紅球”不能同時(shí)發(fā)生，所以為互斥事件，但不對(duì)立，如“恰有3個(gè)紅球”，所以D符合題意．(2)對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是(D)A.A?D B.B∩D＝?C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D【解析】用(x1，x2)表示試驗(yàn)的射擊情況，其中x1表示第1次射擊的情況，x2表示第2次射擊的情況，以1表示擊中，0表示沒中，則樣本空間Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．由題意得，A＝{(1，1)}，B＝{(0，0)}，C＝{(0，1)，(1，0)}，D＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，則A?D，A∪C＝D，且B∩D＝?，即A，B，C都正確；又B∪D＝Ω，A∪B＝{(0，0)，(1，1)}≠Ω.所以A∪B≠B∪D，故D不正確．判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；若兩個(gè)事件中有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件互為對(duì)立事件．對(duì)立事件一定是互斥事件．變式1-1(1)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A，B，C，D發(fā)生的概率分別是0.2，0.2，0.3，0.3，則下列說法正確的是(D)A.A∪B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件B.B∪C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件C.A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對(duì)立事件D.A與B∪C∪D是互斥事件，也是對(duì)立事件【解析】A中，A∪B與C是互斥事件，但不對(duì)立，因?yàn)镻(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A錯(cuò)誤；B中，B∪C與D是互斥事件，但不對(duì)立，因?yàn)镻(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B錯(cuò)誤；C中，A∪C與B∪D是互斥事件，也是對(duì)立事件，因?yàn)镻(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C錯(cuò)誤；D中，A與B∪C∪D是互斥事件，也是對(duì)立事件，因?yàn)镻(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正確．(2)(多選)某家商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，小聰、小明兩人共同前去抽獎(jiǎng)，設(shè)事件A＝“兩人都中獎(jiǎng)”，B＝“兩人都沒中獎(jiǎng)”，C＝“恰有一人中獎(jiǎng)”，D＝“至少一人沒中獎(jiǎng)”．下列關(guān)系正確的是(ACD)A.B∪C＝D B.A∩C≠?C.C?D D.B∩D＝B【解析】對(duì)于A，事件B∪C為“至多一人中獎(jiǎng)”，即“至少一人沒中獎(jiǎng)”，所以B∪C＝D，故A正確；對(duì)于B，事件A∩C表示兩人都中獎(jiǎng)且恰有一人中獎(jiǎng)，沒有這樣的事件，所以A∩C＝?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，“至少一人沒中獎(jiǎng)”包括“恰有一人中獎(jiǎng)”和“兩人都沒中獎(jiǎng)”兩種情況，所以C?D，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知B?D，所以B∩D＝B，故D正確．視角2利用事件的互斥、對(duì)立關(guān)系求概率例1-2(1)已知隨機(jī)事件A，B滿足P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(A∪B)＝eq\f(5,6)，則P(A∩B)＝(D)A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)【解析】依題意，P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)－eq\f(5,6)＝eq\f(1,4).(2)已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為eq\f(1,3)，且P(A)＝2P(B)，則P(eq\x\to(A))＝(C)A.eq\f(1,3) B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)【解析】由事件A，B互斥，且A，B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,3)，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，又P(A)＝2P(B)，所以2P(B)＋P(B)＝eq\f(2,3)，解得P(B)＝eq\f(2,9)，P(A)＝eq\f(4,9)，所以P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝eq\f(5,9).視角3用頻率估計(jì)概率例1-3某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表所示．賠付金額/元01000200030004500車輛數(shù)/輛6008011012090若每輛車的投保金額均為2500元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率為_0.21_；在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占15%，在賠付金額為4500元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占30%，估計(jì)在已投保的新司機(jī)中，獲賠金額為4500元的概率為_0.18_．【解析】賠付金額大于投保金額的頻率為eq\f(120＋90,600＋80＋110＋120＋90)＝0.21，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率為0.21.在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占15%，故投保的新司機(jī)人數(shù)為15%×(600＋80＋110＋120＋90)＝150，在賠付金額為4500元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占30%，即90×30%＝27(人)，估計(jì)在已投保的新司機(jī)中，獲賠金額為4500元的概率為eq\f(27,150)＝0.18.變式1-3某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C三個(gè)等級(jí)．加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)80元、50元、30元．該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù)，甲分廠加工成本費(fèi)為40元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為35元/件．該廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABC頻數(shù)453025乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABC頻數(shù)401050(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；【解答】由表可知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為eq\f(45,100)＝0.45，乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為eq\f(40,100)＝0.4.(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，該廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？【解答】甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為45×(80－40)＋30×(50－40)＋25×(30－40)＝1850(元)，所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為18.5元．乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為40×(80－35)＋10×(50－35)＋50×(30－35)＝1700(元)，所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為17元．故該廠家應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù)．古典概型例2(1)(2023·全國(guó)乙卷文)某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為(A)A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)【解析】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有6×6＝36(種)，若甲、乙抽到的主題不同，則共有Aeq\o\al(2,6)＝30種，則其概率為eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).(2)(2024·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)有4個(gè)外包裝相同的盒子，其中2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)白球，另外2個(gè)盒子分別裝有1個(gè)黑球，現(xiàn)準(zhǔn)備將每個(gè)盒子逐個(gè)拆開，則恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為(B)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)【解析】將4個(gè)盒子按順序拆開有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)方法，若恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中，則前兩個(gè)盒子都是白球或都是黑球，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝8(種)情況，則恰好拆開2個(gè)盒子就能確定2個(gè)白球在哪個(gè)盒子中的概率為P＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)的表示方法有列舉法(列表法、樹狀圖法)，以及排列、組合法．變式2(2025·八省聯(lián)考)有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為_eq\f(3,56)_.概率的綜合問題例3某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示．人數(shù)01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出醫(yī)生至多2個(gè)的概率；【解答】設(shè)事件A＝“不派出醫(yī)生”，事件B＝“派出1名醫(yī)生”，事件C＝“派出2名醫(yī)生”，事件D＝“派出3名醫(yī)生”，事件E＝“派出4名醫(yī)生”，事件F＝“派出5名或5名以上醫(yī)生”，且事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.“派出醫(yī)生至多2個(gè)”的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)求派出醫(yī)生至少2個(gè)的概率．【解答】方法一：“派出醫(yī)生至少2個(gè)”的概率為P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二：“派出醫(yī)生至少2個(gè)”的概率為1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法(1)直接法(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡(jiǎn)單).隨堂內(nèi)化1.(2024·全國(guó)甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是(B)A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)【解析】方法一：畫出樹狀圖，如圖，(第1題答)由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，故所求概率P＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).方法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位時(shí)，丙有2種排法，丁就1種，共2種；當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位時(shí)，丙有1種排法，丁就1種，共2種．于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意．基本事件總數(shù)顯然是Aeq\o\al(4,4)＝24，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).2.已知隨機(jī)事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，則P(eq\x\to(A))＝(A)A.0.5 B.0.1C.0.7 D.0.8【解析】因?yàn)殡S機(jī)事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，所以P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.7－0.2＝0.5，所以P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.3.(2025·嘉興期初)將數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9隨機(jī)填入3×3的正方形格子中，則每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為(A)A.eq\f(8,9！) B.eq\f(12,9！)C.eq\f(24,9！) D.eq\f(48,9！)【解析】符合題意的填寫方法有如下8種：而9個(gè)數(shù)填入9個(gè)格子有9！種方法，所以所求概率為P＝eq\f(8,9！).4.(2024·濟(jì)南、青島、棗莊三模)某人上樓梯，每步上1階的概率為eq\f(3,4)，每步上2階的概率為eq\f(1,4)，設(shè)該人從第1階臺(tái)階出發(fā)，經(jīng)過第3階臺(tái)階的概率為_eq\f(13,16)_．【解析】經(jīng)過第3階臺(tái)階的情況有兩種：第一種：每步上一個(gè)臺(tái)階，上兩步，則概率為eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16)；第二種：只上一步且上兩個(gè)臺(tái)階，則概率為eq\f(1,4)，所以經(jīng)過第3階臺(tái)階的概率為eq\f(9,16)＋eq\f(1,4)＝eq\f(13,16).練案?趁熱打鐵，事半功倍．請(qǐng)老師布置同學(xué)們及時(shí)完成《配套精練》．練案?1.補(bǔ)不足、提能力，老師可增加訓(xùn)練《抓分題·高考夯基固本天天練》(提高版)對(duì)應(yīng)內(nèi)容，成書可向當(dāng)?shù)匕l(fā)行咨詢購買．2.為提高高考答卷速度及綜合應(yīng)考能力，老師可適時(shí)安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天練》(提高版)，成書可向當(dāng)?shù)匕l(fā)行咨詢購買．配套精練一、單項(xiàng)選擇題1.(2022·全國(guó)甲卷)從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為(C)A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)【解析】從6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6種情況，故所求概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).2.(2023·全國(guó)甲卷文)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為(D)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)【解析】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(2,4)＝6，其中這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的基本事件個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝4，所以這2名學(xué)生來自不同年級(jí)的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).3.(2025·蘇州期末)現(xiàn)有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五張卡片，甲、乙兩人隨機(jī)依次從中各抽取兩張，則僅有甲抽到的卡片上數(shù)字之和為6的概率為(A)A.eq\f(2,15) B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,15) D.eq\f(2,5)4.(2024·黃山一檢)2024年是安徽省實(shí)施“3＋1＋2”選科方案后的第一年新高考，該方案中的“2”指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是(D)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)【解析】依題意，從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門共有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)情況，其中化學(xué)和地理都沒有被選中共有Ceq\o\al(2,2)＝1(種)，因此，化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是P＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).二、多項(xiàng)選擇題5.有甲、乙兩種報(bào)紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報(bào)紙”，事件F為“至少訂一種報(bào)紙”，事件G為“至多訂一種報(bào)紙”，事件H為“不訂甲報(bào)紙”，事件I為“一種報(bào)紙也不訂”．下列說法正確的是(BC)A.E與G是互斥事件B.F與I是互斥事件，且是對(duì)立事件C.F與G不是互斥事件D.G與I是互斥事件【解析】對(duì)于A，E與G有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，F(xiàn)與I不可能同時(shí)發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且是對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，F(xiàn)與G可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C正確；對(duì)于D，G與I可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．6.利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個(gè)工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件A＝“是一等品”，B＝“是合格品”，C＝“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是(ABC)A.P(B)＝eq\f(7,10) B.P(A∪B)＝eq\f(9,10)C.P(A∩B)＝0 D.P(A∪B)＝P(C)【解答】由題意得，P(A)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(70,100)＝eq\f(7,10)，P(C)＝eq\f(100－20－70,100)＝eq\f(1,10)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(7,10)＝eq\f(9,10)≠P(C)，P(A∩B)＝0，故A，B，C均正確，D錯(cuò)誤．7.對(duì)于事件A和事件B，P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，則下列說法正確的是(BD)A.若A與B互斥，則P(AB)＝0.3B.若A與B互斥，則P(A∪B)＝0.9C.若A?B，則P(AB)＝0.18D.若A與B相互獨(dú)立，則P(AB)＝0.18【解析】對(duì)于A，若A與B互斥，則P(AB)＝0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若A與B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.9，故B正確；對(duì)于C，若A?B，則P(AB)＝P(A)＝0.3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若A與B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)＝0.18，故D正確．三、填空題8.社區(qū)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_eq\f(3,10)_．【解析】設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1，2，3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，樣本空間Ω＝{(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)}，共10個(gè)樣本點(diǎn)．其中，甲、乙都入選的樣本點(diǎn)有3個(gè)，故所求的概率為P＝eq\f(3,10).9.(2024·十堰4月調(diào)研)某校開設(shè)美術(shù)、書法、籃球、足球和象棋興趣班，已知該校的學(xué)生小明和小華每人報(bào)名參加其中的兩種興趣班，且小明至少參加一種球類的興趣班，則小明和小華至少參加同一個(gè)興趣班的概率是_eq\f(7,10)_．【解析】小明和小華參加興趣班的方案有(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3))Ceq\o\al(2,5)＝70(種)，其中小明和小華參加的興趣班都不同的情況有(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3))Ceq\o\al(2,3)＝21(種)，故所求概率P＝1－eq\f(21,70)＝eq\f(7,10).10．某工廠生產(chǎn)了一批雪車，這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品、二等品、三等品．從這批雪車中隨機(jī)抽取一件雪車檢測(cè)，已知抽到不是三等品的概率為0.93，抽到一等品或三等品的概率為0.85，則抽到一等品的概率為_0.78_．【解析】設(shè)抽到一等品、二等品、三等品的事件分別為A，B，C，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P(A)＋P(B)＝0.93，,P(A)＋P(C)＝0.85，,P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P(A)＝0.78，,P(B)＝0.15，,P(C)＝0.07，))所以抽到一等品的概率為0.78.四、解答題11.4月23日是世界讀書日，其設(shè)立的目的是推動(dòng)更多的人去閱讀和寫作．某市教育部門為了解全市中學(xué)生課外閱讀的情況，從全市隨機(jī)抽取1000名中學(xué)生進(jìn)行調(diào)