第9章分式章末題型過關卷

【滬科版】

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2022?河北?一模）只把分式手中的機，"同時擴大為原來的3倍后，分式的

5n

值也不會變，則此時Q的值可以是下列中的（）

A.2B.mnC.—D.m2

3

【答案】C

【分析】根據分式的性質，分子分母的血，九同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變,

則a為含m或n的一次單項式，據此判斷即可.

【詳解】解：畔V中的九同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變，

曲為含m或九的一次單項式，故只有C符合題意.

故選C.

【點睛】本題考查了分式的性質，掌握分式的性質是解題的關鍵.

2.（3分）（2022?全國?八年級單元測試）計算于（一》§）2的結果是（）

A.-xB.一次C.'D.

yyy

【答案】A

【分析】分式的運算首先要分清運算順序，在這個題目中，首先進行乘方運算，然后統一成

乘法運算，最后進行約分運算.

【詳解】原式=衛/名=一工

yyx2

故選A.

【點睛】在計算過程中需要注意的是運算順序.分式的乘除運算實際就是分式的約分.

3.（3分）（2022?全國?八年級專題練習）若分式方程2+2="三有增根，則k的值是

（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】使分母等于0的未知數的值是分式方程的增根，即x=2,將x=2代入化簡后的整式

方程中即可求出k的值.

【詳解】力+2=等，

去分母得：1+2（x-2）=kx-l,

整理得：2x-2=kx,

團分式方程有增根,

I3x=2,

將x=2代入2x-2=kx,

2k=2,

k=l,

故選：A.

【點睛】此題考查分式方程的增根，正確理解增根的意義得到未知數的值是解題的關鍵.

4.（3分）（2022“1|東威海?期中）設〃=言［—言丁〃=忌7—舟7.則〃,4的關系是（）

A.p=qB.p>q

C.p=-q0.p<q

【答案】C

【分析】判斷p,q的關系，可以計算（p+q）的結果，由此即可求解.

【詳解】解：根據題意得，

.ab.11a+1b+11?,八

p+q=-------------+----------—=----------=1-1=0>

LFa+1a+la+1b+1a+1b+1

團p，q的關系是互為相反數，

故選：C.

【點睛】本題主要考查分式的加減混合運算,掌握分式加減法法則是解題的關鍵.

5.（3分）（2022?浙江?杭州市文瀾中學七年級期中）一件工程，甲單獨做需要。小時完成,

乙單獨做需要8小時完成.若甲、乙二人合作完成此項工作，需要的時間是（）

A.”々、時B.0+3小時C.上小時D.q小時

2\abJa+ba+b

【答案】D

【分析】由題意可得甲單獨做每小時完成工程的工，乙單獨做每小時完成工程的:，然后根據

工作時間=工作總量+工作效率列式計算即可.

【詳解】解：團甲單獨做每小時完成工程的士乙單獨做每小時完成工程的3

回甲、乙二人合作完成此項工作需要的小時數是3=S（小時）：

abQ+b

故選：D.

【點睛】本題考查了列代數式，讀懂題意，找到題目中隱含的數量關系是解本題的關鍵.

6.（3分）（2022?廣西貴港?八年級期中）已知工一工=3,則分式變也包的值為（）

xyx-xy-y

72

8-c-A4

A.B.27

【答案】B

【分析】把已知整理成％-y=-3xy,再整體代入求解即可.

【詳解】解：展一二=3,即二=3,

xyxy

Hy—x=3xy,即x—y——3xy,

px+xySy_5(x-y)+xy_5x(-3xy)+xy_-I4xy_7

x-xy-y(x-y)-xy(-3xy)-xy-4xy2

故選:B.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，在本題中能理解整體思想并且將x-y=-3xy整體代

入是解題關鍵.

7.（3分）（2022?甘肅?臨澤縣第三中學九年級期中）《九章算術》中記載：“今有兔先走

一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止.問犬不止，復行幾何步及之？〃大意是說:

兔了先出發100步，然后狗出發，狗跑了250步后，距離兔了還有30步，問：如果狗不停

的話，再跑多少步可以追到兔子？若設如果狗不停的話，再跑X步可以追到兔子，則可列方

程為（）

a250xc250x-30C250X+30「250X

A.—=------B.—=------C.—=------D.—=------

180%+30180X180X180*-30

【答案】D

【分析】根據題意可得狗與兔子的速度比為250：180,設狗再跑x步，可追上兔子，此時

兔子跑的步數為：（/30）步，根據題意列出方程，即可求解.

【詳解】解：兔子先出發100步,狗跑了250步后距兔子30步,

團兔子跑了250-100+30=180（步），

即狗與兔子的速度比為250：180,

設狗再跑x步，可追上兔子，此時兔子跑的步數為：（上30）步，根據題意得:

250_X

180x-30*

故選：D

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，根據題意得到狗與兔子的速度比為250；180是

解題的關鍵.

>2y+1

8.（3分）（2022?重慶巴蜀中學九年級階段練習）若關于），的不等式組2口<］的解

集為*7,且關于x的分式方程三+4=￡的解是非負整數，則所有滿足條件的整數〃

的值之和是（）

A.12B.14C.19D.21

【答案】C

【分析】先解分式方程得了=4-竽，再由題意可得手W0,且字。3,可求得QW11且a工2而

且1+Q為3的倍數，；再解不等式組，結合題意可得a>7,則可得所有滿足條件的整數a有

-4,-1,5,8,11,求和即可.

【詳解】解：若+4=:，

x-33-x

（l-x）+4（x-3）=-a,

3x=ll-a?

U-a.l+a

X=—=4-->

?.?方程的解為非負整數,

.*.ll-a>0,竽為整數,

J

???aWll，而且1+a為3的倍數,

又

.%^H3,

*3

??.QH2,

???a<11且存2,而且1+G為3的倍數,

f^>2y+l①

I『1②’

由①得入-4,

由②得y〈a+3，

?.?不等式組的解集為戶一4,

團a+3>-4,

Aa>-7

?,?符合條件a的整數有-4,-1,5,8,11,

符合條件的所有整數Q的和為=（-4）+（-1）+5+8+11=19,

故選：C.

【點睛】本題考杳分式方程的整數解，一元一次不等式組的解集，熟練掌握一元一次不等式

組的解集取法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情況是解題的關鍵.

9.（3分）（2022?山東?濟南外國語學校九年級）設％WO,yWO,z<0,則三數x+Ly+~,

z+二中（）

X

A.都不大于一2B,都不小于一2

C.至少有一個不大于一2D.至少有一個不小于一2

【答案】C

【分析】首先把三個數相加，得至46十5）十（y+]+（z+3,由已知可知”十：￡一2,y十

-<—2,z+-<—2,可得乃+工+y+L+z+工工—6,據此即可判定.

yzyzx

【詳解】解：x4-^+y+^+z4-^=（x+^+^y+^+（z+^,

x<0?y<0,z<0,

.?.%+-<-2,y+-<-2,z+-<-2,當且僅當x=y=z=-l時，取等號

xyz“

Ax+-+y+-+z+-<-6,

y"zx

當這三個數都大于-2時-，這三個數的和一定大于-6,這與1+工+丫+工+2+工工一6矛盾，

yzx

.?.這三個數中至少有一個不大于-2,

故選：C.

【點睛】本題考查了利用不等式的取值及反證法，判定命題的真假，難度比較大.

10.(3分)(2022?湖南?衡陽市成章實驗中學八年級階段練習)已知函數/?(%)=?，其中

/'(a)表示％=。時對應的函數值，如/'(I)=后，/'(2)=后，則/■(表)+/(焉)+../(，+

f(l)+f(2)+...+/(2021)+f(2022)的值為()

A.2022B.2021C.4043D.4042

【答案】C

【分析】首先根據已知條件把所求的式子進行化簡，再代入相關數值，計算即可.

【詳解】解：0/(^=A=^

1+二aa+1

則有:

/(盛)+，喘i)+…十嗎)

4044,4042,4040..4

=------1----------------F…+―，

2023202220213

/(I)+/(2)+???+/(2020)+/(2021)+/(2022)

=1_1_￡_!_￡-L..._|___-___I___

3420222023

1山1西十_4044,4042,4040,,4,,2,2,12,2

20232022202133420222023

/42\/62\/40442\

=1+(3+3)+(4+4)+*，，+(2023+2023)

=1+(2023-2)x2

=4043,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了函數值的計算，計算的關鍵是理解已知條件中的關系式，對每個式

子進行化簡.

二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

11.(3分)(2022?遼寧大在?八年級期末)已知三二白=￡則？*=

234yz-----

【答案】：

6

【分析】設：=：=:=%，則有x=2匕y=3k,z=4kr代入即可求解.

【詳解】設;=：=：=%根據題意有，h0,

則有x=2匕y=3k,z=4鼠

p^xy-x2_(2外(3幻-(2k)2_6d-4,2_1

'yz~(3k)(4/c)-12k2-6’

故答案為：!

O

【點睛】本題考查為了分式的求值，設:=9=:=k是解答本題的關鍵.

12.（3分）（2022?浙江舟山?七年級期末）在分式當中，當時，分式有意義；

當％=，分式的值為零.

【答案】X*1X~

【分析】要使分式有意義，則需要滿足分式的分母不為零，即3%-5/0；要使分式的值為

零，則需要滿足分式的分子為零，分母不為零，即2.r+l=0,3%-5Ho.

【詳解】解：分式有意義，則3%—5。0,即“制，

分式的值為零，則日”［：*，，解得％=

（2%+1=02

故答案為工工9x=—1

*54

【點睛】本題考查分式有意義的條件以及分式值為零的冢件，解題的關鍵是掌握分式的分母

不為0時分式有意義，分式的分子為。分母不為。時，分式的值為0.

13.（3分）（2022?遼寧,本溪滿族自治縣教師進修學校八年級期末）若關于x的分式方程

2+3=0的解為％=%則常數。的值

xx-a--------------

【答案】10

【分析】根據分式方程的解的定義把代入原分式方程得到關于a的方程，然后求解即可.

【詳解】解：把代入分式方程白+工=0,得

xx-a

2.3

-H----=0n,

44-Q

解得：4=10,

經檢驗用10是方程的解，

故答案為：10.

【點睛】此題考查了分式萬程的解和解分式方程，解題的關鍵是注意分式方程分母不能為0.

14.（3分）（2022?湖南?邵陽市第六中學八年級階段練習）若關于x的分式方程三二:無

解，則Q=.

【答案】2

【分析】先去分母，將原方程化為整式方程，根據一元一次方程無解的條件看能否得出?類

〃值，再根據分式方程無解的條件看能否得出另外一類“值即可.

【詳解】解：汽=：，

去分母得：3（%-a）=2x-4,

整理得：x=3a-4,

由于此方程未知數的系數是1不為0,故無論。取何值時，3（%-0）=2%-4都有解，故此

情形下無符合題意的。值：

由分式方程無解即有增根，可得2.「4=0,得m2

把x=2代入x=3Q-4,

解得：4=2,故此情形下符合題意的a值為2；

綜上，若要關于x的分式方程三=；無解，。的值為2.

2%—43

故答案為：2.

【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程及摳式方程無解的條件是解題的關鍵.

15.（3分）（2022?湖南長沙?七年級階段練習）已知字要=等三+令吆n其中48,

x4+x2+lx2+x+lx2-x+l

C,。為常數，則力+8+C+0=.

【答案】6

2

【分析】由于。/+1=（/+1）2_x2=（x2+l+x）（x+l-x）,利用這個等式首先

把已知等式右邊通分化簡，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可

得到關于/、B、C、。的方程組，解方程組即可求解.

6/+1Ox4x+B+Cx+D422

【詳解】解:Hx+/+1=(無2+i)2-x=(%4-14-

X4+X2+lx2+x+lx2-x+l

X)(X2+17),

6X3+10X_(zlx+B)(x2+l-x)+(Cx+D)(x2+l+x)

,?x4+x2+l-x*+x2+l

6x3+10%=(Ax+fi)(r24-1-x)4-(Cx+D)(x2+1+x)

???當x=0時，8+D=0①

當％=1時，A+B+3(6+D)=16(2)

當％=—1時，3(8—4)+。一。=-16③

06x3+10x=(Ax3+Bx2}+(Ax+8)(1-x)+(Cx3+Dx2)+(Cx+0)(1+x),

即6爐+lOx=(4+C)爐+Bx2+(Ax+B)(l-x)+Dx2+(Cx+0)(1+x)

蜘+C=6④

聯立①②③④解之得

A=C=3.8=—2、D=2,

???A+3+C+0=6.

故答案為：6.

【點睛】此題主要考查了部分分式的計算，題目比較復雜，解題時首先正確理解題意，然后

根據題意列出關于4、B、C、。的方程組即可解決問題.

16.（3分）（2022?吉林?九年級專題練習）設a,b,c,d都是正數，且S=-^-+/+士+

a+b+da+b+cb+c+d

那么s的取值范圍是.

a+c+d-

【答案】1<S<2

【分析】根據分式的性質，分別將分母擴大、縮小，通過分式加減，計算即可得到結論.

【詳解】0a,b,c,d都是正數

羽=」一+-^，一++_1_=火山=1

a+b+da+b+cb+c+da+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+da+b+c+d

_a,bc,da,bc,da+bc+d_

a+b+da+b+cb+c+da+c+da+ba+bc+dc+da+bc+d

01<S<2

故答案為：1VSV2.

【點睛】本題考查了分式的知識；解題的關鍵是熟練掌握分式加減運算的性質，從而完成求

解.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2022?山東,龍口市教學研究室八年級期中）（1）化簡：

x2-l

（2）先化簡，再求值：三淳+。+2-+），其中％=-1.

【答案】（1）^

⑵—,--

X+32

【分析】（1）根據分式的減法法則計算即可；

（2）根據分式的混合運算法則計算，將分式化簡，再把無=-1代入化簡式計算即可.

(x+l)2X

【詳解】解:（1）原式二

(x-l)(x+l)x-1

X+1X

~X-1~X-1

1

=---.

X-1

(2)原式=出三2+年F

x-2x-2

_3x(x-3)x-2

x—2(x+3)(%-3)

3x

-x+3*

當％=-1時，原式=也3=->

【點睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式運算法則是解題的關鍵.

18.（6分）（2022?天津東麗?八年級期末）解分式方程

(1)-=--3

x-22-x

⑵工=二一^

2-xx-23/-12

【答案】（1）無解：⑵

【分析】（1）兩邊同時乘以x-2化為整式方程，解得x=2后檢驗即可;

（2）先去分母化為一元一次方程，解方程得到再檢驗即可.

【詳解】（1）去分母得：l=.i-l-3x+6,

解得：x=2,

經檢驗x=2是增根，分式方程無解；

(2)去分母得：-3(x+2)=3(x+2)-6+x,

去括號得：-3x-6=3x+6-6+x,

移項合并得：7.v=-6,

解得:尸哆

經檢驗是分式方程的解.

【點睛】此題考查解分式方程，按照去分母化為整式方程，再去括號、移項、合并同類項、

系數化為1的步驟解方程，得到解后必須代入最簡公分母中檢驗，當未知數的值使分母為0,

則該解不是分式方程的解，如果不等于0,則該解是原分式方程的解.

19.(8分X2022?山東?招遠市教學研究室八年級期中)關于x的分式方程與+L^^=上；

X-2(X+l)(X-2)X+1

⑴若方程的增根為3=2,求機的值；

(2)若方程有增根，求，〃的值；

⑶若方程無解，求，〃的值.

【答案】⑴-3

(2)9或一3

(3)1或9或一3

【分析】(1)根據分式方程的性質先去分母，再移項并合并同類項，結合題意，通過求解

一元一次方程，即可得到答案：

(2)根據分式方程增根的性質，首先得方程的增根為%=-1或%=2,再通過計算即可得到

答案；

(3)結合(1)的結論，根據分式方程和一元一次方程的性質計算，即可得到答案.

【詳解】(1)壬+,差八=4?

x-2(x+l)(x-2)x+1

去分母得：2(%+1)+mx=3(x—2),

移項并合并同類項，得：［血—l)x+8=0,

當方程的增根為％=2時，，(m-l)x2+8=0,

0m=-3：

(2)當方程有增根時，方程的增根為為=-1或%=2,

當％=2時，m=-3,

當％=—1時，(機-1)x(-1)+8=0,

解得：in=9,

0m=9或m=-3；

（3）0（m-l）x+8=0

當方程無增根，且m-1=0時，方程無解，

團得m=1?

當方程有增根，且x=-1時，m=9,方程無解，

當方程有增根，且％=2時，m=-3,方程無解.，

團當m=1或m=9或m=-3時，方程無解.

【點睛】本題考查了分式方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握分式方程的性質，從而完成求

解.

20.（8分）（2022?湖南永州市冷水灘區京華中學八年級階段練習）永州市萬達廣場籌建

之初的一項挖土工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，每施工一天，需付甲工程隊

工程款2.4萬元，付乙工程隊工程款1.8萬元，工程領導小組根據甲、乙兩隊的投標書測算,

可有三種施工方案：

（方案一）甲隊單獨完成這項工程，剛好按規定工期完成；

（方案二）乙隊單獨完成這項工程要比規定工期多用6天；

（方案三）若由甲、乙兩隊合作做5天，剩下的工程由乙隊單獨做，也正好按規定工期完工.

⑴請你求出完成這項工程的規定時間；

⑵如果你是工程領導小組的組長，為了節省工程款，同時又能如期完工，你將選擇哪一種

方案?說明理由.

【答案】⑴30天；

⑵選擇方案三，理由為既干省了工程款且又能如期完工.

【分析】（1）設完成這項工程的規定時間為X天,則甲隊單獨完成這項工程為x天,乙隊單

獨完成這項工程為（％+6）天，然后根據“甲、乙兩隊合作做5天，剩下的工程由乙隊單獨做,

也正好按規定工期完工”列分式方程求解即可；

（2）根據題意可知有方案一和方案三符合條件，然后分別求出方案一和方案三的工程款，

然后比較即可解答.

（1）

解：設完成這項工程的規定時間為x天,則甲隊單獨完成這項工程為x天，乙隊單獨完成這項

工程為（％+6）天

由題意得：（—I-----）x5+--x（x—5）=1>解得：30

XX+6X+6x=

經檢驗：X=30是原分式方程的解.

答:完成這項工程的規定時間為30天.

（2）

解：如期完工時，只有方案一和方案二符合條件

方案一工程款:30x2.4=72(萬元)

方案三工程款：5x(2.4+1.8)+(30-5)x1.8=66(萬元)

072>66

團選擇方案三.

答:選擇方案三,理由為既節省了工程款且又能如期完工.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用、列代數式計算等知識點，靈活運用分式方程解決

實際問題是解答本題的關遜.

21.（8分）（2022?福建福州日升中學八年級期末）閱讀:

對于兩個不等的非零實數0b,若分式紋山型的值為零，則或%=從又因為

X

==竺一所以關于人的方程％+吆=Q+b有兩個解，分

XXXX

別為%=a,x2=b.

應用上面的結論解答下列問題：

（1）方程％+g=6有兩個解，分別為勺=2,%2=.

⑵關于x的方程％+器=巴寨式的兩個解分別為%1=2,小=.

⑶關于x的方程2%+%=2幾的兩個解分別為%I/2（M＜孫），求笠1的值?

Zx-1Z42

【答案】⑴4.

7n-n

(2)2mn

⑶公

【分析】（1）方程變形后，利用題中的結論確定出方程的解即可：

（2）方程變形后，根據利用題中的結論，確定出々與X2的值即可；

（3）方程變形后，根據利用題中的結論表示出為內、X2,代入原式計算即可得到結果.

⑴

解：02x4=8,2+4=6,

團方程3+色=6的兩個解分別為工尸2,m=4.

X

故答案為：4.

(2)

解.：方程變形得：%+急擔=產+2,

x2mn

由題中的結論得：方程有一根為2,另一個根為手;

2mn

m-n

則X2=-

X/=2,2mn

故答案為：黃

解：方程整理得：2.1+箕｝n+Ll,

得2x-l=n-l或2x-l=n,

則原式=一.

n+l

【點睛】此題考查了分式方程的解，弄清題中的規律是解本題的關鍵.

22.（8分）（2022?全國八年級專題練習）我們定義：如果兩個分式力與B的差為常數，且

這個常數為正數，則稱A是B的“雅中式〃，這個常數稱為.4關于B的“雅中值〃.

如分式A=二，B=—,A-B=---=—=^^=2,則A是8的“雅中式〃，力關

X+14+1x+1x+1x+lX+1

于8的"雅中值”為2.

（1）己知分式C=2,。=萼［判斷C是否為。的“雅中式〃，若不是，請說明理由；

X+2X2+4X+4

若是，請證明并求出C關二。的“雅中值〃；

（2）已知分式，=占，Q=白，，是Q的“雅中式”，且.關于Q的“雅中值”是2,無為整數，

且“雅中式〃P的值也為整數，求E所代表的代數式及所有符合條件的X的值之和；

（3）已知分式M=（""）Q-C）,N=-5）,（。、。為整數），M是N的“雅中式〃，且

XXb＞

M關于N的“雅中值”是1,求a-b+c的值.

【答案】（1）不是，利用見解析；（2）E=18+6x,27：（3）16或8或一4或4.

【分析】（1）先化簡D，再計算C-D，再根據“雅中值”的定義可得答案；

（2）由定義可得：占一蕓=2,整理可得：/?的表達式.再化簡P.根據工為整數,m“雅

中式"P的值也為整數，得到：3-%是6的因數，從而可得答案：

（3）由定義可得：底辿三一七吆*=1,整理可得：（-b-c+a+4）x+bc-5a=0,

XX

從而可得：｛一"15:5：［彳=°'再消去原結合因式分解可得“。一5）-5（（7-5）=5,結合

a、b、c為整數，分類討論后可得答案.

C不是。的“雅中式〃.

（2）vP關于Q的"雅中值”是2,

P-Q=2,

E_2x

9-X23-X

AE-2x(3+x)=2(9-.v2),

：?E=18+6x,

.p_18+6X_6(3+x)__6_

--

"-9r2(3+x)(3-x)3r，

???X為整數，且“雅中式〃P的值也為整數，

???3-%是6的因數，

二3一無可"能是：±1,±2,±3,±6,

???》的值為：一3,0,1,2,4,5,6,9.

vx工±3,

???%的值為：0,1，2,4,5,6,9.

???0+1+2+4+5+6+9=27.

(3)???M是N的“雅中式〃，且M關于N的“雅中值”是1,

:.M-N=1,

(x-b)(x-c)(x-a)(x-5)_

■?---------------...................-1/

XX

整理得：(-b—c+Q+4)x+be-5a=0,

由上式恒成立：

.r—b—c+a+4=0

Ybe—Sa=0

消去a可得：be-5b-5c+20=0,

??-be-5b-5c+25=5,

???b(c-5)-5(c-5)=5,

(b-5)(c-5)=5,

Va、b、c為整數

6,c—S為整數.

當b—5=1,c—5=5時.b=6,c=10,

此時：Q=12,

Q-b4-c=12—6+10=16,

當力一5=5,。-5=1時，，6=10,。=6,

此時：a=12,

???a—b+c=12—104-6=8,

當b—S=—1,c—5=—5時，二b=4,c=0,

此時：Q=0,

a-b+c=0-4+0=-4,

當力一5=-5,。-5=