§2.5有渦流動的有關概念與性質

一、有渦流動的有關概念

有渦流動:流體微團的旋轉角速度3工0,稱為有渦流動，否則稱為無渦流動或有勢流動。

有渦流動是流體微團繞自身軸旋轉，圓周運動并不?定有旋流動。

j■7一

女

3。

IA-

渦量的定義:Q=2ry=VxV=la〃y^&=Q/+CJ+QK渦量是一個矢量場。

V卬

渦線的定義:某一瞬時，在渦場場中劃出的曲線，在該曲線

上任意一點的切向方向與該點流體的渦量的

方向一致。其數學表達式：Qx^；=0

其中d：為渦線的微元長度。渦量的正方向規

定為按右手螺旋法則確定,

泯線的微分方程:

rtr渦線的定義：

77%

Qxf/r=C\Q=0可得。

dxdydz

dxdydz_dx

—=——=—或—=也=四

vQz%4g

在軸對稱及平面流動中渦線與流線是正角的，問一瞬時過一點只能作一條渦線，對

于定常流動渦線是不隨時間變化的，因此用渦線可幾何地表示渦量場，可看成是流體微團轉

動瞬時軸線。

渦管的定義:過一個非渦線的封閉曲線的各點做渦線，由其形成的管狀曲面稱為渦管。

渦通量:通過某一開口曲面的渦量的總和。

A

渦通量也稱為渦管強度，其中A為開口曲面的面積，Q為c/A

上的渦量，7為dA的外發線單位矢量。

速度環最:流場中速度向最沿某一封閉曲線的線積分。

=,V?c/s=judx-\-vdy-\-wdz

速度環量一般規定繞封閉曲線L為逆時針繞行時「為正值。

渦量的散度:根據散度的定義及渦量的定義可知▽?Q=V?(Vx￡)=()。

二、有關定理及推論

斯托克斯定理:封閉曲線L上的速度環量等于，穿過以該曲線為周界的任意開口曲面A

的渦通量。

r=jVds=^hndA=J

LA

斯托克斯定定理可以讓我們根據封閉曲線上的速度

環量確定以其為周界任意開口曲面的渦通量。流場V易

于求知。

渦管強度守恒定理:同一時刻，同一渦管的各個以繞渦管

壁面的封閉曲線為邊界的曲面上渦通量相同。

0Q]?n\dA=Ji5?n2dA

AA2

由斯托克斯定理與渦管強度守恒定理可得如下幾個推論:

（1）對于同一微元渦管而言，截面積越小，流體旋轉角速度就越大;

（2）渦管截面積不可能收縮為零，因此渦管不能始或終于流體中；

（3）在泅管上繞渦管的任意封閉曲線的速度換量相等。

凱爾文定理:封閉流體線的速度環量對于時間的變化率等于此封閉流體線的加速度的環量。

即:

式中L為封閉流體線，加為封閉流體線上的有向微元長度。

§2.6無渦流動的有關概念及性質

無渦流動（無旋流動）:劉體微團旋轉角速度為零的流動稱為無渦流動。即：

。=2（0=0或。人、=69Jv=CO.4=0

流速勢函數：無渦流動必然存在一個標量函數力，其梯度即為速度向量V,即京=▽"

證明：由無渦流動條件可得：

1。dvdu

co.=—(————)=0

2及分dx8y

1.duOVV_CW

co..=(——)=0-A

）2分dxdxdz

1awdwcv

(八=—(―?一丁）二0=—

2dydzdz

上面表達式即為V與?個標量函數8滿足V=V0的充分與必要條件。因此無旋流動必然

存在流速勢函數9,反之勢函數存在必無旋。

小作，〃二"，八匣，”,=也

dxdydz

引入速度勢夕后，可以將一個速度場(三個未知量)與一個標量8聯系起來，若能夠求解

得到9,則可確定速度場方。

速度勢與速度環量:

d(p=』x』y粵dz

dxdydz

dT=Vds=udx+vdy-\-wdz

代入速度勢的定義V=V(p,ii=^~,u=紗，卬二絲后可得：d(p=dT

dx/dz

上式表示速度勢的全微分與速度環量的全微分是相等的。對于無渦流場中的任意兩點他連線

進行積分可得:

Jd(p-或j40=Jv?4s

PoPP\>PP4PP2P

注意，上面積分的結果與積分路徑和所討論的積分區域芍關，可以給出兩種情況討論:

1、在單連域內，上面積分與路徑無關，速度勢與速度環量之間的關系為:

(pP-(p,]}=\VdsL為連接p與p。的任意路徑

L

(pP-(Pn>=jv-ds=0L為連接p與po的任意封閉路徑

L

證明:如果沿po到p在回到po的逆時針應用斯托克斯定理可得:

jV?"s=JJQ?ndA

Pn+r-PoA

其中A為以poppo為周界的任意開口的

曲面。

若流動是無旋的，則由上式可得：

W.芯=0,

這表明該積分與路徑無關，

(Pp-(Ppn={V-J5=0)

2、對于雙連通域，\d(p=?，4與積分路徑有關，積分結果為80一>玲=〃■+

PDPPOPPCI

其中r0=jv-ds為雙連域繞內環乙的速度環量值。n為繞內邊界Lx的次數。

證明：如圖所示為一個雙連域，其內環(邊界)為右，其外環為乙(外邊界)。其繞內邊

界的速度環量=0=，/”工

首先讓我們證明，對于任意的包圍右封閉曲線右，有:

LyL2

作一隔面AB,并按沿4（逆時針繞行）fAB-r&（順時針繞行）一AB-的路線就

可將雙環內的雙連域變成一個以隔面AB?和AB為端

面的單連域。

根據前面單連域，速度環量與積分路徑無關的結法可

得：

fV-=肝.欣4=0

〃+A8"+A￡FA

仔於=JV?加+JV.芯+JV.於=()

ZAH~TAH'

在AB+和AB-上，V的大小方向一樣，但ds的方向恰好相反，因此可得二者積分之

和為零。因此：

仔於=_仔於因為_儼然=.岳

11K44

所以=JVd1=「o

L,L,

因此可證得：在雙連域無旋流場中，包圍內邊界心的任意封閉曲線心上的速度環量等

于內邊界周線右上的速度環最。

因此對于雙連域內兩點p與伏）的速度勢與速度環量可表達為:

(PP-(PP,==,V?ds=,V?ds=「0

PoPL?

一，

p

V,ds=JV?ds+「o

(Pp-(Ppn=+

POP3%A)

n=l

4

?ds+iV-ds+\Vds+^Vds

%+%Ly+BP

jv^+r(1+jv^+r0

=jV.芯+2「0

因此一般而言有（pP-（pPu=jV-ds+八/o

這表明在雙連域中某點的8為多值函數，但差值只是環量「o的n倍。

加速度勢:可以證明在無旋流動條件下，加速度有勢，且加速度勢為。=嬰+工丫2。

dt2

加速度Z也是一個矢量場；如果也存在一個標量函數U,其梯度恰好等于加

速度Z時Ca=NU）,則稱為加速度Z有逝，U就稱為加速度勢（函數）。也

就是要證明％=▽（/存在。

（證明省略）

例題：已知柱坐標上為速度場歹二或“，其中c為任意常數，或為￡方向上的單位，

求：（1）曲線彳2+y2=々2的速度環量；Q）通過上述圓平面的渦通量

解：（1）在曲線/+/=/的圓周上速度向量應為±=[c7,圓周上的微元長度向

量.ds=e&d￡,因此該曲線上的速度環量應為：