抽象代數(shù)期末考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)群G的階為15，則G的子群的階不可能是（）A.1B.3C.5D.7答案：D2.在整數(shù)加群\(Z\)中，元素\(3\)的階是（）A.1B.3C.無窮D.0答案：C3.設(shè)\(R\)是環(huán)，\(a,b\inR\)，則\((a+b)^2=\)（）A.\(a^2+2ab+b^2\)B.\(a^2+b^2\)C.\(a^2+ab+ba+b^2\)D.\(a^2-b^2\)答案：C4.設(shè)\(G=\langlea\rangle\)是\(n\)階循環(huán)群，則\(G\)的生成元個(gè)數(shù)為（）A.\(\varphi(n)\)B.\(n\)C.\(n-1\)D.\(1\)答案：A5.設(shè)\(H\)是群\(G\)的子群，\(a\inG\)，則\(aH=\)（）A.\(\{ah|h\inH\}\)B.\(\{ha|h\inH\}\)C.\(\{h^{-1}a|h\inH\}\)D.\(\{a^{-1}h|h\inH\}\)答案：A6.設(shè)\(F\)是域，\(x\inF[x]\)，\(x\)的次數(shù)為（）A.0B.1C.不確定D.-1答案：B7.設(shè)\(Z_6=\{0,1,2,3,4,5\}\)是模\(6\)剩余類環(huán)，\((2)\)是由\(2\)生成的理想，則\(Z_6/(2)\)有（）個(gè)元素。A.2B.3C.4D.6答案：B8.設(shè)\(G\)是群，\(a\inG\)，\(a^2=e\)（\(e\)為單位元），則\(a\)的階是（）A.1B.2C.4D.不確定答案：B9.設(shè)\(R\)是交換環(huán)，\(I\)是\(R\)的理想，\(R/I\)是（）A.環(huán)B.群C.域D.向量空間答案：A10.設(shè)\(G=S_3\)（\(3\)次對(duì)稱群），\(G\)的階是（）A.3B.6C.9D.12答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于群同態(tài)的說法正確的是（）A.群同態(tài)保持單位元B.群同態(tài)保持逆元C.群同態(tài)保持元素的階D.群同態(tài)是單射則保持元素的階答案：ABD2.設(shè)\(R\)是環(huán)，則\(R\)的理想必須滿足（）A.對(duì)加法封閉B.對(duì)乘法封閉C.包含零元D.對(duì)任意\(r\inR\)和\(a\inI\)，\(ra\inI\)和\(ar\inI\)答案：ACD3.設(shè)\(G\)是有限群，\(p\)是素?cái)?shù)，\(|G|=p^n\)（\(n\geqslant1\)），則\(G\)有（）A.\(p\)階子群B.\(p^2\)階子群C.非平凡中心D.正規(guī)子群答案：ACD4.下列環(huán)中是整環(huán)的有（）A.\(Z\)B.\(Z_6\)C.\(Q[x]\)D.\(M_2(R)\)（\(2\times2\)實(shí)矩陣環(huán)）答案：AC5.設(shè)\(G\)是群，\(H\)和\(K\)是\(G\)的子群，則\(H\capK\)是（）A.\(G\)的子群B.\(H\)的子群C.\(K\)的子群D.可能為空集答案：ABC6.設(shè)\(R\)是環(huán)，\(a\inR\)，\(a\)是冪零元，則（）A.\(a^n=0\)（\(n\)為正整數(shù)）B.\(1-a\)可逆C.\(a\)不可逆D.\(a\)是零因子答案：ABCD7.設(shè)\(G=D_4\)（\(8\)階二面體群），\(G\)的元素有（）A.旋轉(zhuǎn)B.反射C.單位元D.對(duì)換答案：ABC8.設(shè)\(F\)是域，\(F[x]\)是\(F\)上的多項(xiàng)式環(huán)，則（）A.\(F[x]\)是歐幾里得環(huán)B.\(F[x]\)是主理想整環(huán)C.\(F[x]\)是唯一分解整環(huán)D.\(F[x]\)是域答案：ABC9.設(shè)\(G\)是阿貝爾群，則（）A.任意子群都是正規(guī)子群B.任意兩個(gè)子群的乘積是子群C.中心\(Z(G)=G\)D.商群\(G/H\)（\(H\)是子群）也是阿貝爾群答案：ABCD10.設(shè)\(R\)是環(huán)，\(I\)和\(J\)是\(R\)的理想，則（）A.\(I+J=\{a+b|a\inI,b\inJ\}\)是理想B.\(I\capJ\)是理想C.\(IJ=\{\sum_{i=1}^na_ib_i|a_i\inI,b_i\inJ,n\inN\}\)是理想D.\(I\cupJ\)是理想答案：ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.任何群都有非平凡子群。（）答案：錯(cuò)誤2.環(huán)中的乘法一定滿足交換律。（）答案：錯(cuò)誤3.有限群的階一定是素?cái)?shù)的冪次。（）答案：錯(cuò)誤4.群同態(tài)的核是子群。（）答案：正確5.整環(huán)一定是域。（）答案：錯(cuò)誤6.循環(huán)群的子群一定是循環(huán)群。（）答案：正確7.設(shè)\(R\)是環(huán)，\(a\inR\)，若\(a\)可逆，則\(a\)不是零因子。（）答案：正確8.設(shè)\(G\)是群，\(H\)是\(G\)的子群，\(a\inG\)，則\(aHa^{-1}\)也是\(G\)的子群。（）答案：正確9.在多項(xiàng)式環(huán)\(Z[x]\)中，\(2\)和\(x\)互素。（）答案：正確10.設(shè)\(G\)是群，\(G\)的中心\(Z(G)\)是\(G\)的正規(guī)子群。（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述群的定義。答案：群是一個(gè)非空集合\(G\)，連同定義在\(G\)上的一個(gè)二元運(yùn)算\(\cdot\)，滿足以下四個(gè)條件：(1)對(duì)于任意\(a,b\inG\)，\(a\cdotb\inG\)（封閉性）；(2)對(duì)于任意\(a,b,c\inG\)，\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)（結(jié)合律）；(3)存在\(e\inG\)，使得對(duì)于任意\(a\inG\)，\(e\cdota=a\cdote=a\)（單位元存在）；(4)對(duì)于任意\(a\inG\)，存在\(a^{-1}\inG\)，使得\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\cdota=e\)（逆元存在）。2.什么是環(huán)的理想？答案：設(shè)\(R\)是環(huán)，\(I\)是\(R\)的非空子集，如果\(I\)對(duì)加法封閉，對(duì)任意\(r\inR\)和\(a\inI\)，\(ra\inI\)和\(ar\inI\)，則\(I\)稱為\(R\)的理想。3.簡(jiǎn)述循環(huán)群的結(jié)構(gòu)。答案：設(shè)\(G=\langlea\rangle\)是循環(huán)群。若\(G\)是無限循環(huán)群，則\(G\)同構(gòu)于整數(shù)加群\(Z\)；若\(G\)是\(n\)階循環(huán)群，則\(G\)同構(gòu)于模\(n\)剩余類加群\(Z_n\)。4.說明整環(huán)中素元與不可約元的關(guān)系。答案：在整環(huán)中，素元一定是不可約元。若整環(huán)是唯一分解整環(huán)，則不可約元也是素元。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論群的同態(tài)基本定理的內(nèi)容及意義。答案：群的同態(tài)基本定理：設(shè)\(\varphi:G\rightarrowH\)是群同態(tài)，則\(G/\ker\varphi\cong\varphi(G)\)。意義在于它建立了群同態(tài)的核、像與商群之間的重要聯(lián)系，有助于通過已知的群結(jié)構(gòu)去研究與之相關(guān)的其他群結(jié)構(gòu)。2.如何判斷一個(gè)環(huán)是否為域？答案：一個(gè)環(huán)\(R\)是域當(dāng)且僅當(dāng)\(R\)是交換環(huán)，\(R\)中有非零元，且每個(gè)非零元都可逆。要判斷一個(gè)環(huán)是否為域，需檢查這些條件，如檢查乘法是否交換，是否存在單位元，非零元是否有逆元等。3.討論循環(huán)群的生成元的求法。答案：對(duì)于\(n\)階循環(huán)群\(G=\langlea\ran