第八章拉普拉氏變換2

第八章拉普拉斯變換主要內(nèi)容1、拉氏變換的概念和存在定理

2、拉氏變換的性質(zhì)

3、卷積和卷積定理4、拉氏逆變換及其應用3

§1拉普拉斯變換的概念1、問題的提出

傅氏變換具有廣泛的應用，但有前提條件，除了滿足狄氏條件之外，還要求函數(shù)在絕對可積：即

實際上這個條件非常強，對函數(shù)的要求較高，因而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點.這就限制了傅氏變換的應用.4

另外，通常在實際應用中的許多以時間t為自變量的函數(shù)往往在t<0時是無意義的，或者不需要考慮的，像這樣的函數(shù)也不能取傅氏變換.我們的問題是：如何對函數(shù)進行適當修改才能克服上述缺點呢？5

對于一個函數(shù),有可能因為不滿足傅氏變換的條件,因而不存在傅氏變換.為此將乘上u(t),這樣t小于零的部分的函數(shù)值就都等于0了.而大家知道指數(shù)函數(shù)下降的速度很快.

因此,幾乎所有的實用函數(shù)乘上u(t)，再乘上后得到的函數(shù)的傅氏變換都存在.6

這樣，對于給定的函數(shù)，經(jīng)過兩次修改再取傅氏變換后，結(jié)果產(chǎn)生了一種新型的積分.這就引出了拉普拉斯變換：7

定義

設函數(shù)

f(t)當

t

0時有定義,而且積分

在

s的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)稱為函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換),記為

F(s)=L[f(t)].2、拉氏變換的定義8

注：(1)F(s)稱為

f(t)的拉氏變換(或稱為象數(shù)).而

f(t)為F(s)的拉氏逆變換(或象原函數(shù))記為

f(t)=L-1[F(s)]也可記為

f(t)

F(s).9

解：根據(jù)拉氏變換的定義,有例1

求單位階躍函數(shù)這個積分在Re(s)>0時收斂,且有所以10

例2

求指數(shù)函數(shù)解：根據(jù)拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>k時收斂,且有所以k為復數(shù)時上式也成立,只是收斂區(qū)間為Re(s)>Re(k).11

3、拉氏變換存在定理從上面的例題中可以看出，拉式變換的條件比傅氏變換的條件弱得多。1.f(t)滿足什么條件時它的拉氏變換存在?2.當F(s)存在時，s的范圍是怎樣的？3.F(s)具有哪些性質(zhì)？12

拉氏變換的存在定理：

若函數(shù)f(t)滿足:

在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的

半平面內(nèi),F(s)為解析函數(shù).

（1）在t

0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；

（2）當t

時,f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c

0,使得

|f(t)|

Mect,0

t<

則f(t)的拉氏變換注：定理的條件是充分的.例3

求

f(t)=sinkt(k為實數(shù))的拉氏變換.解：根據(jù)拉氏變換的定義,有所以同理可得14

解：例4

求冪函數(shù)

f(t)=tm(m為正整數(shù))的拉氏變換.注意到所以-函數(shù)及其性質(zhì)實際應用中，有拉氏變換表可以查用.本節(jié)小結(jié)1、理解拉氏變換的定義；2、掌握拉氏變換存在定理.§2拉氏變換的性質(zhì)

說明：凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理的條件，并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為C.

證明：根據(jù)定義和積分的性質(zhì)即可證明.1、線性性質(zhì)拉氏逆變換也有類似的性質(zhì)，請自己寫出來.2、微分性質(zhì)證明：根據(jù)定義，有推論(1)像原函數(shù)的微分性質(zhì)19

此性質(zhì)可以將f(t)的微分方程轉(zhuǎn)化為F(s)的代數(shù)方程.因此，它對微分方程求解有著重要的作用.特別地，若例1已知求解：因為則20

例2

利用微分性質(zhì)求的拉氏變換，其中為正整數(shù).解：因為所以于是21

(2)象函數(shù)的微分性質(zhì)：一般地，有證明：例3

求的拉氏變換.解：因為所以練習：求函數(shù)的拉氏變換。第八章拉普拉氏變換3、積分性質(zhì)證明：設則于是即重復應用上式，可以得到另外，關于像函數(shù)的積分，有如下公式：特別地，在*式中令s=0，則例4

求的拉氏變換.解：因為所以于是思考題：4、位移性質(zhì)或者證明：

根據(jù)定義，得例5

求的拉氏變換.解：因為所以例6

求的拉氏變換.解：因為所以5、延遲性質(zhì)證明：根據(jù)定義，得或者因則令注:例：解：由前面的注我們知道6、相似性質(zhì)證明：由拉氏變換的定義知練習題求下列函數(shù)的拉氏變換：本講內(nèi)容小結(jié)：

主要介紹了拉氏變換的幾個性質(zhì).重點掌握微分性質(zhì)；積分性質(zhì)；位移性質(zhì).§3卷積

卷積是積分變換中的一個重要概念，這一運算在實際問題如線性系統(tǒng)分析中有著重要應用.

下面著重介紹卷積的概念與卷積定理.1、卷積定義

設函數(shù)

f1(t),f2(t)在整個數(shù)軸上有定義,則稱為函數(shù)

f1(t)與

f2(t)的卷積,記為

f1(t)*f2(t).即

若當自變量為負時，函數(shù)值為0，則上式可表示為：-------拉氏變換下的卷積的定義.注：不同變換下的卷積定義不同.2、卷積的性質(zhì)2.1交換律2.2結(jié)合律2.3分配律思考題：例1

設求

f1(t)*f2(t).f1(t)ttf2(t-t)O1tOo1解：代入定義，計算積分即可.練習：請計算解：根據(jù)卷積的定義，得例2求函數(shù)的拉氏卷積.于是例3求函數(shù)的拉氏卷積.提示：3、卷積定理

卷積在積分變換中有著十分重要的的應用，主要體現(xiàn)在卷積定理上.定理1或者證明：根據(jù)定義，有(2)利用卷積定理可以來求一些函數(shù)的拉氏變換逆變換.

卷積定理可以將不太容易計算的卷積運算化為普通乘法，這就使得卷積在線性系統(tǒng)分析中成為特別有用的方法.注：(1)

卷積定理可以推廣到多個函數(shù).解：例4

的逆變換.故由卷積定理知解：例4

的逆變換.故由卷積定理知第八章拉普拉氏變換46

§4拉氏逆變換

本節(jié)介紹了更一般的方法，利用像函數(shù)通過反演積分或留數(shù)方法求像原函數(shù).47

1、反演積分公式

函數(shù)f(t)的拉氏變換，實際上就是的傅氏變換，即

因此，當滿足傅氏積分定理的條件時，在f(t)的連續(xù)點處，有48

即49

公式（1）就是從像函數(shù)F(s)求像原函數(shù)f(t)的一般公式，稱為反演積分公式.證明思路：如圖，引進輔助半圓周，則形成閉合路徑.應用留數(shù)定理，令R→+∞，并證明cR上的積分趨于0，由此便可得到結(jié)論.2、利用留數(shù)求逆變換定理則有cR

+iR.s2

.s1

.sn

-iRL證明：52

注：情形1

若B(s)有n個單零點則情形2

若B(s)有m級零點則若例1

求下列有理分式的拉氏逆變換：解：（1）

顯然

k

和

–k

為分母的一級零點，則

（2）0

和

1

分別為分母的一級和二級零點，則例2求的逆變換.于是解一：顯然如何求？事實上，位移和微分性質(zhì)思考：該題還可以用其它辦法求解嗎？解二：利用卷積求解.由卷積定理，解三：利用留數(shù)求解.根據(jù)(2)式以及上述的留數(shù)計算方法知：§5拉氏變換的應用

拉氏變換在線性系統(tǒng)分析中的應用，要涉及到響應、傳遞函數(shù)等專業(yè)術語，這在后面專業(yè)課中會詳細討論.

下面舉例說明它在數(shù)學中的應用：用拉氏變換求解微分（常微分，偏微分）方程、積分方程.

此方法的原理：對方程兩邊進行拉氏變換，應用變換的線性、微分和積分公式，將未知函數(shù)的微積分方程化為其象函數(shù)的代數(shù)方程，求解象函數(shù)，最后取逆變換便得到原方程的解！解:

兩端取拉氏變換，記得即例1

求解方程

且滿足條件從而解:

兩端取拉氏變換，記得于是例２

求解方程

且滿足條件從而即例3：求解微分方程組對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件，得例