復變函數與積分變換 課件 第三章復變函數的積分1_第1頁
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文檔簡介

1第三章復變函數的積分

§3.1復積分的概念22

1、復積分的概念及基本計算方法2、柯西-古薩積分定理3、復合閉路定理4、柯西積分公式與高階導數公式第三章復變函數的積分本章主要內容：33

1、有向曲線§1復變函數積分的概念特別申明今后所說的曲線總是指光滑或逐段光滑曲線,特別說明的例外。44

閉曲線正向的定義:與之相反的方向就是曲線的負方向.曲線方向的說明:一般:曲線C的正方向總是指從起點到終點的方向.那么終點到起點的方向就是曲線C的負向,記為C-對周線而言,逆時針方向為正方向,順時針方向為負方向C55

2、復積分的定義B

xyo（1）分割（2）取近似（3）求和66

.

)

(

,

)

(

)

(

ò

?

C

dz

z

f

B

A

C

z

f

I

C

z

f

記作

的積分

從

沿曲線

為

上可積，上述極限值

在

則稱

被積函數積分路徑（4）取極限77

----一元函數定積分的定義.注88

3、積分存在的條件1.必要條件2.充分條件

將各函數代數化99

因此積分存在的條件問題，歸為尋求右端兩個式子極限存在的條件問題，由分析可知，這只需u(x,y),v(x,y)均在C上連續即可，且極限分別為1010

這是實的第二型曲線積分記憶1111

4、復積分的性質復積分與實變函數的定積分有類似的性質.被積函數的線性可加性1212

積分路徑的可加性積分估值定理3.21313

性質(5),(6)的證明兩端取極限得[證畢]性質5積分估值定理1414

5、復積分計算的參數方程法若能寫出C的參數方程為:C:z(t)=x(t)+iy(t)

t

則因為C是光滑曲線

x(t),y(t)

C[

,

]:1515

1616

定理設曲線C的參數方程為:z=z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.f(z)沿曲線C連續

注:該公式可看成由下式形式相乘而得到1717

（1）連接z1和z2兩點的線段的參數方程為幾類常見曲線的復數方程（

2）1818

例12

，其中積分路徑為C

計算

dz

z

I

c

=

ò

x1+io11yAB于是，解:(i)C的參數方程1919

可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有相同的值.01+i1yxAB112020

于是，03+4i34yx解:(i)C的參數方程AB2121

可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有不同的值.03+4i34yxAB2222

例3解ox

y

r

C2323

綜上所述，我們有

記住這一結果，后面經常用到，并且注意該結果與圓心、圓的半徑沒有關系2424

解：練習：這幾題結果都跟有關！！！疑問：這里邊到底有什么玄機呢？還需繼續研究2525

例5i2+iOxy練習計算積分：26

（1）

（重要積分）（2）

解

的參數方程為

27（4）（

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