湖南高考數學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\cupB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\varnothing\)2.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(m\)的值為（）A.4B.-4C.1D.-14.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.9B.10C.11D.125.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.直線\(3x+4y-12=0\)與\(x\)軸交點坐標是（）A.\((0,3)\)B.\((3,0)\)C.\((0,4)\)D.\((4,0)\)7.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)8.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((-2,0)\)D.\((0,-2)\)9.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值是（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.210.已知函數\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，則\(f(f(\frac{1}{2}))\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.0C.1D.\(\frac{3}{2}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.下列說法正確的是（）A.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)B.圓的標準方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，圓心為\((a,b)\)，半徑為\(r\)C.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(c^2=a^2-b^2\)D.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)3.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列式子正確的是（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}\)4.以下哪些是基本初等函數（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數5.若函數\(y=f(x)\)在區間\([a,b]\)上滿足\(f(a)f(b)\lt0\)，則（）A.函數\(y=f(x)\)在\((a,b)\)內至少有一個零點B.函數\(y=f(x)\)在\((a,b)\)內一定有零點C.函數\(y=f(x)\)在\((a,b)\)內不一定有零點D.函數\(y=f(x)\)在\((a,b)\)內有且僅有一個零點6.設\(\{a_n\}\)是等比數列，公比為\(q\)，則下列說法正確的是（）A.若\(q\gt1\)，則\(\{a_n\}\)是遞增數列B.若\(0\ltq\lt1\)，則\(\{a_n\}\)是遞減數列C.若\(a_1\gt0\)，\(q\gt1\)，則\(\{a_n\}\)是遞增數列D.若\(a_1\lt0\)，\(0\ltq\lt1\)，則\(\{a_n\}\)是遞增數列7.直線\(l\)過點\((1,2)\)，且斜率為\(2\)，則直線\(l\)的方程可以是（）A.\(y-2=2(x-1)\)B.\(2x-y=0\)C.\(y=2x\)D.\(2x-y+4=0\)8.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha\)可能的值為（）A.\(\frac{\pi}{3}\)B.\(-\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{5\pi}{3}\)D.\(\frac{2\pi}{3}\)9.一個正方體的棱長為\(a\)，則（）A.正方體的表面積為\(6a^2\)B.正方體的體積為\(a^3\)C.正方體的體對角線長為\(\sqrt{3}a\)D.正方體的面對角線長為\(\sqrt{2}a\)10.對于函數\(y=\cos^2x\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.可由\(y=\cosx\)橫坐標不變，縱坐標變為原來的\(2\)倍得到C.值域為\([0,1]\)D.圖象關于\(y\)軸對稱三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=x^2\)在\((-\infty,0)\)上單調遞增。（）3.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）4.數列\(1,2,4,8,\cdots\)是等差數列。（）5.函數\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）6.圓\(x^2+y^2=4\)的圓心是\((0,0)\)，半徑是\(4\)。（）7.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）8.對數函數\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的圖象恒過點\((1,0)\)。（）9.兩條異面直線所成角的范圍是\((0,\frac{\pi}{2}]\)。（）10.若\(f(x)\)是偶函數，則\(f(-x)=f(x)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的單調遞增區間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{6}\)，\(k\inZ\)，所以單調遞增區間是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：公差\(d=\frac{a_5-a_3}{2}=\frac{9-5}{2}=2\)，\(a_1=a_3-2d=5-4=1\)，則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,-1)\)且與直線\(2x-y+1=0\)垂直的直線方程。答案：已知直線斜率為\(2\)，所求直線斜率為\(-\frac{1}{2}\)，由點斜式得\(y+1=-\frac{1}{2}(x-1)\)，整理得\(x+2y+1=0\)。4.計算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內的單調性。答案：\(y=\frac{1}{x}\)定義域為\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)上，任取\(x_1\ltx_2\lt0\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，即\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，單調遞減；同理在\((0,+\infty)\)上也單調遞減。2.探討橢圓和雙曲線在性質上的異同點。答案：相同點：都是圓錐曲線，都有焦點、離心率等概念。不同點：橢圓是平面內到兩定點距離之和為定值的點的軌跡，離心率\(0\lte\lt1\)；雙曲線是平面內到兩定點距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，離心率\(e\gt1\)。3.分析導數在研究函數中的作用。答案：導數可判斷函數單調性，導數大于\(0\)函數遞增，小于\(0\)函數遞減；還能求函數極值，導數為\(0\)的點可能是極值點；也可用于分析函數圖象的變化趨勢，解決優化等實際問題。4.說一說如何利用三角函數的性質求函數的值域。答案：先確定函數中三角函數的種類及自變量范圍，再利用三角函數本身的值域，如\(\sinx\)、\(\cosx\)值域是\([-1,1]\)，結合