專題03極值點處單調變，導數調控討論參

【題型綜述】

函數極值問題的常見類型及解題策略

(1)函數極值的判斷：先確定導數為o的點，再判斷導致為。的點的左、右兩側的導數符號.

(2)求函數/(x)極值的方法：

①確定函數/(x)的定義域.

②求導函數廣(%).

③求方程/''(力=0的根.

④，檢查了'(X)在方程的根的左、右兩側的符號，確定極值點.如果左正右.負，那么/(可在這個根處

取得極大值；如果左負右正，那么J(x)在這個根處取?得極小值；如果廣(x)在這個根的左、右兩側

符號不.變，則/(力在這個根處沒有極值..

(?3)利用極值求參數的取值范圍：確定函數的定義域，求導數/'(X),求方程/(”=0的根的情況,

得關于參數的方程(或不等式)，進而確定參數的取值或范圍.

【典例指引】

例I.已知函數/(x)=x-2-Hnr,oeR.

(1)求函數/(x)的極值；

例2.已知函數f(x)=xex-1--mx2-mx?m6R

(1)當m=0時，求曲線y=f(x%E點Q,f(l))處的切線方程；

(2)討論函數f(x)的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

例3.”已知f(x)="-2ax)lnx+2ax—x?,其中aER.

2

(1)若a=0,且曲線f(x)在x=t處的切線I過原點，求直線I的方程；

(2)求f(x)的極值；

(3)若函數f(x)有兩個極值點X?x2(X1<x2),證明f(X])+f%)<『2+3a.

例4.已知函數f(x)=ln(x-l)+x+m,xE/-+l,e+lj.

([)若m=l,求曲線y=f(x)在(2,f(2))處的切線方程；。

(ID探究函數”F(x)=xf(x)的極值點情況，并說明理由.

【新題展示】

[X

1.12019湖北仙桃?、天門、潛江期末】已知函嗷f(x)=-x2-+axlnx,其中e為自然對數的底數.

2e

([)當a20時，求證:xNl時,f(x)>0：

(II)當a之一時，計論函數f(x)的極值點個數.

e

2.12019山東棗莊期末】已知f(x)=J-ax2(aER).

(I)求函數f'(x)的極值;

(II)設g(x)=xe、-f(x)，若g(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

【同步訓練】

1.己知函數=？(人)二一@/一人，(其中QEA,6為自然對數的底數，e=2.71828……).

(1)令〃(x)=/(x)+g*),求力(力的單調區間；

(2)已知/(x)在x=()處取得極小值，求實數。的取值范圍.

2.設/(X)=xlnx-a/+(2〃-1卜，aeR.

(1)令g(x)=f("，求g(x)的單調區間;

(2)已知/(x)在x=l處取得極大值，求實數。的取值范圍.

3.已知函數f(x)=e、-(a-l)x+b?

(1)求函數f(x)的極小值；

4.設f(x)=x(lnx-l)+a(2x-x3，aWR-.

(1)令g(x)=f(x)，求g(x)的單調區間；

(2)已知f(x)在x=l處取得極大值,求實數a的取值范圍.

5.設/(x)=(xlrLi+a尤+〃2一,a>-2.

(1)若〃=0,求/(x)的單調區間.；

(2)討於/(X)在區間(3,+oc)上的極值點個數；

6.已知函數/'(x)="1)/一/?.

⑴求函數f(x)的極小.值:

7.設函數/(<)--A(2-1n.r)(女為常數，e=2.7l828...是自然對數的底數).

x2x

(1)當440時，求函數/(%)的單調區間；

(2)若函數/*)在(0,2)內存在兩個極值點，求A的取值范圍.

8.已知函數/(人)=12+9一"%〃仁尺).

X

(I)討論函數/(X)的單調區間與極值；

9.已知/(1)=/-以2,g(x)是/(X)的導函數.

(1)求g(x)的極值;

10.已知函數/(X)=/一2工+1,g(x)=2Hn(x-l)(aER).

(I)求函數力(力=/(同一g&)的極值;

11.己知函數f(x)=ax-lnx-l(aWR).

(1)討論函數f(x)在定義域內的極值點的個數；

(2)若函數f(x)在x=l處取得極值，對任意”的x6(0,+8)恒成立，f(x)>bx-2,求實數b的取值范圍.

12.設函數=+bln(%+l)(bwO).

(l)若函數/(x)在定義域上是單調函數，求實數〃的取值范圍;

(2)求函數/(x)的極值點；

13.已知函數/(X)=Int+Q尤2-OY,其中.

(」)當。=1時，求函數/(X)在X=1處的切線方程：

(2)若函數/(x).在定義域上有且僅有一個極值點，求實數。的取值范圍.

14.已知函數/(1)=

32

⑴當4=2時，求曲線)=/(x)在點(3./(3))處的切線方程:

(II)設函數g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx.,討論g(x)的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

專題03極值點處單調變，導數調控討論參

【題型綜述】

函數極值問題的常見類型及解題策略

(1)函數極值的判斷：先確定導數為o的點，再判斷導致為。的點的左、右兩側的導數符號.

(2)求函數/(x)極值的方法：

①確定函數/(x)的定義域.

②求導函數廣(%).

③求方程/''(力=0的根.

④檢查/'(力在方程的根的左、右兩側的符號，確定極值點.如果左正右負，那么/")在這個根處取

得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果:(4)在這個根的左、右兩側符號

不變，則“X)在這個根處沒有極值.

(3)利用極值求參數的取值范圍：確定函數的定義域，求字數;(x),求方程廣("=0的根的情況,

得關于參數的方程(或不等式)，進而確定參數的取值或范圍.

【典例指引】

例I.已知函數/(x)=x-2-Hnr,oeR.

(1)求函數/(x)的極值；

【思路引導】

試寇分析：(1)求得/'(x)=l—巴二'二應,可分。40和。＞0兩種情況分類討論，得出函數的單調性，

XX

即可求得函數的極值；

試題解析：(1)/(力=%-2-疝可定義域為(0,+8),/(x)=l--=^—.

XX

①當4fo時，，(力＞0,/(%)為(0：+8)上的增函數，所以函數“X)無極值.

②當。＞0時，令“力=0,解得x=a.

當上￡((),〃),/'(X)＜(),/(X)在((),〃)上單調遞減；

當工e(〃,+oo),/(x)在(a,+8)上單調遞增.

故/(x)在x=a處取得極小值，且極小值為-HM,無極小值.

綜上，當。4()時，函數“X)無極值；

當〃>0時，/(x)有極小值為〃-2-Hna,無極大值.

點評：本題主要考杳了導數在函數中的綜合應用問題，其中解答中涉及到利用導數研究函數的單調性，利

用導數求解函數的極值，以及函數與方程思想的應用，試題綜合性較強，屬「中檔試題，此類問題的解答

中正確把握導數與函數性質的關系是解答關鍵，同時準確求解函數的導數也是一個重要的環節.

例2.已知函數f(x)=xex-1--mx2-mx,m6R

⑴當m=0時，求曲線y=f(x)在點處的切線方程；

(2)討論函數f(x)的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

【思#各引導】

(1)欲求曲線y=f(x)在點(l,f(l))處的切線方程，只需求出斜率k=f'(l)和和f(l)的值，即可利用直線的點斜式

方程求解切線的方程；

(2)求出f'(x)=xeXT+eXT-mx-m=(Ji-m)(x+l)，通過討論m的取值范圍，求出函數的單調區間，從而求

出函數的極值即司.，可分m40,m>0兩種情況，求出函數的單調區間，得出函數的極值.

試題解析：(1)m=O0寸,f(x)=xe*Sf(x)?xe*l+exS所以*)=1,f(l)=2

因此曲線V=f(x在點處的切線方程是V-l=2(x-l),即2x-y-l=0

(2)f(x)=xex1?eK1-mx-m=(eK1?m)(x+1)

①當msOfl寸，JT.E>01恒成立，

所以當Xw(?8.?1)時f，)<0,f(x)單調通遍

當xW(?l,/8)時，f(x)>0,f(x)單調遞增

1m

所以當x=?1時，f(x)取極小值*?D=?w+二

a/

②當m>Ofl寸，由f&)=謂或"TSnm

(i)當即m>e，寸

由f(x)>函x<-1或X>1+Inm

由f(x)〈函?1<X<1+Inm

所以f(x座1)上單調遞場在(7,1+lnm)上單調遞減，在Q?lnm,+8)上單調遞喈，故x=?l時，f(x)取

1m1

極大值*-1)=?々+1，*=1+始01時，心)取極小值“1+1a11)=?m(l?Inm)

e22

(ii)當A：'?,即m=J時，f&)201恒成立

此時函數f(x)在(?一,?一)上單調遞增，函數心)無極值

(iii)當%>4,BPo<m<e,W

由f(x)>函X<1+Inm或X>?1

由f(x)<"導]?Inm<x<-1

所以f(x)在(--J+Inm)上單調遞增，在(1+Inm,?1)上單調遞減，在(-1,+?)上單調遞增，故X=1+Inm時，f(x)

取極大值f(l+Inm)=-；m(l?Inm)2

1m

x=?1時，f(x)取極小值*1)=

e2

點評：本題主要考查導數在函數中的綜合應用，本題的解答中涉及利用導數的幾何意義求解曲線在某點處

的切線方程，利用導數研究函數的單調性和極值，求解函數的單調區間，涉及到分類討論的數學思想的應

用，熟記利用導數研究函數的性質是解答的關鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題.

例3.已知f(x)=(x2-2ax)lnx+2ax—x2,其中a6R.

2

(1)若a=0,且曲線f(x府x=t處的切線I過原點，求直線I的方程；

(2)求f(x)的極值；

(3)若函數f(x)有兩個極值點X],x2(X1<x2),證明f(X])+f%)<『2+3a.

【思路引導】

(I)當a=0時，求得f(x)的解析式和導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程：(II)

求得f(x)的導數，可得f'(x)=(2x-2a)lnx有兩個不同的實根，討論當空0時，當a>0時，判斷單調性可得

極大值大于0,解不等式即可得到所求范圍；(III)由(H)知當a>0且a。1時，f(x)有兩個極值f(x)點x2,

22

f(xp+f(x2)=-alna+-a+2a--,構造函數g(x)對不等式進行證明.

22

試卷解析：(I)當a=06寸，f(x)=x2lnx--x\f(x)=2xlnx,

所以切線I的斜率k=f(t)=2Hnt,又直線?過原點，所以k=J=HN?卜

由2tlnt=tint--t得Int=-t=7

22乖

.11x

所以k="『)=-7，故切線I的方程為丫=-―即x+Jey=0.

(II)由f(x)=(1?2ax)lnx?2ax?^x2..可得f(*)=(九?7a)lnx.,

①當aSOB寸沁)>0=x>l,f(x)<0<x<1,f(x)在(l,+8)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減,

f(x)在x=l時取到極小值，且f(l)=2a」，f(x)沒有極大值；

2

②當0<a<iMf'(x)>0<=>x>1或0<x<a,f'(x)<0ca<x<1.f(x)在(0,a),(1,+g)上單調遞增，

在(a,l)上單調遞減，f(x)在x=a時取到極大值，

31

Kf(a)=-a2lna+-a2,f(x府x=1時取到極小值，且f⑴=2a?r

22

卷)當a=l時f'(x)zofi成立，f(x)在(?8,+8)上單調遞增，f(x)沒有極大值也沒有極小值；

④當a>l時f'(x)>0Ox>a或0<x<l,f'(x)<()ol<x<a,f(x施(0,1),(a,+8)上單調遞增,

在(1,a)上單調遞減，f(x)在x=a時取到極小值，且*)=?|恒+".￡僅)在*=1時取到極大值，且f⑴=2a--.

22

1

綜上可得，當a=0時，f(x)在x=l時取到極小值2a--,f(x)沒有極大值：

2

?3，1

當G<a<1時，f(x)在x=a時取到極大值-aIna+-a,在x=1時取到極小值2a--；

22

)3)

當a=1時，f(x)沒有極大值也沒有極小值:當a>l時，f(x)在x=a時取到極小值Tlna+d.

2

在x=1時取到極大值2a

2

(III)由(II)知當a>0且awl忙，f(x)有兩個極值f(x)點X］，x2,

31

且f(xJ+f(X2)=f(a)+f(l)=-a2lna+-a2+2a--.

111

所以f(xj+f(x2)-(-a2+3a)=-a2lna-a--<-a2(lna-1+-)>

1,11a-1

設g(a)=lna-l+-,則g(a)=--,所以g(a)在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

aaaa

由a>0且a工1可得g(a)>g⑴=0,所以fixj+fg)-(^a2+3a)<-a2(lna-1+-)<0,

即fjxj+f%)<^a2+3a.

點評：本題考查導數的運用，利月導數研究函數的極值，利用導數研究曲線上某點切線方程，求切線方程

和單調區間、極值，主要考查導數的幾何意義和分類討論的思想方法，注意函數的單調性的運用，屬于中

檔題.

例4.已知函數f(x)=ln(x-l)+x+m,xE/-+l,e+lj.

(I)若m=l,求曲線Y=f(x)在(2,f(2))處的切線方程;

(ID探究函數F(x)=xf(x)的極值點情況,并說明理由.

【思路引導】

(1)先求函數導數，根據導數兒何意義得切線斜率，再根據點斜式寫出切線方程(2)先求導數，轉化研

究函數y=g(x)=ln(x-l)+/一+2x,利用導數易得g(x)先減后增，討論與兩個端點值以及最小值點大小關系，

x-1

確定極值點情況.

試題解析：(I)依題意。X)=——+1,故，(2)=2,因為f(2)=3,故所求切線方程為Y.3=2(x?2),即2x.y-1=0.

x-1

(II)F(x)=xf(x)=xln(x-1)x+mx,F(x)=ln(x-1)?-----?2x+m,

x-1

.，112x(x--|3

記g(x)=F(x)?m,貝忸(x)=x.1?/2=Ig(x)=0=>x=-■

?."(x-1)2

當xE卜亦寸'當XE(產?叩寸'所以當2時，國*取得極小值6.皿2,

又l[=e+3+2,g(e+l)=2e+-+4,F(x)=0^g(x)=-m.

\eJee

(i)當?mS6?ln2,即m21n2?60寸，F(x"O恒成立，函數F(x)在區間上無極值點;

(ii)當6-ln2<-m<e?-+2,即2Vm<ln2?6fl寸，F(x)=oW兩不同解，函數F(x)在l,e?上有

ee\eI

兩個極值點5

(iii)當e?-?2<-m<2e+-+4^-2e---4<m<-e---2時,F(x)=oW—解,函數F(x)在區間(一+l,e?1

eeee\e

上有一個極值點；

(iv)當-m22e+—+4,即m￡2e-----4時，F(X)40，函數F(x)在區間(一+l,e+1)上無極值點.

【新題展示】

1)x

1.12019湖北仙桃、天門、潛江期末】已知函數電)=/一+axlnx,其中e為自然對數的底數.

2e

(I)當a20時，求證：X21時，f(x)>0；

(11)當a2」時，計論函數f(x)的極值點個數.

e

【思路引導】

(I)求出f'(x)，令g(x)=f'(x)，求出g(x)，從而判斷g(x)的單調性，由g(3=o即可判斷f'(x)的正負情況，從而

e

求得f(x)在(0,$遞減，(t+8成增；當X21時，f(x)2f⑴成立，命題得證。

ee

(II)對a的范圍分類討論，由g(x)=f'(x)的單調性求得g(x)mm，把a看作變量，求得g(x)mm的單調性，從而得

11

到h(a)4h(--)=0(當且僅當a=時取等號)，再對a的范圍分類討論g(x)的單調性，從而判斷f(x)的單調性，

ee

從而求得極值點個數。

【解析】

11?1,1X+3,I11

(I)由f(x)=x--+a(lnx+l),易知f㈠=0,設g(x)=f(x)，則g(x)=—,當aNO時，g(x)>0,又f㈠=8㈠=0

eexee

???0<x<—時，g(x)<0,x>-時，g(x)>0,即f(x)在(0,-)遞減，(一,+8)遞增：所以當x21時，f(x)>f(l)=--->0

eeee2e

得正

1

(U)由(I)可得，當a20時，f(x)當且僅當在x=一處取得極小值，無極大值，故此時極值點個數為I；

e

11

當-Ya<0時，易知g(x)在(0,-a)遞減，(-a,+?>)遞增，所以g(x)mm=g(-a)=--+aln(-a),又設

ee

11,1

h(a)=—+aln(-a)?其中—4a<0,則h(a)=l+ln(-a)SO對—4a<0t旦成立,所以h(a)單調遞減，

eee

h(a|4h(--)=0(當且僅當2=--時取等號)，所以當a=-U寸，g(x)20即f(x)在(0,+8)單調遞增，故此時極值點

eee

個數為0；

當時，g(x)在(.a,+?>)遞增，又gd)=O,所以當-aSx<%寸g(x)<0,

eeee

當寸g(x)>0,即3總在x="b取得極小值；又當x10且x>0時，8僅)9+8,所以存在唯一X。6(°，?a)使

ee

得以")=。，且當°<x<x0a寸g(x)>o,當％<x?a時綱<0,則心)在*=%處取得極大值；故此時極值點個數

為2;

綜上，當a=4寸，W)的極值點個數為0;當」<a<0時，f(x)的極值點個數為2：當a200才(x)的極值點個數

ee

為1.

2.12019山東棗莊期末】已知f(x)=eX_ax2(aWR).

⑴求函數f'(x)的極值；

(ID^g(x)=xex-f(x)?若g(x)有1個零點,求a的取值范圍.

【思、路弓I導】

⑴?求得函數的f'(x)=eX-2ax,f"(x)=eX_2a，將a分成a40,a>0兩類，利用彳&)的正負情況，得到f'(x)的單調

區間，進而求得f'(x)的極值,(1【)先求得函數g(x)的表達式，并求得其導數g(x)，對a分成

111

a>0,a=0,--<a<0,a=--,a<--5類，利用g(x)的單調區間和極值情況，結合題意“g(x)W兩個零點''的要求，

求得a的取值范圍.

【解析】

(1)，《)=?、-22小扁=1-23.(1)若2?0,顯然f"(x)>0,所以f'(x)在R上遞增，所以f'(x)沒有極值.(2)若a>0,

fflf"(x)<00x<In2a?f"(x)>0<=>x>ln2a?所以f'(x)在(-8,ln2a)上是減函數，在(In2a,+8)上是增函數.所以為)在

x=ln2a處取極小值，極小值為f'(|n2a)=2a(l-ln2a>(II)g(x)=xe'-f(x)=(x-l)e'+ax?.函數g(x)的定義域為R，

g(x)=xex+2ax=x(ex+2a).(1)/1a>0,W,Jg(x)<0<=>x<0：g(x)>O^x>0.所以g(x)在L0,。)上是減函數，

在(0,+8)上是增函數.所以g(x；min=g(°)=T.令h(x)=(x-l)ex，則h'(x)=xJ.顯然h'(x)<0<=>x<0，所以

h(x)=(x-l)ex在(-8,0)上是減函數.乂函數y=ax?在(-8,0)上是減函數，取實數-〒<0，則

=-1+1=O.Xg(O)=-1<O,g(l)=a>O.g(x)ffi(-8,0)上是減函數，在(0,+8)上是增函

數.由零點存在性定理，g(x)在(-三,0卜0,1)上各有一個唯一的零點.所以a>0符合題意.(2)若a=0,則

g(x)=(x-l)e'，顯然g(x)僅有一個零點L所以a=。不符合題意.(3)若a<0,則g(x)=*同-押②)].①若|n(-2a)=0,

貝必=一.此時g(x)20,即g(x)在R上遞增，至多只有一個零點，所以a=q不符合題意.②若ln(-2a)<0,則

--<a<0,函數g(x注(-8jn(-2a))上是增函數，在(ln(-2a),0)上是減函數，在(0,?上是增函數，所以g(x在

2

x=ln(-2a)處取得極大值，且極大值g(ln(-2a))=a{[ln(-2a)-l]2+1}<0,所以g(x最多有一個零點，所以-?<③<。

不符合題意.③若ln(-2a)>0,則a函數g(x在濟口(ln(-2a),?一)上遞增，在(0Jn(-2a))上遞減，所以g(x)

2

在x=。處取得極大值，且極大值為6(。)=Tv。，所以6(x最多有一個零點，所以。<一不符合題意.綜上所述,

2

a的取值范圍是⑹+8).

【同步訓練】

1.己知函數/(x)=e[^(A)=--X2-X,(.其中e為自然對數的底數，6=2.71828……).

2

(1)令r(%)=f(x)+g(x)，求人(力的單調區間；

(2)己知/(x)在R=()處取得極小值，求實數。的取值范圍.

【思路引導】

(1)求導函數的導數得〃(x)=eX-4,再根據是否變號進行分類討論單調性：當。工0時，導函數不變號,

為單調遞增；當。>0時，導函數先負后正，對應單調區間為先減后增(2)由題意得/(0)=0,結合(1)

根據導函數〃(x)單調性分類討論在x=0處是否為極小值：當“W0時，/(x)在工=0附近先減后增，

為極小值；當。>0時，按In。與零大小關系進行二次討論：1M〈0,廣(工)在(1114,+8)單調遞增；

“X)在犬=0附近先減后增，為極小值；當〃=1時，r(x)>0,無極值；ln〃>()時，

在(一8,1恒)單調遞減；/")在x=0附近先增后減，為極大值；綜上可得實數。的取值范圍.

試題解析：(I)因為，(x)=e'-6T,所以〃")=/一明

當a”時，^(x)>0,力⑺的單調遞熠區間為(/：+孫

當a>0時，由%'(%)=/一〃=0,得x=lntz,xw(ix』na|時，Zzf(x)<0,xe(lnq+ao)時,

〃(x)>0,所以〃(％)的城區間為(YOJM),增區間為(Inq+x)

綜上可得，當a&O時，〃(x)在(Y0>8)上單調遞增

當a>0時，方(X)的增區間為(1nq+x),減區間為

(II】由題意得/<(%)=--ax-l,門0)=0,

⑴當4W0時,尸(工)在(Y°，X°)上單調遞增，

所以當％<o時，ra)</(o)=o,當丁>。時，"力>/'(0)=0,

所以，(力在X=O處取得極小值，符合題意.

(2)當Ovavl時,lna<0,由(I)知廣(x)在(1取m)單調遞增，

所以當xe(lnaO)時,/'(x)<r⑼=0,當x<0,+8)時，，㈤"(0)=0,

所以〃x)在x=0處取得極小值，符合題意.

⑶當。=1時,由(I)知門x)在區間(-8,Ina)單調遞減,/'("在區間(1必+8)單調遞增，

所以f(x)在x=ln〃處取得最小值,即f\x)>/(In。)=/'(())=0,

所以函數f(x)在R上單調遞增，所以/(“在x=0處無極值，不符合題意.

(4)當a>l時，1M>0,由［I)知/'(M的減區間為一(-co,In。)，所以當xw(—8,0)時，

r(x)>/(O)=O,當xe(O,ln〃)時，:(力<:(0)=0,

所以/(x)在x=0處取得極大值，不符合題意，

綜上可知，實數。的取值范圍為(-8,1).

2.設/(x)=jdnE-ad+(2a-l)x,awR..

(1)令g(x)=r(x)，求g(x)的單調區間;

(2)已知/(X)在X=1處取得極大值，求實數。的取值范圍.

【思路引導】

(1)求函數的單調區間主要是先求出函數的導函數，根據導函數大于零和小于零分別解出所對應的增減區

間，但要含參問題時則要注意討論，由.g'(x)=L—2。=上匚竺，根據a的不同取值盡享討論即可得出單調

XX

區間；(2)已知/(x)在x=l處取得極大值，故/(1)=0,然后根據第一問單調性的討論驗證函數是否在

1處取得極大值即可得出正確a的取值范圍.

試題解析：<1)4f(x)=lnx-2ac+2a,可得？(刈=m丫-2內+2?%￡(0,收)，

貝1/(司=工-2。=工^，

XX

當awo時，xe(0：+x)時，g'(x)>0,困額g(x)單調遞增；

當a>0時，xjo：；)時，g'(x)>0,函數g(x)單調遞增；時，g'(%)<0,函數

g(x)單調遞減.

綜上所述，當a40時，函數g(x)單調遞增區間為(0,包)；

當a>0時，函數g(x)單調遞增區間為單調遞減區間為；+8).

(2)由(1)知，/\1)=().

①當aWO時，/'(X)單調遞增.

所以當X￡(0,l)時，/'(%)<0,“可單調遞減.當X￡(l,+8)時，/\x)>0,/(X)單調遞增.

所以在x=l處取得極小值，.不合題意.

②.當0<〃<；時，(>1,由(1)知r(x)在(0,()內單調遞增，

可得當XE(O,I)時，r(x)<o；時，廣(力>0,

所以/(x)在((),1)內單調遞減，在[1,-L)內單調遞增，所以/(X)在X=1處取得極小值，不合題意.

③當Q時，即(=1時，/'(X)在(。，1)內單調遞增，在(1,+8)內單調遞減，

所以當工?0,+8)時，/'(X)”O,單調遞減，不合題意.

④當時，即,當時，尸(X)>O,/(X)單調遞增，

當XW(l,+8)時，/'(力<0,/(X)單調遞減，

所以“X)在工=1處取得極大值，合題意.

綜上可知，實數。的取值范圍為學*科網

2

3.已知函數f(x)=/-(a-l)x+b-

(1)求函數f(x)的極小值;

【思路引導】

(1)先求函數導數f'(x)=e'-a+l.再根據導函數是否變號進行分類討論：當a41時，導函數不變號，無極

小值；當a>l時，導函數先負后正，有一個極小值

試題解析：(1)f(x)=ex.a41.

當aS1時，f'(x)>0,f(x)在R上為增函數，函數F)無極小值；

當a>l時，令f(x)=0,解得x=ln(a.l).

若xW(-8,ln(a-1)),則f&)<0,f(x)單調遞減；

若xe(ln(a-1),+??),則f&)>0,f(x)單調遞增.

故函數f(x)的極小值為f(ln(a-l))=(a-1)|1-ln(a-l)]-b.

4.Sf(x)=x(lnx-l)+a(2x-x2)?aWR.

(1)令g(x)=f(x)，求g(x)的單調區間：

(2)已知f(x)在x=l處取得極大值，求實數a的取值范圍.

【思路引導】

(1)先求f(x)導數得g(x),再求函數g(x)導數，根據a討論導數是否變號，進而確定單調區間(2)根據才討論

f(x)單調性，確定極值取法：當a<-時，x€(0,1)時，f(x)單調遞減，x6(1,+8)時f(x憚調遞增，f(x)在x=1

111\

處取得極小值；當a?時，xe(o,+8)時f(x)單調遞減，當a>-時，xe|—,1］時，f(x)單調遞增,

22\2a/

x6(1,+8)時f(x)單調遞減，f(x)在x=1處取得極大值.

試題解析：(I)由f(x)=Inx-2ax+2a.

可得8(幻=Inx-2ax+2a?xe(0,+F,

..1l-2ax

貝必(x)=i2a=---------,

xx

當aSOfl寸，xW(0,+8)時，8僅)>0,函數綱單調遞增，

當a>OB寸，x€|o.3時，g(x)>0,函數g(x)單調遞增，x€(l.時，g(x)<0,函數g8單調遞減.

所以當a4OR寸，函額或幻的單調遞增區間為(0.+8),

當a>O0寸，函數g(x)的單調遞增區間為(0.2a卜單調遞減區間為2a.+8卜

(II)由(I)知，41)=0.

①當a40時，f'(x)單調遞增，

所以當x€(0,1)時，f'(x)<0,f(x)單調遞減，

當x6(l,+8)時，,僅)>0,f(x)單調遞增，

所以f(x)在x=l處取得極小值，不合題意.

②當0<a1時，—>1,由(I)知f'(x)在(0,j內單調遞增，

可得當x€(0,1)時，f(x)<0，xE(l,—)時，f'(x)>S

2a/

芻內單調遞增,

所以f(x庵(0,1)內單調遞減,在1,

所以f(x)在X=1處取得極小值，不合題意.

⑦當a=5寸，即2=1,沁)在(0,1)內單調遞增，在3?間內單調遞減，

22a

所以當x€(0.+8)時，f(x)40,?)單調遞減，不合題意.

?當a>/，BPO<—<1,當叩寸，f(x)>0,f“)單調遞增，

當xW(l.+F時，f'(x)<0,f(x)單調遞減，

所以f(x)任x=l處取得極大值，合題意.

1

綜上可知，實數〃的取值范圍為a

2

點評：函數極值問題的常見類型及解題策略

(1)如圖判斷函數極值的情況.先找導數為0的點，再判斷導數為0的點的左、右兩側的導數符號.

⑵已知函數求極值.求f'(xL求方程f'(x)=0的根一>列表檢驗f'(x)在f'(x)=0的根的附近兩側的符號一下結論.

⑶已知極值求參數.若函數f(x)在點僅0右)處取得極值，則f'(xo)=0,且在該點左、右兩側的導數值符號相反.

5.設/(x)=(jdnx+aY+〃2,a>-2.

(1)若〃=0,求/")的單調區間：

⑵討論/(X)在區間g,+8)上的極值點個數；

【思路引導】

(1)先求函數/(1)導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定單調區間(2)先求函數

/⑺導數，轉化為研究g(x)=lnx+xlnx+〃x+/零點個數，利用二次求導易得g(“在區間(1，依上

Ie)

單調遞增，其零點個數決定于最小值的大小，討論其最小值與零的大小得到極值點個數.

試題解析：(1)當。=0時：/(x)=(xlnx-l)^\(x>0)

故/'(x)=0nx+1+xlnx-Y)eK=Inx(x+l)2，

當無=1時：/'(x)=O,當五>1時：/1(x)>0,當xvl時：/1(x)<0.

故的減區間為:(0,1),增區間為(L?)

(2)/(x)=(Inx+xlnx+ax+

令g(?=Inx+xlnx+5+a"故g'(x)=」+ln汗+1+a,g'(x)=--y+-,

XXX

顯然g(1)=o,又當Xv1時：g"③<0.當X>1時：g"(x)>0.

故g'(x).=g'(l)=2+a,之一2,二g'(x)Ng'(x)11dtt=2+aN0.

故g@)在區間(LEO)上單調遞增，

&

注意到：當天7+0□時，g0)?用，故g。)在(L+8)上的零點個數由g(-)=3-1)3+1+3的符

eee

號決定.

①當目(3之0,即：-2&aST-」或0時：g(x)在區間(L*。)上無零點，即/(乃無極值點.

eee

②當g(3<0,即：-1-工<。<1時：g(x)在區間(±*。)上有唯一零點，即/(彳)有唯一極值點.

eee

綜上：當一24。4一1一」或。N1時：在(2,e)_L無極直點.

。e

當時：/(外在(」,鈾)上有唯一極值點.

ee

6.已知函數/")=￡、_(。_1)/一〃.

⑴求函數“X)的極小值；

【思路引導】

身+*2

(1)/'(x)=/-Q+l,對a分類討論，明確函數的單調性求出函數的極小值；(2)要證。>e2+1成立，

x

_p\X2f*7]_1

即證e2<a-l=-------,只需證e2<----------.

馬一百々一%

試題解析：⑴/'(x)=ex-a+l.

當時，/'(x)>0,〃幼在K上為增函數，函數〃x)無極小值;

當々>1時，令尸(力=0,解得x=ln(aT).

若46(-30,皿4一1)),則/'(X)<O,/(X)單調遞減；

若xe(ln(a-l),+8),則尸⑶>0,f(x)單調遞增.

故函數了⑺的極小值為〃皿〃-1))=(。一1)口一皿々-1)]-6.

7.設函數〃、)=0-&(2川。<)(%為常數，”=2.71828…是自然對數的底數).

XX

(1)當人40時，求函數/5)的單調區間；

(2)若函數/(X)在(0,2)內存在兩個極值點，求A的取值范圍.

【思路引導】

(I)求出導函數，根據導函數的正負性，求出函數的單調區間；

(II)函數f(x)在(0,2)內存在兩個極值點，等價于它的導函數F(x)在(0,2)內有兩個不同的零

點.

試題解析：(D.函數y=/(])的定義域為(0、+oo),

「㈤二七丁仁卜(一+n==…

r*\x2I)NI1Xs

由上二0可得"一人工>0,

所以當工€(0,2)時,廣(%)<0,函數”為單調遞減;

當工€(2,+oo)時，/(x)>0,函數/")單調遞增；

所以J(.r)的單調遞遍區間為(0,2),單調遞增區間為(2,+8).

(2).由1知，k<OHJ,函數/(H)在(1),2)內單調遞減，

故在(()、2)內不存在極值點-；

當K>。時，設函數4(/)=/一k.r,r三0+8),

因為g，3=e1—fc=ex—**,

當0<kg1時，當了€(0.2)時，O'(T)=rx-A->0,v=。(工憚?調遞增:

故/(工於(0、2)內不存在兩個極值點；

當A?>1時，得」.€(0,Ink)時，，(丁)<0,函數"=q(T憚調遞減；

x€(Infc+8)時，g'(N)>0,函數"=Mr憚調遞增;

所以函數0=g(?的最小值為g(lnk)=All-InA；,

函數/(1)在(。、2)內存在兩個極值點，

p(o)>o,

當且僅當需？；。，解得U9

U<lnk<2

綜上所述，函數了(工游*0.2)內存在兩個極值點時，上的取值范圍為(1.?)

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和極值，考查了分類討論的思想，屬于難題.函數極值

點問題轉化為導數為o的根的問題，又考查了零點分布問題，研究單調性結合圖像即可

8.己知函數/(x)=lnx+2-〃(4,b￡R).

X

(I)討論函數/("的單調區間與極值；

【思路引導】

求導數，分類討論，利用導數的正負，討論函數f(X.)的單調區間與極值

試題解析：(i)r(x)=l-4=^

XXX

當b40時，，(x)>0恒成立，函數/(X)的單調增區間為(0：+8),無極值；

當b>0時，”<0))時，/(刈<0/6(九位)時,屈數〃吊的單調減區間為(0力)，增區間為(也日0),

有極小值/㈤二的?；

9.已知/(x)=e'—ad,g(x)是“X)的導函數.

(1)求g(%)的極值;

【思路引導】

(