東北大學高等數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.下列函數中，連續函數為（）

A.$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$

B.$f(x)=\sqrt[3]{x}$

C.$f(x)=\frac{1}{x}$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

2.若函數$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(-1)=\mathrm{()}$

A.0

B.1

C.2

D.3

3.若$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\mathrm{()}$，則$\mathrm{A}$的值為（）

A.$\frac{1}{2}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$\frac{1}{4}$

D.$\frac{1}{5}$

4.設$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x-\cos3x}{x^3}=A$，則$\mathrm{A}$的值為（）

A.$\frac{5}{3}$

B.$\frac{3}{5}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{3}$

5.若$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，則$f(1)=\mathrm{()}$

A.2

B.3

C.4

D.5

6.設$f(x)=\lnx$，則$\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\mathrm{()}$

A.0

B.1

C.$\infty$

D.無極限

7.若$f(x)=\sqrt{x}$，則$\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\mathrm{()}$

A.0

B.1

C.$\infty$

D.無極限

8.設$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，則$\lim_{x\rightarrow0}f(x)=\mathrm{()}$

A.0

B.1

C.$\infty$

D.無極限

9.若$f(x)=x^3-3x+2$，則$f'(x)=\mathrm{()}$

A.$3x^2-3$

B.$3x^2+3$

C.$3x^2-6$

D.$3x^2+6$

10.設$f(x)=e^x$，則$f'(x)=\mathrm{()}$

A.$e^x$

B.$e^{x-1}$

C.$e^x+1$

D.$e^x-1$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些函數在其定義域內是連續的？（）

A.$f(x)=\frac{1}{x}$

B.$f(x)=\sqrt{x}$

C.$f(x)=\lnx$

D.$f(x)=e^x$

2.下列極限運算中，正確的是（）

A.$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=1$

B.$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}=1$

C.$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$

D.$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2-1}{x-1}=2$

3.若函數$f(x)$在點$x=a$處可導，則以下哪些結論是正確的？（）

A.$f(x)$在$x=a$處連續

B.$f'(a)$存在

C.$f(x)$在$x=a$處的導數是$f(x)$在$x=a$處的切線斜率

D.$f(x)$在$x=a$處的導數是$f(x)$在$x=a$處的極限

4.下列哪些函數在其定義域內是可導的？（）

A.$f(x)=\sqrt{x}$

B.$f(x)=\frac{1}{x}$

C.$f(x)=\lnx$

D.$f(x)=e^x$

5.下列微分運算中，正確的是（）

A.$(e^x)'=e^x$

B.$(\lnx)'=\frac{1}{x}$

C.$(x^2)'=2x$

D.$(\cosx)'=-\sinx$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\lnx}{x}=0$，則此極限是$\mathrm{()}$類極限。

2.函數$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$處的導數值為$\mathrm{()}$。

3.設$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan3x}{\sin3x}=\mathrm{()}$，則該極限的值等于$\mathrm{()}$。

4.若$f(x)=e^{-x^2}$，則$f'(x)=\mathrm{()}$。

5.函數$g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x}$在$x=0$處的泰勒展開式中的二階項系數為$\mathrm{()}$。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算定積分$\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx$。

2.求函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$的極值點和拐點。

3.設$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$。

4.解微分方程$\frac{dy}{dx}+y^2=0$。

5.計算不定積分$\int\frac{x^2}{x^4+1}\,dx$。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解：

1.A。連續函數的定義是：如果函數在某一點處的極限存在且等于該點的函數值，則該函數在該點連續。對于選項A，函數在除x=0外的所有點都連續；對于選項B，函數在x=0處不連續；對于選項C，函數在x=0處不連續；對于選項D，函數在x=0處不連續。

2.C。將x=-1代入函數f(x)，得到f(-1)=(-1)^2+2*(-1)+1=2。

3.B。利用等價無窮小替換，$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cosx}{x^2}\cdot\frac{1+\cosx}{1+\cosx}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cosx)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cosx)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{\sinx}{1+\cosx}=\frac{1}{2}$。

4.A。利用三角恒等變換，$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x-\cos3x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2\sinx\cosx-(1-2\sin^2x)}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2\sinx\cosx-1+2\sin^2x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2\sinx\cosx+2\sin^2x-1}{x^3}=\frac{5}{3}$。

5.A。將x=1代入函數f(x)，得到f(1)=(1)^2+2*(1)+1=4。

6.A。當x趨近于0時，$\lnx$趨近于負無窮，所以$\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=0$。

7.A。當x趨近于0時，$\sqrt{x}$趨近于0，所以$\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=0$。

8.A。當x趨近于0時，$\frac{\sinx}{x}$趨近于1，所以$\lim_{x\rightarrow0}f(x)=1$。

9.A。根據導數的定義，$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(x+h)^3-6(x+h)^2+9(x+h)-x^3+6x^2-9x}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3-12xh-12h^2+9h}{h}=\lim_{h\rightarrow0}(3x^2+3xh-12x-12h+9)=3x^2-3$。

10.A。根據導數的定義，$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^x(e^h-1)}{h}=e^x$。

二、多項選擇題答案及知識點詳解：

1.ABCD。所有選項中的函數在其定義域內都是連續的。

2.ABCD。所有選項中的極限運算都是正確的。

3.ABC。所有選項中的結論都是正確的。

4.ABCD。所有選項中的函數在其定義域內都是可導的。

5.ABCD。所有選項中的微分運算都是正確的。

三、填空題答案及知識點詳解：

1.無窮小量。利用洛必達法則或等價無窮小替換，可以證明$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\lnx}{x}=0$。

2.極值點：x=1，f(1)=4；拐點：x=2，f''(2)=6。

3.0。利用洛必達法則或等價無窮小替換，可以證明$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1-\cosx}{x^2}=0$。

4.$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$。根據導數的定義，$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{-x^2+h^2}-e^{-x^2}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{-x^2}(e^{h^2}-1)}{h}=-\frac{1}{x^2}$。

5.1。根據泰勒展開式，$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$，所以$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots$，在x=0處的二階項系數為1。

四、計算題答案及知識點詳解：

1.$\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx=\frac{\pi}{2}$。利用三角恒等變換和積分公式，$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$，所以$\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}(1-\cos2x)\,dx=\frac{1}{2}\left[x-\frac{\sin2x}{2}\right]_0^{\pi}=\frac{\pi}{2}$。

2.極值點：x=1，f(1)=4；拐點：x=2，f''(2)=6。求導得到$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得到$x=1$和$x=3$，通過一階導數的符號變化判斷得到x=1是極大值點，x=3是極小值點。求二階導數得到$f''(x)=6x-12$，令$f''(x)=0$得到$x=2$，通過二階導數的符號變化判斷得到x=2是拐點。

3.$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$。由于$\lnx$在$x\rightarrow\infty$時趨近于正無窮，而$\frac{1}{x^2}$在$x\rightarrow\infty$時趨近于0，所以$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\lnx}{x^2}=0$。

4.微分方程$\frac{dy}{dx}+y^2=0$的通解為$y=\frac{C}{\sqrt{1-y^2}}$，其中C是任意常數。這是一個分離變量的微分方程，通過分離變量和積分可以得到通解。

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