第1頁/共8頁2025年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷）數學本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題

共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A B. C. D.2.已知復數z滿足，則（）A. B. C.4 D.83.雙曲線離心率為（）A. B. C. D.4.為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有點的（）A.橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變） B.橫坐標變為原來的2倍（縱坐標不變）C.縱坐標變為原來的倍（橫坐標不變） D.縱坐標變為原來的3倍（橫坐標不變）5.已知是公差不為零的等差數列，，若成等比數列，則（）A. B. C.16 D.186.已知，則（）A. B.C. D.7.已知函數定義域為D，則“的值域為”是“對任意，存在，使得”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.設函數，若恒成立，且在上存在零點，則的最小值為（）A.8 B.6 C.4 D.39.一定條件下，某人工智能大語言模型訓練N個單位的數據量所需要的時間（單位：h），其中k為常數．在此條件下，已知訓練數據量N從個單位增加到個單位時，訓練時間增加20h；當訓練數據量N從個單位增加到個單位時，訓練時間增加（）A.2h B.4h C.20h D.40h10.在平面直角坐標系中，，.設，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題

共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知拋物線的頂點到焦點的距離為3，則________．12.已知，則________；________．13.已知，且，.寫出滿足條件的一組的值________，_________．14.某科技興趣小組用3D打印機制作的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個平面多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，則該多面體的體積為________．15.關于定義域為的函數，給出下列四個結論：①存在在上單調遞增的函數使得恒成立；②存在在上單調遞減的函數使得恒成立；③使得恒成立的函數存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數存在且有無窮多個．其中正確結論的序號是________．三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，．（1）求c的值；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求BC邊上的高．條件①：；條件②：；條件③：的面積為．17.如圖，在四棱錐中，與均為等腰直角三角形，，E為BC中點．（1）若分別為的中點，求證：平面PAB；（2）若平面ABCD，，求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．18.某次考試中，只有一道單項選擇題考查了某個知識點，甲、乙兩校的高一年級學生都參加了這次考試.為了解學生對該知識點的掌握情況，隨機抽查了甲、乙兩校高一年級各100名學生該題的答題數據，其中甲校學生選擇正確的人數為80，乙校學生選擇正確的人數為75.假設學生之間答題相互獨立，用頻率估計概率.（1）估計甲校高一年級學生該題選擇正確的概率（2）從甲、乙兩校高一年級學生中各隨機抽取1名，設X為這2名學生中該題選擇正確的人數，估計的概率及X的數學期望；（3）假設：如果沒有掌握該知識點，學生就從題目給出的四個選項中隨機選擇一個作為答案；如果掌握該知識點，甲校學生選擇正確的概率為，乙校學生選擇正確的概率為.設甲、乙兩校高一年級學生掌握該知識點的概率估計值分別為，，判斷與的大小（結論不要求證明）.19.已知橢圓離心率為，橢圓E上的點到兩焦點的距離之和為4.（1）求橢圓E的方程；（2）設O為坐標原點，點在橢圓E上，直線與直線，分別交于點A，B．設與的面積分別為，比較與的大小．20.已知函數的定義域是，導函數，設是曲線在點處的切線．（1）求的最大值；（2）當時，證明：除切點A外，曲線在直線的上方；（3）設過點A的直線與直線垂直，，與x軸交點的橫坐標分別是，，若，求的取值范圍．21.已知集合，從M中選取n個不同的元素組成一個序列：，其中稱為該序列的第i項，若該序列的相鄰項滿足：或，則稱該序列為K列．（1）對于第1項為的K列，寫出它的第2項．（2）設為K列，且中的項滿足：當i為奇數時，：當i為偶數時，.判斷，能否同時為中的項，并說明理由；（3）證明：由M的全部元素組成的序列都不是K列．

2025年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷）數學本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題

共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．【1題答案】【答案】D【2題答案】【答案】B【3題答案】【答案】B【4題答案】【答案】A【5題答案】【答案】C【6題答案】【答案】C【7題答案】【答案】A【8題答案】【答案】C【9題答案】【答案】B【10題答案】【答案】D第二部分（非選擇題

共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.【11題答案】【答案】【12題答案】【答案】①.②.【13題答案】【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【14題答案】【答案】【15題答案】【答案】②③三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.【16題答案】【答案】（1）6（2）答案見解析【17題答案】【答案】（1）證明見解析（