專題5,4分式方程的應(yīng)用.重難點題型

【北師大版】

【知識點1工程問題】

工程問題，常設(shè)工程總量為單位“1”，然后利用公式：工作效率X工作時間=工作總量來列寫等量方程。

【題型1工程問題】

【例I】（2023?羅平縣二模）為了備戰(zhàn)體育中考，某學(xué)校新購進(jìn)一批體育器材，需用九年級兩個班級的學(xué)生

整理體育器材，已知一班單獨整理需要30分鐘完成，如果一班與二班共同整理15分鐘后，一班另有任

務(wù)需要離開，剩余工作由二班單獨整理15分鐘才完成，求二班單獨整理這批體育器材需要多少分鐘？

【變式1-1］（2023秋?黃浦區(qū)期中）一項工程由甲、乙兩隊合做共需4天完成，如果中隊單獨做共需6天完

成，那么由乙單獨一天能完成這件工程的（）

【變式1-2］（2023?浙江自主招生）某公司需在一個月（31天）內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程.如果由甲、

乙兩個工程隊合做，12天可完成：如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成.又已知請甲

工程隊施工，公司每日需付費用2000元；如果請乙隊施工，公司每日需付費用1400元.規(guī)定時間內(nèi)：A.請

甲隊單獨完成此項工程；B.請乙隊單獨完成此項工程：C.請甲、乙兩隊合作完成此項工程.以上三種

方案中花錢最少的方案為—;需付最少費用元.

【變式1-3］（2023?洛江區(qū)模擬）市政府計劃對城區(qū)道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊完成.已知甲

3

隊的工作效率是乙隊工作效率的三倍，甲隊改造360米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用4天.

（1）甲、乙兩工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米？

（2）若甲隊工作一天需付費用3萬元，乙隊工作一?天需付費用2.4萬元，如需改造的道路全長900米，

改造總費用不超過63萬元，至少安排甲隊工作多少天？

【知識點2行程問題】

行程問題需要注意是相遇問題還是追擊問題

相遇問題：（甲速度+乙速度）X時間二總路程

追擊問題：（快一慢）X時間二距離

【題型2行程問題】

【例2】（2023秋?昌平區(qū)期中）為慶祝建黨100周年，學(xué)校組織初二學(xué)生乘車前往距學(xué)校132千米的某革命

根據(jù)地參觀學(xué)習(xí).二班因事耽擱，比一班晚半小時出發(fā)，為了趕上一班，平均車速是一班平均車速的1.2

倍，結(jié)果和一班同時到達(dá).求一班的平均車速是多少千米/時？

【變式2-1］（2023?德州）為響應(yīng)“綠色出行”的號召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距

上班地點1以利，他乘公交車平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行駛的路程多1詼/〃.他從家

3

出發(fā)到上班地點，乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的二.小王乘公交車上班平均每小時行駛（）

4

A.30kmB.36k"C.40kmD.46h〃

【變式2-21（2023秋?河南期末）一艘輪船在靜水中的最大航速為6（如皿,它以最大航速沿江順流航行240府

所用時間與以最大航速逆流航吁12必〃?所用時間相同，則江水的流速為km/h.

【變式2-3］（2023?峨山縣模擬）截至2021年，高速公路己經(jīng)貫通云南16個州市，云南省正全力推進(jìn)縣域

高速公路“能通全通”“互聯(lián)互通”工程建設(shè).已知甲、乙兩地之間的國道全長為22（旭兒經(jīng)過改修高

速公路后，長度減少了20km,高速公路通后，一輛長途汽車的高速行駛速度比國道行駛速度提高了

45km/h,從甲地到乙地的行駛時間減少了一半.

（1）求該長途汽車在國道上行駛的速度；

（2）若該高速公路規(guī)定長途汽車限速80k用〃2,那么該長途汽車從甲地到乙地是否超速？

【知識點3銷售問題】

銷售問題需要抓住的等量關(guān)系式為：

利潤:售價一進(jìn)價

利潤率二二.

【題型3銷售問題】

【例3】某中學(xué)開學(xué)初在商場購進(jìn)A、8兩種品牌的足球，購買A品牌足球花費/2500元，購買8品牌足

球花費了2000元，且購買A品牌足球數(shù)量是購買8品牌足球數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌足球比

購買一個A品牌足球多花30元.

（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元;

（2）該中學(xué)決定再次購進(jìn)A、4兩種品牌足球共50個，恰逢商場對兩種品牌足球的售價進(jìn)行調(diào)整，A

品牌足球售價比第一次購買時提高了8%,3品牌足球按第一次購買時售價的9折出售，如果這所中學(xué)此

次購買A、3兩種品牌足球的總費用不超過3060元，那么該中學(xué)此次最多可購買多少個3品牌足球？

【變式3-1］（2023?綿陽模擬）某店在開學(xué)初用880元購進(jìn)若干個學(xué)生專用科學(xué)計算器，按每個50元出售，

很快就銷售一空，據(jù)了解學(xué)生還急需3倍這種計算器，于是又用2580元購進(jìn)所需計算器，由于量大每個

進(jìn)價比上次優(yōu)惠1元，該店仍按每個50元銷售，最后剩下4個按九折賣出.這筆生意該店共盈利（）

元.

A.508B.520C.528D.560

【變式3-2］（2023?北暗區(qū)模擬）武漢某超市在疫情前用3000元購進(jìn)某種干果銷售，發(fā)生疫情后，為了保障

附近居民的生活需求，又調(diào)撥9000元購進(jìn)該種干果.受疫情影響，交通等成本上漲，第二次的進(jìn)價比第

?次進(jìn)價提高了20%,但是第二次購進(jìn)干果的數(shù)量是第一次的2倍還多300千克，如果超市先按每千克

9元的價格出售，當(dāng)大部分干果售出后，最后的600千克按原售價的7折售完.售賣結(jié)束后，超市決定

將盈利的資金捐助給武漢市用于抗擊新冠肺炎疫情.那么該超市可以捐助元.

【變式3-3］（2023?岳麓區(qū)校級模擬）某銷售商準(zhǔn)備采購一批絲綢，經(jīng)過調(diào)查得知，用10000元采購A型絲

綢的件數(shù)與用8000元采購B型絲綢的件數(shù)相等，且一件4型絲綢的進(jìn)價比一件B型絲綢的進(jìn)價多100

元.

（1）一件人型、B型絲綢的進(jìn)價分別為多少元？

（2）若銷華商購進(jìn)A型、4型絲綢共50件，其中4型絲綢的件數(shù)不多于4型絲綢的件數(shù)，且不少于16

件，設(shè)購進(jìn)A型絲綢機(jī)件.

①求機(jī)的取值范圍；

②已知A型絲綢的售價為800元/件，8型絲綢的售價為600元/件，求銷售這批絲綢的最大利潤.

【知識點4方案問題】

方案問題首先按照一般應(yīng)用題的思路進(jìn)行求解。分別求解出幾種方案各自的情況，然后比較選出最優(yōu)方案。

【題型4方案問題】

【例4】（2023?淄川區(qū)二模）某社區(qū)購買甲、乙兩種樹苗進(jìn)行綠化，已知用900元購買甲種樹苗的棵數(shù)與用

600元購買乙種樹苗的棵樹相同，乙種樹苗每棵比甲種樹苗每棵少10元.

（1）求甲種樹苗每棵多少錢？

（2）為保證綠化效果，社區(qū)決定再購買甲、乙兩種樹苗共I。棵，總費用不超過230元，求可能的購買

方案？

【變式4-1］（2023?云巖區(qū)模擬）我區(qū)在一項工程招標(biāo)時，接到甲、乙兩個工程隊的投標(biāo)書，從投標(biāo)書中得

知有三種方案.

4方案：甲隊單獨完成這項工程，剛好如期完成；

B方案：乙隊單獨完成這項工程需要的時間是規(guī)定時間的2倍；

c方案：**********,剩卜-的工程由乙隊單獨做，也正好如期完成.

已知，一個同學(xué)按照。方案，設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出方程：4（乙+；）+愛=1.

X2x2x

（1）根據(jù)所列方程，C方案中“東水*共百**”部分描述的已知條件應(yīng)該是：；

（2）從投標(biāo)書中得知，甲工程隊每施工一天所需費用1.1萬元，乙工程隊每施工一天所需費用0.5萬元,

請你在如期完成的兩種方案中，判斷哪種方案更省錢，說明理由.

【變式4-2］（2023嗦州二模）某商店準(zhǔn)備購買4、3兩種商品，①購買1個A商品比購買1個8商品多

花10元，并且花費300元購買A商品和花費100元購買〃商品的數(shù)量相等.

（1）求購買一個A商品和一個8商品各需要多少元；

在“①購買1個A商品比購買1個B商品多花10元”，“②A、8兩種商品各購買1個共需20元”這

兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到上面的問題中，并解答問題.（注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一

個解答計分.）

（2）商店準(zhǔn)備購買A、B兩種商品共80個，若4商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B

兩種商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，則該商店有哪幾種購買方案？

【變式4-3］（2023?章丘區(qū)二模）某手機(jī)專賣店的一張進(jìn)貨單上有如下信息：A款手機(jī)進(jìn)貨單價比4款手機(jī)

多80（）元，花38400元購進(jìn)4款手機(jī)的數(shù)量與花28800元購進(jìn)B款手機(jī)的數(shù)最相同.

（1）求A,8兩款手機(jī)的進(jìn)貨單價分別是多少元？

（2）某周末兩天銷售單上的數(shù)據(jù)，如表所示：

日期A款手機(jī)（部）B款手機(jī)（部）銷售總額（元）

星期六5840100

星期日6741100

求A,8兩款手機(jī)的銷售單價分別是多少元？

（3）根據(jù)（1）（2）所給的信息，手機(jī)專賣店要花費28000元購進(jìn)A,B兩款手機(jī)若干部，問有哪幾種

進(jìn)貨方案？根據(jù)計算說明哪種進(jìn)貨方案獲得的總利潤最高.

專題5.4分式方程的應(yīng)用?重難點題型

【北師大版】

【知識點1工程問題】

工程問題，常設(shè)工程總量為單位“1”,然后利用公式：工作效率X工作時間二工作總量來

列寫等量方程。

【題型1工程問題】

【例1】（2023?羅平縣二模）為了備戰(zhàn)體育中考，某學(xué)校新購進(jìn)一批體育器材，需用九年級

兩個班級的學(xué)生整理體育器材，已知一班單獨整理需要30分鐘完成，如果一班與二班共

同整理15分鐘后，一班另有任務(wù)需要離開，剩余工作由二班單獨整理15分鐘才完成，

求一班單獨整理這批體育器材需要多少分鐘？

分析?：設(shè)二班單獨整理這批器材需要x分鐘，由題意：一班單獨整理需要30分鐘完成，

如果一班與二班共同整理15分鐘后，一班另有任務(wù)需要離開，剩余工作由二班單獨整理

15分鐘才完成，列出分式方程，解方程即可.

【解答】解：設(shè)二班單獨整理這批器材需要x分鐘.

依題意得：15（焉+1）+i5q=i,

解得：x=60,

經(jīng)檢驗：x=60是原分式方程的解，且符合題意.

答：二班單獨整理這批器材需要60分鐘.

【變式1-1］（2023秋?黃浦區(qū)期中）一項工程由甲、乙兩隊合做共需4天完成，如果甲隊單

獨做共需6天完成，那么由乙單獨一天能完成這件工程的（）

分析：設(shè)乙隊單獨做共需x天完成，根據(jù)甲、乙兩隊合做共需4天完成，即可得出關(guān)于x

的分式方程，解之經(jīng)檜驗后即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)乙隊單獨做共需X天完成，

11

依題意，得：4（-+-）=1,

6x

解得：x=12,

經(jīng)檢驗，x=12是原方程的解，且符合題意，

，乙單獨一天能完成這件工程的古.

12

故選：D.

【變式1-2］（2023?浙江自主招生）某公司需在?個月（31天）內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工

程.如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙

隊少用10天完成.乂三知請甲工程隊施工，公司每日需付費用2000元；如果請乙隊施

工，公司每日需付費用1400元.規(guī)定時間內(nèi)：A.請甲隊單獨完成此項工程：B.請乙隊

單獨完成此項工程：C請甲、乙兩隊合作完成此項工程.以上三種方案中花錢最少的方

案為A;需付最少費用40000元.

分析：設(shè)乙隊單獨完成此項工程需用x天，則甲隊單獨完成此項工程需用（x-10）天.由

題意：由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成，列出分式方程，解方程，再求出三種方

案需要的費用，即可求解.

【解答】解：設(shè)乙隊單獨完成此項工程需用x天，則甲隊單獨完成此項工程需用（X-10）

天.

依題意得：—+-----=1?

xx-10

解這個方程得川=4,.成=30,

經(jīng)檢驗，知#=4,工2=30都是原方程的解，

??"=4不合題意，

/?x=30?

則10=20,

即單獨完成此項工程甲隊需20天，乙隊需30天；

請中隊單獨完成此項工程的費用為：2（X）0X20=40000（元）,

請乙隊單獨完成此項工程的費用為：1400X30=42000（元），

請甲、乙兩隊合作完成此項工程的費用為：（2000+1400）X12=40800（元），

???40000V40800V42000,

???單獨請甲隊完成此項工程花錢最少，

故答案為：A;40000元.

【變式1-3］（2023?洛江區(qū)模擬）市政府計劃對城區(qū)道路進(jìn)行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程

隊完成.已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的1倍，甲隊改造360米的道路比乙隊改造

同樣長的道路少用4天.

（1）甲、乙兩工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米？

（2）若甲隊工作一天需付費用3萬元，乙隊工作一天需付費用2.4萬元，如需改造的道

路全長900米，改造總費用不超過63萬元，至少安排甲隊工作多少天？

分析：（I）設(shè)乙工程隊每天能改造道路x米，則甲工程隊每天能改造道路|汗米，根據(jù)工

作時間=總工作量+工作效率結(jié)合甲隊改造360米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用

4天，列出分式方程，解方程即可：

（2）設(shè)安排甲隊工作〃？天，則安排乙隊工作90°：：，天,根據(jù)總費用=每天支付給甲

JU

隊的費用X甲隊工作時間+每天支付給乙隊的費用X乙隊工作時間結(jié)合改造總費用不超

過63萬元，列出一元一次不等式，解之取其最小值即可.

3

【解答】解；（1）設(shè)乙工程隊每天能改造道路A?米，則甲工程隊每天能改造道路米，

依題意，得：出一攀二4,

*產(chǎn)

解得：x=30,

經(jīng)檢驗，x=30是分式方程的解，且符合題意，

3

；?r=45.

2

答：甲工程隊每天能改造道路45米，乙工程隊每天能改造道路30米.

900—45m

（2）設(shè)安排甲隊工作小天，則安排乙隊工作--—天,

30

依題意，得：3w+2.4x900^5yn<63,

解得：〃?215,

答：至少安排甲隊工作15天.

［【知識點2行程問題】

行程問題需要注意是相遇問題還是追擊問題

相遇問題：（甲速度+乙速度）x時間=總路程

追擊問題：（快一慢）X時間二距離

【題型2行程問題】

［例2］（2023秋?昌平區(qū)期中）為慶祝建黨100周年，學(xué)校組織初二學(xué)生乘車前往距學(xué)校

132千米的某革命根據(jù)地參觀學(xué)習(xí).二班因事耽擱，比一班晚半小時出發(fā)，為了趕上一班,

平均車速是一班平均車速的L2倍，結(jié)果和一班同時到達(dá).求一班的平均車速是多少千米

/時？

分析：設(shè)一班的平均車速是X千米/時，則二班的平均車速是1.女千米/時，利用時間=路

程+速度，結(jié)合二班比一班少用半小時，即可得出關(guān)于K的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即

可得出一班的平均車速.

【解答】解：設(shè)一班的平均車速是x千米/時，則二班的平均車速是12丫千米/時，

解得：x=44,

經(jīng)檢驗，x=44是原方程的解，且符合題意.

答：一班的平均車速是44千米/時.

【變式2-1](2023?德州)為響應(yīng)“綠色出行:"的號召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已

知小王家距上班地點I弘m,他乘公交車平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行

駛的路程多10切?.他從家出發(fā)到上班地點，乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的

;小千乘公交車卜班平均每小時行駛()

A.30kmB.36切?C.40制?D.46km

分析：設(shè)小王用自駕車方式上班平均每小時行駛文切?，則乘公交車平均每小時行駛G+10)

3

km,由題意：小王家距上班地點18如?，乘公交車所用的時間是自駕車所用時間的列

4

出分式方程，解方程跳可.

【解答】解：設(shè)小王用自駕車方式上班平均每小時行駛口〃?，則乘公交車平均每小時行

駛(x+10)km,

解得：x=30,

經(jīng)檢驗，x=30是原方程的解，

則x+10=40,

即小王乘公交車上班平均每小時行駛4(場〃，

故選：C.

【變式2-2](2023秋?河南期末)一艘輪船在靜水中的最大航速為605W?,它以最大航速沿

江順流航行240km所用時間與以最大航速逆流航行120酎〃所用時間相同，則江水的流速

20km/h.

分析：直接利用順?biāo)?靜水速+水速，逆水速=靜水速■水速，進(jìn)而得出等式求出答案.

【解答】解：設(shè)江水的流速為〃小，根據(jù)題意可得：

240120

60+x60-X*

解得：x=20,

經(jīng)檢驗得：x=20是原方程的根，

答：江水的流速為20h〃小.

故答案為：20.

【變式2-3］（2023?峨山縣模擬）截至2021年，高速公路已經(jīng)貫通云南16個州市，云南省

正全力推進(jìn)縣域高速公路“能通全通”“互聯(lián)互通”工程建設(shè).已知甲、乙兩地之間的

國道全長為220公〃，經(jīng)過改修高速公路后，長度減少了20切?，高速公路通后，一輛長途

汽車的高速行駛速度比國道行駛速度提高了45km/h,從甲地到乙地的行駛時間減少了一

半.

（1）求該長途汽車在國道上行駛的速度；

（2）若該高速公路規(guī)定長途汽車限速80S湖，那么該長途汽車從甲地到乙地是否超速？

分析：（1）設(shè)該長途汽車在國道上行駛的速度為由題意：甲、乙兩地之間的國

道全長為220公〃，經(jīng)過改修高速公路后，長度減少了20加?，高速公路通后，一輛長途汽

車的高速行駛速度比國道行駛速度提高了45kmh從甲地到乙地的行駛時間減少了一

半.列出分式方程，解方程即可；

（2）由55+45=100>80,即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)該長途汽車在國道上行駛的速度為以切〃?，

解得：x=55,

經(jīng)檢驗：x=55是原分式方程的解，

答：該長途汽車在國道上行駛的速度為55包

（2）???55+45=100>80,

???該長途汽車從甲地到乙地超速.

【知識點3銷售問題】

銷售問題需要抓住的等量關(guān)系式為：

利澗二售價一進(jìn)價

拿”?一三斤

利潤率=三?…

【題型3銷售問題】

【例3】某中學(xué)開學(xué)初在商場購進(jìn)A、8兩種品牌的足球，購買A品牌足球花費了250。元,

購買B品牌足球花費了2000元，且購買A品牌足球數(shù)量是購買B品牌足球數(shù)量的2倍,

已知購買一個B品牌足球比購買一個A品牌足球多花30元.

（1）求購買一個A品牌、一個B品牌的足球各需多少元；

（2）該中學(xué)決定再次購進(jìn)A、8兩種品牌足球共5。個，恰逢商場對兩種品牌足球的售價

進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%,6品牌足球按第一次購買時售價

的9折出售，如果這所中學(xué)此次購買人8兩種品牌足球的總費用不超過3060元，那么

該中學(xué)此次最多可購買多少個B品牌足球？

分析：（1）設(shè)購買一個A品牌的足球需要x元，則購買一個B品牌的足球需要（A-+30）

元，由題意：購買A品牌足球花費了250（）元，購買B品牌足球花費了2000元，旦購買

A品牌足球數(shù)量是購買8品牌足球數(shù)量的2倍，列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)該中學(xué)此次可以購買，〃個8品牌足球，則可以購買（50-m）個A品牌足球，由

題意：A品牌足球售價比第一次購買時提高了8%,8品牌足球按第一次購買時售價的9

折出售，如果這所中學(xué)此次購買A、B兩種品牌足球的總費用不超過3060元，列出不等

式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可.

【解答】解：（1）設(shè)購買一個A品牌的足球需要x元，則購買一個B品牌的足球需要G+30）

元,

〃?助苔俎250°r-2000

依題忘得：一以——2xx+30，

解得：x=50,

經(jīng)檢驗，工=50是原方程的解，且符合題意,

/?x+30=80.

答：購買一個A品牌的足球需要50元，購買一個8品牌的足球需要80元.

（2）設(shè)該中學(xué)此次可以購買6個8品牌足球，則可以購買（50-〃?）個A品牌足球，

依題意得：50X（1+8%）（50-〃?）+80X0.9〃W3060,

解得：〃W20.

答：該中學(xué)此次最多可購買20個3品牌足球.

【變式3-1］（2023?綿陽模擬）某店在開學(xué)初用880元購進(jìn)若干個學(xué)生專用科學(xué)計算器，按

每個50元出售，很快就銷售一空，據(jù)了解學(xué)生還急需3倍這種計算器，于是又用2580

元購進(jìn)所需計算器，由于量大每個進(jìn)價比上次優(yōu)惠1元，該店仍按每個50元俏售，最后

剩下4個按九折賣出.這筆生意該店共盈利（）元.

A.508B.520C.528D.560

分析：設(shè)第一次購進(jìn)計算器％個，則第二次購進(jìn)計算器3x個，根據(jù)每個進(jìn)價比上次優(yōu)惠

1元，求出購進(jìn)計算器的個數(shù)，再根據(jù)總售價-成本=利潤，即可得出答案.

【解答】解：設(shè)第一次購進(jìn)計算器x個，則第二次購進(jìn)計算器力個，根據(jù)題意得：

8802580

---=-----+1,

x3x

解得：x=2（）,

經(jīng)檢驗戈=20是原方程的解，

則這筆生意該店共盈利:[50X(20+60-4)+4X50X90%]-(880+2580)=520(元)；

故選:B.

【變式3-2]（2023?北需區(qū)模擬）武漢某超市在疫情前用3000元購進(jìn)某種干果銷售，發(fā)生疫

情后，為了保障附近居民的生活需求，又調(diào)撥9000元購進(jìn)該種干果.受疫情影響，交通

等成本上漲，第二次的進(jìn)價比第?次進(jìn)價提高了20%,但是第二次購進(jìn)干果的數(shù)量是第

一次的2倍還多300千克，如果超市先按每千克9元的價格出售，當(dāng)大部分干果售出后,

最后的600千克按原售價的7折售完.售賣結(jié)束后，超市決定將盈利的資金捐助給武漢

市用于抗擊新冠肺炎疫情.那么該超市.可以捐助5280元.

分析：設(shè)第一次購進(jìn)干果的單價為工元/千克，則第二次購進(jìn)干果的單價為1?21元/千克，

根據(jù)數(shù)量=總價+單價結(jié)合第二次購進(jìn)干果數(shù)量比第一次的2倍還多300千克，即可得

出關(guān)于x的分式方程，解之即可得出工的值，進(jìn)而即可求出第一、二次購進(jìn)干果的數(shù)量,

再利用利潤=銷售收入-成本即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)第一次購進(jìn)干果的單價為x元/千克，則第二次購進(jìn)干果的單價為121元

/千克,

3000,9000

根據(jù)題意得：2x+30°=T27,

X

解得：x=5,

經(jīng)檢驗，彳=5是原方程的解,

30003000

則-------=---------=600?

x5

90009000

-------=----------=1500,

1.2%1.2X5

1500X9+600X9X0.7-3000-9000=5280(元).

答：該超市可以捐助5280元.

故答案為:5280.

【變式3-3]（2023?岳麓區(qū)校級模擬）某銷售商準(zhǔn)備采購-?批絲綢，經(jīng)過調(diào)查得知，用10000

元采購A型絲綢的件數(shù)與用8000元采購B型絲綢的件數(shù)相等，且一件A型絲綢的進(jìn)價

比一件B型絲綢的進(jìn)價多100元.

（1）一件八型、8型絲綢的進(jìn)價分別為多少元？

（2）若銷售商購進(jìn)A型、8型絲綢共50件，其中A型絲綢的件數(shù)不多于8型絲綢的件

數(shù)，且不少于16件，設(shè)購進(jìn)人型絲綢〃?件.

①求，〃的取值范圍；

②已知A型絲綢的售價為800元/件，8型絲綢的售價為600元/件，求銷售這批絲綢的最

大利潤.

分析：（1）設(shè)一件8型絲綢的進(jìn)價為x元，則一件,4型絲綢的進(jìn)價為（x+100）元，由

題意：用10000元采購A型絲綢的件數(shù)與用8000元采購6型絲綢的件數(shù)相等，列出分式

方程，解方程即可;

（2）①由題意：銷售商購進(jìn)A型、4型絲綢共50件，其中A型絲綢的件數(shù)不多于4型

絲綢的件數(shù)，且不少于16件，列出不等式組，即可求解;

②設(shè)銷售這批絲綢的利潤為），元，求出銷售這批絲綢的利潤），（元）與m（件）的函數(shù)關(guān)

系式，再由?次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：（I）設(shè)一件8型絲綢的進(jìn)價為x元，則一件人型絲綢的進(jìn)價為（x+100）

元,

100008000

根據(jù)題意得：.=—

解得：x=400,

經(jīng)檢驗，x=400為原方程的解,

.\x+100=500,

答：一件4型絲綢的逆價為500元，一件8型絲綢的進(jìn)價為400元.

（2）①根據(jù)題意得：｛血手??一血，

解得：l6WmW25,

???〃？的取值范圍為：16W〃iW25且，〃為整數(shù).

②設(shè)銷售這批絲綢的利潤為y元，

根據(jù)題意得：y=（80C-500）m+（600-4（30）?（50-w）=100/〃+1000（）,

V100>0,

???），隨機(jī)的增大而增大，

???當(dāng)加=25時，>最大=12500（元），

答：銷售這批絲綢的最大利潤為12500元.

【知識點4方案問題】

方案問題首先按照一般應(yīng)用題的思路進(jìn)行求解。分別求解出幾種方案各自的情況，然后比較

選出最優(yōu)方案。

【題型4方案問題】

【例4】（2023?淄川區(qū)二模）某社區(qū)購買甲、乙兩種樹苗進(jìn)行綠化，已知用900元購買甲種

樹苗的棵數(shù)與用600元購買乙種樹苗的棵樹相同，乙種樹苗每棵比甲種樹苗每棵少1。元.

（1）求甲種樹苗每棵多少錢？

（2）為保證綠化效果，社區(qū)決定再購買甲、乙兩種樹苗共10棵，總費用不超過230元,

求可能的購買方案？

分析：⑴設(shè)甲種樹苗每棵x元，則乙種樹苗每棵（X-10）元，根據(jù)“用900元購買

甲種樹苗的棵數(shù)與用600元購買乙種樹苗的棵樹相同”列出方程并解答：

（2）設(shè)再購買甲種樹由用棵，則購買乙種樹苗（1（）-/?）棵，根據(jù)總價=單價X數(shù)量，

結(jié)合總費用不超過230元，即可得出關(guān)于小的一元一次不等式，解之即可得出川的取值

范圍，再結(jié)合〃，為正整數(shù)，即可得出各購買方案.

【解答】解：（1）設(shè)甲種樹苗每棵x元，則乙種樹苗每棵（.1-10）元，

900_600

依題意得:

X-X-10

解得：.1=30,

經(jīng)檢驗：x=30是原方程的根，且符合題意；

答：甲種樹苗每棵30元;

（2）設(shè)再次購買甲種樹苗，〃棵，則購買乙種樹苗（10-〃?）棵,

依題意得:3O/7/+2O（10-w）<230,

解得：〃?<3.

又???〃?為非負(fù)整數(shù)，

???〃?可以為0,1,2,3,

???共有4種購買方案，

方案I：購買1（）棵乙種樹苗；

方案2：購買1棵甲種樹苗，9棵乙種樹苗；

方案3：購買2棵甲種樹苗，8棵乙種樹苗：

方案4：購買3棵甲種樹苗，7棵乙種樹苗.

【變式4-1］（2023?云巖區(qū)模擬）我區(qū)在一項工程招標(biāo)時，接到甲、乙兩個工程隊的投標(biāo)書，

從投標(biāo)書中得知有三種方案.

A方案：甲隊單獨完成這項工程，剛好如期完成：

B方案：乙隊單獨完成這項工程需要的時間是規(guī)定時間的2倍；

。方案：**********,剩下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完成.

已知，一個同學(xué)按照C方案，設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出方程：4（三+:）

X2X

+2x-L

（I）根據(jù)所列方程，C方案中“**********”部分描述的已知條件應(yīng)該是：甲、乙兩

隊合作4天：

（2）從投標(biāo)書中得知，甲工程隊每施工一?天所需費月11萬元，乙工程隊每施工一天所

需費用0.5萬元，請你在如期完成的兩種方案中，判斷哪種方案更省錢，說明理由.

分析：（1）設(shè)規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意得出的方程為：4（工+=）+受=1，可

x2x2工

知方案C中“星號”部分為：若甲、乙兩隊合作4天；

（2）根據(jù)題意先求得規(guī)定的天數(shù)，然后算出A、C兩方案的價錢之后，再根據(jù)題意選擇

節(jié)省工程款的方案.

【解答】解:：（1）根據(jù)題意及所列的方程可知被損毀的部分為：甲、乙兩隊合作4天;

故答案為：甲、乙兩隊合作4天；

（2）解：解方程4（［+=）+與9=1，得：K=8,

經(jīng)檢驗，x=8是原分式方程的解，

所以規(guī)定的工期為8天.

如期完成的兩種施工方案需要的費用分別為：

A方案：1.1X8=8.8（萬兀）；

。方案：4X1.1+8X0.5=84（萬元），

V8.8>8.4,

???c方案更省錢.

【變式4-2］（2023?泰州二模）某商店準(zhǔn)備購買A、B兩種商品，①購買1個A商品比購

買1個8商品多花10元，并且花費300元購買4商品和花費100元購買B商品的數(shù)

量相等.

（1）求購買一個A商品和一個B商品各需要多少元；

在“①購買1個A商品比購買1個3商品多花10元”，“②A、8兩種商品各購買1個

共需20元”這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充到上面的問題中，并解答問題.（注：如果選

擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.）

（2）商店準(zhǔn)備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于8商品數(shù)量的4倍，

并且購買A、3兩種商品的總費用不低于1000元且不高于105（）元，則該商店有哪幾種購

買方案？

分析：（1）選①，設(shè)購買一個8商品需要x元，則購買1個A商品需要（x+10）元，根

據(jù)題意列出分式方程，解方程，檢驗后即可求出答案；

（2）設(shè)購買B商品機(jī)個，則購買4商品（80-〃。個，根據(jù)題意得出一元一次不等式組，

求出〃?的取值范圍，由〃?為整數(shù)，即可求出購買方案.

【解答】解:（1）選①，設(shè)購買一個8商品需要x元，則購買1個A商品需要（A+10）

元，

300_100

根據(jù)題意得:

X+10-X'

解得：4=5,

經(jīng)檢驗，x=5是原方程的解，且符合題意，

/.x+10=15（元），

答：A商品每個15元，B商品每個5元;

選②，設(shè)購買一個8商品需要x元，則購買1個A商品需要（20-x）元,

300100

根據(jù)題意得:

20-Xx

解得：x=5,

經(jīng)檢驗，x=5是原方程的解，且符合題意，