人教版

八年級上冊14.2（第5課時）

第十四章

全等三角形斜邊直角邊復習回顧FUXIHUIGU思考前面我們學習了哪些判定三角形全等的方法？SASASAAASSSS前面學過的四種判定三角形全等的方法，對直角三角形是否適用？新知探究XINZHITANJIU思考1.兩個直角三角形中，斜邊和一個銳角分別相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？2.兩個直角三角形中，有一條直角邊和一銳角分別相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？3.兩個直角三角形中，兩直角邊分別相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？4.兩個直角三角形中，直角邊和斜邊分別相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？新知探究XINZHITANJIU思考如圖，已知

AC=A’C’，AB=A’B’，∠C=∠C’=90°，△ABC≌△DEF嗎？我們知道，證明一般的三角形全等不存在“SSA”定理.我們可以通過畫圖試試看.新知探究XINZHITANJIU探究已知兩條線段(這兩條線段長不相等),試畫一個直角三角形，使長的線段為其斜邊、短的線段為其一條直角邊.2cm3cm步驟:1.畫一條線段AB,使它等于2cm;2.畫∠MAB=90°(用量角器或三角尺);3.以點B為圓心、3cm長為半徑畫圓弧，交射線AM于點C;4.連結BC.△ABC即為所求.ABCM你畫的三角形與同伴畫的一定全等嗎？思考新知探究XINZHITANJIU

如圖,由∠C′=∠C=90°可知，如果使點C′與點C重合，并且使射線C′A'與射線CA重合，那么射線C'B'與射線CB重合.再由B'C′=BC,可知點B′與點B重合.為了判斷點A′與點A是否重合，我們討論射線CA上除點C,A外的點與點B的連線和邊AB的大小關系.

如圖,由∠C′=∠C=90°可知，如果使點C′與點C重合，并且使射線C′A'與射線CA重合，那么射線C'B'與射線CB重合.再由B'C′=BC,可知點B′與點B重合.為了判斷點A′與點A是否重合，我們討論射線CA上除點C,A外的點與點B的連線和邊AB的大小關系.設點M在直角邊AC(不包括端點)上，連接BM,則∠BMA>∠C,

∠BMA是鈍角.若過點M且垂直于BM的直線與線段AB相交于點M',則有AB>BM′

>BM.設點N在線段CA的延長線上，連接BN,同理可得BN>AB.因此，在射線CA上，與點B的連線長度等于AB的點只有一個.再由點A′在射線CA上，A'B′=AB,可知點A′與點A重合.這樣，△A'B'C′的三個頂點與△ABC的三個頂點分別重合，△A'B′C′與△ABC能夠完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC.新知探究XINZHITANJIU基本事實：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，(簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).幾何語言：

在做題時往往在相等的邊或角上作相同的標記，方便辨別和判定全等三角形.注意在

Rt△ABC和

Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′，BC=B′C′，ABCA′B′C′新知探究XINZHITANJIU格式要求：第一個三角形的名稱和對應的判定條件第二個三角形的名稱和對應的判定條件指明范圍說明依據得出結論全等三角形的對應字母要寫在對應的位置，順序不能錯三個條件必須按照斜邊直角邊的順序進行書寫范圍和結論中

必須寫明Rt△在

Rt△ABC和

Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′，BC=B′C′，典例精析DIANLIJINGXI例1出現直角要認真觀察，到底是用“AAS”、“ASA”還是“HL”.如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求證：BC=AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA，

AC=BD

.在

Rt△ABC

和

Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.ABDC將隱藏的直角找到！典例精析DIANLIJINGXI例2已知：如圖，AB=CD，D、B到AC的距離DE=BF.求證：AB//CD．證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，∵在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BFAB=CD∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)，∴∠DCE=∠BAF，∴AB//CD．先找到全等的三角形！典例精析DIANLIJINGXI例3如圖，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于點E，BD⊥CD于點D，AE=7，BD=2，求DE的長．解：∵AE⊥CE于點E，BD⊥CD于點D，∴∠AEC=∠D=90°，在Rt△AEC與Rt△CDB中

AC=BCAE=CD,∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL)，∴CE=BD=2，CD=AE=7，∴DE=CD-CE=7-2=5.典例精析DIANLIJINGXI例4AFCEDB如圖，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求證：BF=DE.證明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°.∵

AE=CF，∴AE+EF=

CF+

EF，即

AF=CE.在

Rt△ABF和

Rt△CDE中，AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=

DE.典例精析DIANLIJINGXI例5思考如何通過證明三角形全等得到對應邊相等如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC

＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連結CD，EB.求證：CF＝EF.證明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠DAC＝∠BAE.在△ACD和△AEB中，

AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，

AD＝AB，

∴△ACD≌△AEB(SAS)．通過兩次證明三角形全等得到，同學們要靈活使用全等三角形的性質和判定！典例精析DIANLIJINGXI例5如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC

＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連結CD，EB.求證：CF＝EF.∴CD＝EB，∠ACD＝∠AEB.又∵∠ACB＝∠AED，∴∠ACB－∠ACD＝∠AED－∠AEB，即∠DCF＝∠BEF.在△CDF和△EBF中，∠DFC＝∠BFE，∠DCF＝∠BEF，CD＝EB，∴△CDF≌△EBF(AAS)．∴CF＝EF.同學們還能想到更簡潔的方法嗎？典例精析DIANLIJINGXI例5能否證明DF=BF從而得出結論？如圖，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC

＝∠ADE＝90°，BC與DE相交于點F，連結CD，EB.求證：CF＝EF.法二：連結AF.∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴CB＝ED，AB＝AD.在Rt△ADF和Rt△ABF中，AF＝AF，AD＝AB，∴Rt△ADF≌Rt△ABF(HL)．∴DF＝BF.∴CB－BF＝ED－DF，即CF＝EF.課堂小結QINGJINGYINRU內容斜邊、直角邊斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等前提在直角三角形中注意只須找除直角外的兩個條件即可

(兩個條件中至少有一個是一對邊相等)Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),從而DE=EC.當堂練習QINGJINGYINRU1.如圖，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，則△AOD與△AOP全等的理由是(

)A．SSS

B．ASA

C．SSA

D．HL2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于點D，

BD＝BC，若AC＝6cm，則AE＋DE等于(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．7cmDC當堂練習QINGJINGYINRU3.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.ABCED證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，∴Rt△EBC≌Rt△DCB(H.L.).

CE=BD,

BC=CB.設BD于EF交于點G，即證EG=FG.當堂練習QINGJINGYINRU∴BF＝DE∴△GBF≌△GDE(AAS)∠BFG＝∠DEG∠BGF＝∠DGE4.如圖，AB

=

CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE

=

CF.求證：BD

平分

EF.AFCEDBG證明：在

Rt△ABF和

Rt△CDE中，AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).在

△GBF和

Rt△GDE中，BF＝DE∴GF=GE，即BD平分EF.當堂練習QINGJINGYINRU證明：∵

AD，AF

分別是鈍角△ABC

和△ABE

的高，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt△ADC

和Rt△AFE

中，

AC＝AE，

AD＝