21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1課時直接開平方法課題第1課時直接開平方法授課人教學(xué)目標知識技能1.使學(xué)生知道形如x2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接開平方法求解；2.使學(xué)生知道直接開平方法解一元二次方程的依據(jù)是平方根的意義；3.使學(xué)生能夠熟練而準確地運用直接開平方法求一元二次方程的解.數(shù)學(xué)思考在學(xué)習(xí)與探究中使學(xué)生體會“化歸”“換元”與“分類討論”的數(shù)學(xué)思想及運用類比進行學(xué)習(xí)的方法.問題解決根據(jù)平方根的意義用直接開平方法解一元二次方程，使學(xué)生能夠解符合條件的一元二次方程，同時為配方法的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).情感態(tài)度通過利用直接開平方法解一元二次方程使學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會成功感，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值.教學(xué)重點使學(xué)生能夠熟練而準確地運用直接開平方法解一元二次方程.教學(xué)難點探究一元二次方程a(x＋b)2＝c的解的情況，培養(yǎng)分類討論的意識.授課類型新授課課時教具多媒體教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖回顧課件展示：1．什么是一個數(shù)的平方根？平方根具有哪些性質(zhì)？怎樣求一個數(shù)的平方根？2．計算：16的平方根是__±4__，8的平方根是__±2__eq\r(2)__，eq\f(4,5)的平方根是__±eq\f(2\r(5),5)__，13的平方根是__±eq\r(13)__．3．想一想如何描述求x2＝9中x的過程？試一試！學(xué)生自主思考，并進行解答，師生共同討論，回顧平方根的相關(guān)知識．通過回顧平方根的概念及性質(zhì)和開平方的意義，有助于學(xué)生理解利用直接開平方法解一元二次方程，為學(xué)習(xí)新知打下基礎(chǔ).活動一：創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課【課堂引入】課件展示：圖21－2－1問題：一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體盒子的全部外表面，你能通過列方程算出正方體盒子的棱長嗎？若學(xué)生感覺困難，教師適當(dāng)引導(dǎo)求解：等量關(guān)系：10個正方體盒子的表面積＝1500dm2.若設(shè)其中一個正方體盒子的棱長為xdm，則這個正方體盒子的表面積為__6x2__dm2，可列方程__10×6x2＝1500__，化簡得x2＝25，開平方得x＝__±5__，原方程有__兩__個解，但棱長為__正數(shù)__，所以x＝__5__．故正方體盒子的棱長為__5__dm.結(jié)論：這種利用平方根的意義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法．板書：直接開平方法解方程．從學(xué)生身邊的實際問題引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，逐步求解，順利點題，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，同時明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù).活動二：實踐探究交流新知1.自主探究(課件展示問題)問題1：(1)請你用直接開平方法解下列方程：①x2＝12；②x2－eq\f(3,4)＝0；③2x2－8＝0；④9x2－5＝3.(2)一元二次方程2x2＋1＝0與1－2x2＝0的解相同嗎？為什么？(3)由(1)(2)，你能總結(jié)出ax2＋c＝0型一元二次方程的求解方法嗎？學(xué)生自主探究，然后討論、交流，匯總思想，解答問題，最后師生共同歸納：一般地，對于一元二次方程ax2＋c＝0，先將它變形為x2＝p的形式，再利用直接開平方法求解，其中，當(dāng)p＞0時，方程有兩個不等的實數(shù)根x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)；當(dāng)p＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝0；當(dāng)p＜0時，方程無實數(shù)根．2.合作交流(課件展示問題)問題2：(1)一元二次方程x2＝25與(x＋3)2＝25有何區(qū)別和聯(lián)系？類比方程x2＝25的求解方法，你能解方程(x＋3)2＝25嗎？方程(3x＋1)2＝2呢？試一試．(2)對于(nx＋m)2＝p型的方程，你能說說它的基本解法嗎？學(xué)生通過獨立思考，小組合作交流，師生共同歸納：運用直接開平方法可以解形如x2＝p或(nx＋m)2＝p的一元二次方程，其實質(zhì)是利用開平方運算把一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．板書：開平方，降次轉(zhuǎn)化，二次變一次．設(shè)置問題1，使學(xué)生進一步體驗直接開平方法適用的一元二次方程的形式，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性以及善于思考、勇于質(zhì)疑的精神.2.設(shè)置問題2，通過對一些復(fù)雜問題的探究，幫助學(xué)生體會換元思想及類比的學(xué)習(xí)方法，同時更加深入而準確地理解直接開平方法適用的一元二次方程.活動三：開放訓(xùn)練體現(xiàn)應(yīng)用【應(yīng)用舉例】解方程：(1)3(x－1)2－9＝108；(2)x2＋6x＋9＝2.多媒體展示，學(xué)生自主進行解答，然后交流解法及依據(jù)．變式練習(xí)：解一元二次方程：(1)2(x－8)2＝50；(2)(2x－1)2－32＝0.(3)x2＋4x＋4＝1；(4)9n2－24n＋16＝11.采用逐步遞進、提升的方式設(shè)置題目，使學(xué)生體驗到類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想方法.【拓展提升】例2[棗莊中考]已知x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的兩個解，且x1＜x2，下列說法正確的是(A)A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之間D．x1，x2都小于3例3用直接開平方法解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0.解：移項，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2，①直接開平方，得2(2x－1)＝5(x＋1),②∴x＝－7.③上述解題過程有無錯誤，若有，是從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是________，并寫出正確的解答過程．課件展示，學(xué)生先自主思考，再合作交流，教師恰當(dāng)引導(dǎo)和點撥，使學(xué)生順利求解．通過拓展練習(xí)，及時地反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，查漏補缺，進一步提升教學(xué)效果.活動四：課堂總結(jié)反思【達標測評】1．下列方程中，適合用直接開平方法解的有________個．①eq\f(1,3)x2＝1；②(x－2)2＝5；③eq\f(1,4)(x＋3)2＝3；④x2＝x＋3；⑤3x2－3＝x2＋1；⑥y2－2y－3＝0.2．如果25x2－16＝0，那么x1＝__eq\f(4,5)__，x2＝__－eq\f(4,5)__．3．探究一元二次方程(x－m)2＝a的解的情況．4．某市區(qū)內(nèi)有一塊邊長為15米的正方形綠地，經(jīng)城市規(guī)劃，需擴大綠化面積，預(yù)計規(guī)劃后的正方形綠地面積將達到300平方米，這塊綠地的邊長增加了多少米(結(jié)果保留一位小數(shù))?師生活動：學(xué)生進行當(dāng)堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講解．利用典型的練習(xí)題進一步鞏固所學(xué)新知，同時檢測學(xué)習(xí)效果，做到“堂堂清”.1.課堂總結(jié)：(1)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？說一說！2．布置作業(yè)：(1)教材第6頁練習(xí)．(2)教材第16頁習(xí)題21.2第1題．(3)選做題：①已知方程(x－1)2＝k2＋2的一個根是x＝3，求k的值和另一個根．②在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“*”，其規(guī)則為a*b＝a2－b2，求方程(x＋2)*5＝0的解．注重課堂小結(jié)，激發(fā)學(xué)生參與的主動性，為每一個學(xué)生的發(fā)展與表現(xiàn)創(chuàng)造機會.【知識網(wǎng)絡(luò)】提綱挈領(lǐng)，重點突出.【教學(xué)反思】①[授課流程反思]在復(fù)習(xí)回顧環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)給予充分的時間讓學(xué)生交流、討論，平方根的意義是直接開平方法的依據(jù)，所以必須使學(xué)生清楚平方根的意義；在課堂訓(xùn)練中，教師點名讓學(xué)生回答問題，從多個角度進行多人次的提問．②[講授效果反思]對于難點問題，教師引導(dǎo)學(xué)生注意以下幾點：(1)正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，所以方程x2＝p(p>0)有兩個實數(shù)根；(2)負數(shù)沒有平方根，所以方程x2＝p(p<0)無實數(shù)根．③[師生互動反思]本課時難度較小，重視學(xué)生自學(xué)能力的提高，教師起到引導(dǎo)、點撥、評價的作用．④[習(xí)題反思]好題題號______________________________________錯題題號______________________________________反思教學(xué)過程和教師表現(xiàn)，進一步優(yōu)化操作流程和提升自身素質(zhì).典案二導(dǎo)學(xué)設(shè)計年級：年級科目：數(shù)學(xué)課型：新授執(zhí)筆：審核：，備課時間：上課時間：教學(xué)目標1、理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題．2、提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重點：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領(lǐng)會降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．難點：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．【課前預(yù)習(xí)】導(dǎo)學(xué)過程閱讀教材第5頁至第6頁的部分，完成以下問題一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？我們知道x2=25，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±5，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？計算：用直接開平方法解下列方程：（1）x2=8（2）(2x-1)2=5（3）x2+6x+9=2（4）4m2-9=0（5）x2+4x+4=1（6）3(x-1)2-9=108解一元二次方程的實質(zhì)是:把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．歸納：如果方程能化成的形式，那么可得【課堂活動】活動1、預(yù)習(xí)反饋活動2、例習(xí)題分析例1用直接開平方法解下列方程：（1）(3x+1)2=7（2）y2+2y+1=24（3）9n2-24n+16=11練習(xí)：（1）2x2-8=0（2）9x2-5=3（3）(x+6)2-9=0【課堂練習(xí)】：活動3、知識運用1、用直接開平方法解下列方程：（1）3(x-1)2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）9x2+6x+1=4（4）36x2-1=0（5）4x2=81（6）(x+5)2=25（7）x2+2x+1=4歸納小結(jié)應(yīng)用直接開平方法解形如的方程，那么可得達到降次轉(zhuǎn)化之目的．【課后鞏固】一、選擇題1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（）．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根為（）．A．3B．-3C．±3D．無實數(shù)根二、填空題1．若8x2-16=0，則x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，這個一元二次方程的兩根是________．3．如果a、b為實數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．4．用直接開平方法解下