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文檔簡介
第五章圖形的軸對稱5.2簡單的軸對稱圖形第3課時一、教學目標1.運用作圖和實驗的方法,探索角平分線的有關性質.2.能運用角平分線的性質解決實際問題.3.會用尺規作出已知角的平分線,能規范地寫出已知、求作和作法.4.利用折紙的方法探索角的對稱性,進一步體驗軸對稱的特征,發展空間觀念.二、教學重難點重點:運用作圖和實驗的方法,探索角平分線的有關性質.難點:能運用角平分線的性質解決實際問題.三、教學過程設計環節一創設情境【復習回顧】教師活動:先提出問題,學生思考后回答問題.問題1:什么是軸對稱圖形?預設:如果一個平面圖形沿一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.問題2:角是軸對稱圖形嗎?如何驗證你的結論?預設:角是軸對稱圖形.可以作出一個角對折一下看看角的兩邊是否重合.設計意圖:通過復習回顧,為本節課要學習的內容作準備.環節二探究新知【操作】請拿出你作的∠AOB,不利用工具,將它分成兩個相等的角.你有什么辦法?預設:對折教師活動:引導學生按照自己的設想實際操作驗證,適時提出問題:打開紙片,看看折痕與這個角有何關系?預設:折痕平分了∠AOB.教師活動:總結并給出結論.結論:角是軸對稱圖形,對稱軸是角平分線所在的直線.設計意圖:通過具體動手操作理解角是軸對稱圖形.【嘗試思考】如圖,OP是∠AOB的平分線,點C是OP上的任意一點.在∠AOB中畫出以OP所在直線為對稱軸的一組對應點D和D',連接CD和CD'.(1)你認為線段CD和CD'之間有什么關系?說說你的理由.(2)特別地,當CD⊥OA時,CD'與OB有怎樣的位置關系?為什么?此時,線段CD和CD'之間還有(1)中的關系嗎?由此你能得到什么結論?預設:(1)CD=CD',理由一:用刻度尺測量CD,CD',得到兩條線段的長度相等.理由二:連接DD';因為OP是∠AOB的平分線,點D和D'關于OP對稱,所以線段DD'被直線OP垂直平分.又因為點C是OP上的任意一點,所以CD=CD'(2)當CD⊥OA時,CD'⊥OB;CD=CD'結論:角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.你能嘗試證明一下嗎?驗證:如圖,C為∠AOB的角平分線上一點,CD⊥OB,垂足為點D,CE⊥OA,垂足為點E,求證:CE=CD.證明:∵OC是∠AOB的平分線∴∠AOC=∠BOC∵CD⊥OB,CE⊥OA∴∠CDO=∠CEO又∵OC=OC∴△CDO≌△CEO(AAS)∴CD=CE.【歸納】定理:角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.幾何語言:∵OC平分∠AOB,CD⊥OB,CE⊥AO,∴CD=CE.教師活動:總結強調定理滿足條件,引導學生通過下面思考題進行辨析.設計意圖:通過對角平分線定理的證明,幫助學生理解記憶定理內容.【思考交流】如圖,已知∠AOB,如何作出它的平分線?假設∠AOB的平分線已作出,那么,(1)這條射線有什么特征?角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.(2)如何確定這條射線上的除端點之外的一個點?用三角尺、量角器、圓規等工具試一試.如果只用尺規呢?與同伴進行交流.預設:(1)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.需要確定的點是角的對稱軸上的點,因此應當從角兩邊進行“對稱”的操作.設計意圖:引導學生探索確定角平分線上點的方法,特別是只用尺規作圖的情況,鍛煉學生的尺規作圖技能,使學生掌握基本的幾何作圖方法,提高學生的動手操作能力和幾何圖形繪制能力.環節三應用新知【典型例題】教師提出問題,學生先獨立思考,解答.然后再小組交流探討,如遇到有困難的學生適當點撥,最終教師展示答題過程.例利用尺規,作∠AOB(如下圖)的平分線.已知:∠AOB,如下圖.求作:射線OC,使∠AOC=∠BOC.分析:①利用構造全等三角形的方法,先在∠AOB的兩邊OB和OC上截取相等的線段OD、OE分別作為兩個三角形的兩邊.②在∠AOB內找到點C,使CD=CE.③則△COD≌△COE(SSS),得到∠AOC=∠BOC.作法:1.以點O為圓心,適當長為半徑作弧,交OA于D,交OB于E,則OD=OE.3.作射線OC.OC就是∠AOB的平分線.設計意圖:通過解決例題讓學生熟悉尺規作角平分線的步驟.注意引導學生利用構造全等三角形的方法作圖.【思考】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分線,DE⊥AB,垂足為點E.DE與DC相等嗎?為什么?教師引導學生分析轉化,讓學生獨立完成解答.分析:①由BD是∠ABC的平分線想到可以應用角平分線定理.②DC⊥BC,DE⊥AB,滿足角平分線定理的兩個條件.③應用角平分線定理可得DE=DC.預設解答:相等,可以由角平分線定理證明.證明:∵BD是∠ABC的平分線在Rt△ABC中,∠C=90°∴DC⊥BC又∵DE⊥AB∴DE=DC.【思考交流】過直線上一點作已知直線的垂線與作一個平角的平分線,這兩種尺規作圖方法有什么共同點?與同伴進行交流.預設:都涉及到了一個對稱軸的概念.在作垂線的情況下,利用的是直線的對稱性;而在作平角的平分線時,利用的是角的對稱性.設計意圖:通過這種類比思考,培養學生的類比思維能力,讓學生學會從不同的幾何操作中尋找共性,拓展思維深度和廣度,提升學生對幾何知識的整體把握能力,為后續學習更復雜的幾何內容奠定思維基礎.【回顧反思】回顧研究等腰三角形、線段、角的過程,你運用了哪些方法?積累了哪些經驗?預設:方法:觀察法,測量法,折疊與拼接法,推理與論證法.經驗:從特殊到一般,學會利用測量工具(直尺、量角器等)和操作手段(折疊、拼接等)幫助理解圖形的性質,同時利用邏輯推理深化對圖形本質的認識.設計意圖:有助于學生將這些經驗遷移到后續的幾何學習中,培養學生自主學習和探索的能力,讓學生在面對新的幾何問題時,能夠運用已有的經驗和方法進行分析和解決,提高學生的學習能力和數學素養.環節四鞏固新知【隨堂練習】教師給出練習,隨時觀察學生完成情況并相應指導,最后給出答案,根據學生完成情況適當分析講解.1.如圖,OP平分∠MON,PA⊥ON,垂足為點A,點Q是射線OM上的一個動點.若PA=2,則線段PQ長度的最小值為多少?請說明理由.2.如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,并交BC于點D,DE⊥AB于點E,若AB=6cm,則△DEB的周長是多少3.如圖所示,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F.S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長是多少?參考答案:1.解:長度最小值為2.∵直線外一點與直線上各點的連線中,垂線段最短.∴過P做PQ⊥OM,垂足為Q,此時PQ即為所求.又∵OP平分∠MON,PA⊥ON.∴PQ=PA=2.2.解:∵∠C=90°∴AC⊥DC又∵AD平分∠CAB,DE⊥AB∴DE=CD,△ACD≌△AED(AAS)∴AC=AE又∵AC=BC,∴BC=AE∴△DEB的周長=EB+BD+DE=EB+BD+CD=EB+BC=EB+AE=AB=6cm.3.解:∵
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